Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2002 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
t
æ
A t
( )
1
exp
δ ds
I
= +
=
t
I
÷ö
ç
2
è ò s
0
ø
æ
A
t
( )
2
t
exp
δ ds
II
= + =
t
II
÷ö
çèò s
0
ø
Z tego wynika:
æ
ö
ln 1 + t = t I
çç
÷÷ ò δ ds
è
2 ø
s
0
ln(2 + t) = ò t II
δ ds
s
0
1
1
4
− 2
1
I
t
t
Po obustronnym obliczeniu pochodnych mamy: II
δ =
⋅
=
δ
=
t
2
t
t
4 t
1 t
6 − t
4
2 + t
1 + 2
Czyli:
1
2 4 t − 2 t
= t
→ 4 2
t − 4 t + 48 = 8 t (2 + t) 2 + t
3 16 t − 4 2
t
Po podniesieniu obustronnym do kwadratu mamy: 4
t − 6 3
t + 9 2
t − 40 t + 144 = 0
4 jest pierwiastkiem i nie ma ujemnych więc dzielimy przez t-4
3
→ t − 2 2
t + t − 36
Znowu nie ma ujemnych i 4 jest pierwiastkiem, znowu dzielimy przez t-4 i otrzymujemy: 2
t + 2 t + 9 > 0 → t =
4 jedyne r
ozwiąozwi
bo
e
∆ < 0
Zadanie 2
I.
NIE bo:
m
t
( )
∂
m
mi
m
i
å vm =
→
=
≠ m
=
1
1
+
∂
1
( + 2
t
i
i
i)
II.
TAK bo
1 − 1
( − d ) n
1 − 1
( − d ) n
n
∂
2
n 1
nawias kl
amrowy =
−
+ n 1
( − d ) →
= − n 1
(
d ) −
−
d
d
∂ d
III.
NIE bo
a
ln 1
( + i)
∂
i − 1
( + i) ln 1
( + i)
n
=
→
=
2
a
i
i
∂
1
( + i) i
n
1
( − vn )
LEWA =
i −
+ i
+ i
2 [
1
(
) ln 1
(
)]
1
( + i) ln 1
( + i) i
PRAWA ≠ LEWA
Zadanie 3
L = X a
1
∞
v
1
a∞ =
=
1 − v
ief
ZAD 0 = L = X a 1
∞
ZAD
9
,
0
'
ZAD = X a∞ −1 %
0
= 9
,
0 X a∞ = X a∞ → X = 9
,
0 X
1 =
X a
1
∞
1
1
1
2
2
1
ZAD
9
,
0
2 =
2 X a
1
∞
L
X =
1
a∞
W 1
P = X + 1
,
0 X a
→ WP = X + Z
1
,
0
AD
X = 9
,
0 X
1
1
∞
i
i
i 1
−
2
1
WP 2 = X + 1
,
0 ⋅ 9
,
0 X a
i
9
,
0
1
− L
X = 9
,
0 2 X
2
1
∞ X =
3
1
i
...
a∞
...
...
ZAD
i
= 9
,
0
L
...
i
Spłacony kapitał:
i 1
−
i
i 1
SK
ZAD
ZAD
L
L
L
i =
i
−
i =
9
,
0
− 9
,
0
= 1
,
0
9
,
0
−
1
−
i 1
−
9
,
0
−
1
L
i
i 1
−
i
I = WP − SK = X +
Z
1
,
0
AD
− L
1
,
0
9
,
0
=
+ 1,
0 ⋅ 9
,
0
L
1
− 1,
0 ⋅ 9
,
0
− L =
i
i
i
i
i 1
−
a∞
i 1
( 9
,
0
− L) 1
( − v)
i 1
=
= 9
,
0
− Lief
v
ì
∞
∞
I = å Ii = å 9
,
0 i 1
− i L
ef
= 10
ï
Lief
5000
í
i=
i=
→ I =
≈
1
1
22700
,
2 2
ï
i−
⋅ 1
,
0
1
,
1 I + 5000 = å 9
,
0
1 1
,
1 i
,
1 2 L
ef
→ 3
,
1 2 i
1
L 0
î
ef
Zadanie 4
ì1 . K = Xa
+ 12
v
Y v
v
v
0,012 ⋅
( 3 + 6 + ... + 12 )
ïï
12;0,012
í2 . K = ,
1 2 Xa
+ 12
v ⋅ ,
0 7 Y ( 3
v + 6
v + 9
v + 12
v )
ï
12
ïî3 . OD = 12 X + 4 Y − K = 6 X − 3000
,
0 2 K
1. ⋅ ,
1 2 − 2. → Y =
12
3
12
5
,
0 v ( v + ... + v ) 3
,
0 K
1. ⋅ ,
0 7 − 2. → X =
5
,
0 a 12
Wstawiamy do 3:
3000
→ K =
to l
iczone p
rzy s
topie i
= 1,2%
8
,
1
8
,
0
1 −
−
5
,
0 a
5
,
0
12
v ( 3
v + ...
