Inżynieria Środowiska;
semestr 2
- wykład 6
1
Pochodne cząstkowe
Niech f (x, y) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu (a, b).
Pochodną cząstkową (pierwszego rzędu) funkcji z = f (x, y) względem zmiennej x w punkcie (a, b) nazywamy
granicę
lim
∆x→0
f (a + ∆x, b) − f (a, b)
∆x
,
o ile granica ta istnieje, i oznaczamy przez
f
0
x
(a, b) =
∂f
∂x
(a,b)
=
∂z
∂x
(a,b)
.
Ekstremum funkcji dwóch zmiennych
Warunek konieczny:
Jeżeli funkcja f (x, y) ma w punkcie (x
0
, y
0
) ekstremum lokalne oraz ma w tym punkcie pochodne cząstkowe
pierwszego rzędu to:
f
0
x
(x
0
, y
0
) = f
0
y
(x
0
, y
0
) = 0.
Niech:
W =
f
00
xx
(x
0
, y
0
)
f
00
xy
(x
0
, y
0
)
f
00
xy
(x
0
, y
0
)
f
00
yy
(x
0
, y
0
)
= f
00
xx
(x
0
, y
0
)f
00
yy
(x
0
, y
0
) − [f
00
xy
(x
0
, y
0
)]
2
Jeżeli f (x, y) jest funkcją mającą ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w pewnym otoczeniu punktu
(x
0
, y
0
), taką, że
f
0
x
(x
0
, y
0
) = f
0
y
(x
0
, y
0
) = 0,
to:
1
◦
dla W > 0 w (x
0
, y
0
) występuje ekstremum, mianowicie:
– maksimum, jeżeli f
00
xx
(x
0
, y
0
) < 0,
– minimum, jeżeli f
00
xx
(x
0
, y
0
) > 0;
2
◦
dla W < 0 nie występuje w (x
0
, y
0
) ekstremum (w (x
0
, y
0
) istnieje punkt siodłowy).
Różniczka zupełna
Niech z = f (x, y) będzie ciągła wraz z pierwszymi pochodnymi w pewnym otoczeniu punktu (x, y). Różniczką
zupełną funkcji z = f (x, y) w punkcie (x, y) dla przyrostów ∆x = dx i ∆y = dy nazywamy wyrażenie:
dz = df =
∂z
∂x
dx +
∂z
∂y
dy =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy.
Dla małych przyrostów dx i dy zachodzi wzór:
∆z = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) ≈ dz.