Egzamin 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rok 2010/2011

 

 

 

Zadanie 2:

 

Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć całkę    

 

        

 

  

 

 

gdzie L jest okręgiem x

2

+y

2

=R

2 

zorientowanym ujemnie względem swojego wnętrza. 
 

Rozwiązanie:

 

 

Twierdzenia Greena brzmi 

następująco: 

Jeżeli

 

1.  obszar D

ᴄR

2

 jest domkni

ęty i normalny względem obu osi, 

2.  brzeg L obszaru D jest dodatnio zorientowany, 
3.  pole  

 

   =[P,Q] jest różniczkowalne w sposób ciągły na D, 

to 

             

 

               

 

 

 
Obliczanie całki: 
 

1) Sprawdzam, czy obszar D jest 

domknięty i normalny względem obu osi: 

x=rcos(

α) 

y=rsin(

α)  gdzie rЄ[0,R]  αЄ[0,2π] 

x'=-rsin(

α) 

y'=rcos(

α) 

J= 

 

  

   

  

   

 

   

 

       

 

   

 

       

 

    

 

         

 

        

 

=r 

 
2)  

Aby brzeg L był dodatnio zorientowany: K=-L 

 
3) P

x

=x

2

y 

   Q

y

=-xy

2

  Funkcje 

różniczkowalne w sposób ciągły na D 

   P

y

=x

2

 

    

Q

x

=-y

2 

   

 

        

 

         

 

   

 

             

 

   

 

     

 

 

 

 

 
Przechodzę na współrzędne biegunowe: 
 
          

 

   

 

       

 

   

 

  

 

 

 

                

 

         

 

         

 

            

 

       

  

 

 

 

  

 

 

 

= 

= (

 
 

r

4

|

0

R 

)(

α)

 

|

0

2

π 

= 

 
 

R

4

(2π) = 

 
 

πR

4 

 
 
 
 
 

Odpowiedź:

 

   

 

        

 

  

 

 = 

 
 

πR

4

 

 
 

 

Autor:

 

Weronika Rozłonkowska

 

grupa

 10

 
 

9.12.2013