Kolokwium II
rok 2010/2011
Zadanie 2:
Wyznaczyć zbiór tych
R
x
dla których szereg
0
1
2
)
1
2
(
)
9
(
n
n
n
n
x
jest zbieżny (ustalić także
rodzaj zbieżności). Podać promień zbieżności tego szeregu oraz obliczyć jego sumę wewnątrz przedziału
zbieżności.
Rozwiązanie:
1)
Ustalenie zbieżności szeregu:
9
)
3
2
(
)
1
2
(
9
lim
)
3
2
(
9
)
1
2
(
lim
)
1
2
(
9
)
3
2
(
9
9
lim
)
1
2
(
9
)
1
2
2
(
9
lim
)
1
2
(
)
9
(
lim
)
(
)
(
lim
2
2
2
2
3
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
x
n
n
n
n
x
n
n
x
x
x
n
n
x
x
x
n
n
x
n
x
x
f
x
f
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Szereg jest zbieżny dla
1
)
(
)
(
lim
1
x
f
x
f
n
n
n
wtedy:
3
9
1
9
2
2
x
x
x
Dla
3
x
szereg jest bezwzględnie zbieżny, a dla
3
x
szereg jest rozbieżny.
2)
Ustalamy zbieżność na krańcach przedziału
a)
3
x
0
0
0
1
2
0
1
2
0
1
2
1
2
3
)
1
(
)
1
2
(
9
3
9
)
1
(
)
1
2
(
9
3
)
1
(
)
1
2
(
9
)
1
(
)
1
2
(
)
9
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
1
2
3
n
a
n
Szereg naprzemienny
)
1
2
(
3
)
1
2
(
)
1
(
3
n
n
n
n
n
n
n
n
1
3
3
2
3
1
2
3
szereg naprzemienny
nie jest bezwzględnie zbieżny, sprawdzam więc zbieżność
z kryterium Leibnitza
0
n
a
ciąg malejący
0
3
1
2
3
lim
lim
n
a
n
n
n
Wniosek szereg jest zbieżny warunkowo dla
3
x
b)
3
x
0
0
0
1
2
0
1
2
0
1
2
1
2
)
3
(
)
1
(
)
1
2
(
9
)
3
(
9
)
1
(
)
1
2
(
9
)
3
(
)
1
(
)
1
2
(
9
)
1
(
)
1
2
(
)
9
(
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
1
2
3
n
a
n
0
n
a
ciąg rosnący