12
+ v )
12
Oznaczenia:
A - w I roku
B - w II roku
12 A
12 X
AY
=
→ B =
12 B
Y
4
3 X
12
K = Aa + v Ba
-
tu s
topa 1
%
12
12
AY
K
12
K = Aa + v a
→ A =
≈ 920
12
3
12
12
X
æ 1 ö
+ ç
÷
Y
a
a
12;0,01
è 0
,
1 1ø 3
12;0,01
X
Zadanie 5
2
50
51
99
I = 5 v + 5
( + 2 ⋅ )
5 v + ... + 5
( + ... + 50 ⋅ )
5 v
+ 5
( + ... + 49 ⋅ )
5 v
+ ... + 5 v
1
4
4
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
4
4
3
1
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
3
A
B
2
50
51
54
II = 5 v + 5
( + 2 ⋅ )
5 v + ... + 5
( + ... + 50 ⋅ )
5 v
+ 5
( + ... + 51⋅ )
5 v
+ ... + 5
( + ... + 54 ⋅ )
5 v
+
55
59
107
+ 5
( + ... + 53 ⋅ )
5 v
+ ... + 5
( + ... + 49 ⋅ )
5 v
+ ... + 5 v
I = A + B
54
58
II = A +
5
k
5
8
v B + å ( k + ) 1 kv + å 1
( 08 − k) 1
( 09 − k) k
v te s
umy l
iczymy n
a "
piechotęi
k =
2
k
2
51
=55
2
51
5 é
2 Ia
− a − 50 v ù
50
50
A =
ê Ia +
ú -
to m
ozn
a wyprowad i
z ć
2
50
ê
1
ë
− v
úû
B=5576-A
8
II = A + v
.
B .... ≈ 5700
Zadanie 6
0,02
e
- zwrot w ci
⋅
ągu 3 miesięcy = 0,08 0,25
e
ψ - cena instrumentu pierwotnego dającego 1,2 lub 0,8
i
Z teorii wiemy:
ì ,
1 2ψ + 8
,
0 ψ = 1
1
2
í
→ψ 1
0,02
î e
(ψ +ψ ) = 1
1
2
0,02
P = ψ e
≈ 5 %
5
1
1
Zadanie 7
20
P = 1500 ⋅ 5
,
1 ja
+1500 v
20;
j
j
15
P 5 = 1500 ⋅ 5
,
1 ja
+1500 v
15;
j
j
3000
5
KW = 3000 1
( + i) =
5
vi
P 5 + KW = 2000 a 5;0,08
15
3000
5
3000
2250 ja
+1500 v
a
v
j
+
= 2000
→ i =
≈
15; j
5
5;0,08
3
vi
2000 a
−150 (
0 5
v )3
v
j
− 2250 −
5;0,08
( ( 5 j) ) 5,0
1
Zadanie 8
5
3
òδ
t = 1 ò 6 t + 24 t + 24 t = 1 ln t t
t
6
( 6 +6 4 +12 2 +8)
3
t + ...
3
ò1δ s = 1ln − 1
27
ln 8 = ln 5
,
1
0
3
3
1 + i = exp(ò1δ )
s
= 5
,
1 → i = 5
,
0
0
3
6
4
2
T
æ
ö
ò
ç T + T
6
+1 T
2
+ 8 ÷
δ
ln
s =
0
ç
÷
è
2
ø
3
6
t + 6 4
t + 12 2 + 8
f ( t) =
t
(
A t) − B( t) = 1
( + 5
,
0 t) −
2
(
5
,
0
....)
f (
′ t) = 5
,
0 −
( 5 3
2 t + 8 t + 8 t) 5
3
3
= 0 → 2 t + 8 t + 8 t = ..... i podnosimy do 3
6
4
2
t + 6 t + 12 t + 8
trzeciej potęgi obustronnie
3
12
10
8
10
8
6
8
6
4
6
4
2
4
2
8 t ( t
+ 4 t + 4 t + 8 t + 32 t + 32 t + 24 t + 96 t + 96 t + 32 t +128 t +128 t +16 t + 64 t + 6 ) 4 =
12
10
8
4
2
8
6
4
= t +12 t + 36 t +144 t +192 t + 64 + 24 t +160 t + 96 t Z tego wynika, Ŝe 8 3
t = 1 → t = 5
,
0
Zadanie 9
10
9
8
P( i) = 1
( + i) + 1
(
2 + i) + 1
(
4 + i)
10
X ( i) = 7 1
( + i)
MoŜna naszkicować wykres:
Analogicznie dla banku B:
10
9
8
P( j) = 1
( + j) + 1
(
2 + j) + 1
(
4 + j)
10
X ( j) = 7 1
( + j)
Stąd:
BC
8 − P( i )
1
P (
′ i ) ≈
=
1
i − i
i − i
1
1
Z rysunku widać, Ŝe
0,9
0,8
8
æ 8 ö
æ 8 ö
− − ç ÷ − ç ÷
0 1
,
8
2
4
0 1
,
æ 8 ö
7
è 7 ø
è 7 ø
æ 8 ö
i = ç ÷
−1 → i =
+ ç ÷ −1
1
è 7
0,9
0,8
0,7
ø
æ 8 ö
æ 8 ö
æ 8 ö
è 7 ø
10ç ÷
+18ç ÷ + 32ç ÷
è 7 ø
è 7 ø
è 7 ø
Analogicznie:
0,9
0,8
10
æ10 ö
æ10 ö
10 −
− 2ç ÷ − 4ç ÷
0 1
,
7
è 7 ø
è 7 ø
æ10 ö
j =
+ ç ÷ −1
0,9
0,8
0,7
æ10 ö
æ10 ö
æ10 ö
è 7 ø
10ç
÷ +18ç ÷ + 32ç ÷
è 7 ø
è 7 ø
è 7 ø
Z tego :
ODP = 1
( + i + j)10 + 1
(
2 + i + j)9 + 1
(
4 + i + j)8 ≈ 11 3
, 5
Zadanie 10
Z parytetu opcji kupna i sprzedaŜy: C − P + dK = S
C - cena opcji kupna
P - cena opcji sprzedaŜy
1
d - dyskonto w okresie =
n
p.
r
1 + n
K - cena wykonania
S - bieŜąca cena akcji
1
1
,
5 2 − ,
2 2 +
⋅ 95 = ,
6 2 − ,
4 7 +
⋅100 → r o
bliczone
r
3
1 +
1 +
r
4
4
Po podstawieniu wychodzi około 96,29