Inżynieria Środowiska;
semestr 2 - wykład 9
1
Całka potrójna
Niech W będzie prostopadłościanem a Q ⊂ W trójwymiarowym obszarem. Podzielmy pro-
stopadłościan W na mniejsze prostopadłościany i niech π
n
= {Q
1
, Q
2
, . . . , Q
n
} będzie zbio-
rem prostopadłościanów częściowych takich, że Q
i
⊂ Q, i niech ∆V
i
oznacza objętość Q
i
, a
δ
n
oznacza najdłuższą przekątną Q
i
⊂ π
n
;i = 1, 2, . . . , n.
Niech funkcja f (x, y, z) będzie określona na Q. Wówczas sumą Riemanna funkcji f dla
podziału π
n
jest dowolna suma postaci
S
n
=
n
X
i=1
f (x
i
, y
i
, z
i
)∆V
i
,
gdzie (x
i
, y
i
, z
i
) ∈ Q
i
.
Niech f będzie funkcją trzech zmiennych określoną na obszarze Q.
Całką potrójną z funkcji f po obszarze Q, oznaczoną symbolem
Z Z Z
Q
f (x, y, z) dV , jest
Z Z Z
Q
f (x, y, z) dV =
lim
max δn→0
n→∞
n
X
i=1
f (x
i
, y
i
, z
i
)∆V
i
,
o ile granica ta istnieje.
Funkcję f nazywamy wówczas całkowalną w obszarze Q.
Własności całki potrójnej:
1
o
Funkcja ciągła w obszarze Q jest całkowalna w Q.
2
o
Z Z Z
Q
dV = V , gdzie V jest objętością Q.
Inżynieria Środowiska;
semestr 2 - wykład 9
2
Obliczanie całki potrójnej
1. Q - prostopadłościan: Q = {(x, y, z) : x ∈ [a, b] ∧ y ∈ [c, d] ∧ z ∈ [e, f ]}
Z Z Z
Q
f (x, y, z) dV =
Z
b
a
"
Z
d
c
Z
f
e
f (x, y, z) dz
!
dy
#
dx.
2. Q - obszar normalny względem płaszczyzny X0Y :
Q = {(x, y, z) : (x, y) ∈ R ∧ z ∈ [k
1
(x, y), k
2
(x, y)]}
Z Z Z
Q
f (x, y, z) dV =
Z Z
R
"
Z
k
2
(x,y)
k
1
(x,y)
f (x, y, z) dz
#
dxdy.
3. Q - obszar normalny względem płaszczyzny X0Y i R - obszar normalny względem osi 0X:
Q = {(x, y, z) : x ∈ [a, b]∧ y ∈ [g
1
(x), g
2
(x)] ∧ z ∈ [k
1
(x, y), k
2
(x, y)]}
Z Z Z
Q
f (x, y, z) dV =
Z
b
a
"
Z
g
2
(x)
g
1
(x)
Z
k
2
(x,y)
k
1
(x,y)
f (x, y, z) dz
!
dy
#
dx.
Zastosowania całki potrójnej
ρ(x, y, z) - gęstość objętościowa obszaru Q:
1. Masa obszaru Q: M =
Z Z Z
Q
ρ(x, y, z) dV .
2. M
xy
, M
xz
i M
yz
- momenty statyczne obszaru Q względem płaszczyzn X0Y, X0Z i Y 0Z:
M
xy
=
Z Z Z
Q
z · ρ(x, y, z) dV,
M
xz
=
Z Z Z
Q
y · ρ(x, y, z) dV,
M
yz
=
Z Z Z
Q
x · ρ(x, y, z) dV.
3. Środek ciężkości (¯
x, ¯
y, ¯
z) obszaru Q:
¯
x =
M
yz
M
,
¯
y =
M
xz
M
,
¯
z =
M
xy
M
.
Przypomnienie!
Z
√
a
2
− x
2
dx ==
x
2
√
a
2
− x
2
+
a
2
2
arc sin
x
a
+ C
Inżynieria Środowiska;
semestr 2 - wykład 9
3
Zamiana zmiennych w całce potrójnej
Niech odwzorowanie T : x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) przekształca wzajemnie jednoznacz-
nie obszar H w obszar Q. Wówczas:
Z Z Z
Q
f (x, y, z) dx dy dz =
Z Z Z
H
f [x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)]|J | du dv dw,
gdzie J , jakobian przekształcenia T , jest określony wzorem
J =
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂v
.
Współrzędne cylindryczne (walcowe)
Jeżeli T : x = r cos t, y = r sin t, z = h, wówczas jakobian przekształcenia T wynosi
J =
∂x
∂r
∂x
∂t
∂x
∂h
∂y
∂r
∂y
∂t
∂y
∂h
∂z
∂r
∂z
∂t
∂z
∂h
=
cos t −r sin t 0
sin t
r cos t
0
0
0
1
= r cos
2
t + r sin
2
t = r.
Współrzędne sferyczne
Jeżeli
T : x = r cos ϕ cos ψ, y = r sin ϕ cos ψ, z = r sin ψ,
wówczas jakobian przekształcenia T wynosi
J =
∂x
∂r
∂x
∂ϕ
∂x
∂ψ
∂y
∂r
∂y
∂ϕ
∂y
∂ψ
∂z
∂r
∂z
∂ϕ
∂z
∂ψ
=
cos ϕ cos ψ −r sin ϕ cos ψ −r cos ϕ sin ψ
sin ϕ cos ψ
r cos ϕ cos ψ
−r sin ϕ sin ψ
sin ψ
0
r cos ψ
= r
2
cos ψ.