semestr 2
- wykład 4
1
Przekształcenia liniowe
Niech U i V będą przestrzeniami liniowymi. Mówimy, że funkcja L : U −→ V
jest
przekształceniem liniowym, gdy:
a)
∀ x , y ∈ U ,
L(x + y) = L(x) + L(y) ( addytywność),
b)
∀ x ∈ U , α ∈ IR ,
L( α x) = αL(x)
( jednorodność).
Przykłady przekształceń liniowych
a) Niech U = V = IR. L( x) = m · x, gdzie m jest ustaloną liczbą m ∈ IR.
b) Niech U = V = IR3. L( x) = v × x, gdzie v jest ustalonym wektorem v ∈ IR3.
c) Niech U = V = IR2 × 2.
!!
!
!
a b
1 2
a b
L
=
.
c d
2 1
c d
Liniowa niezależność wektorów.
Wektory u1 , u2 , . . . , u n ∈ U są liniowo zależne ⇐⇒ co najmniej jeden z nich jest kombinacją liniowa pozostałych, tzn.
u k = α 1u1 + . . . + αk− 1u k− 1 + αk+1u k+1 + . . . + αn u n.
Baza przestrzeni liniowej.
Bazą przestrzeni liniowej U nazywamy zbiór wektorów tej przestrzeni { u1 , u2 , . . . , u n}, który jest liniowo niezależny i taki, że każdy wektor u ∈ U jest kombinacją liniową wektorów z tego zbioru.
Wymiar przestrzeni liniowej.
Wymiarem przestrzeni liniowej U ⊆ IR m nazywamy liczbę wektorów dowolnej bazy tej przestrzeni i oznaczamy dim( U ).
Jądro przekształcenia liniowego
Jądrem przekształcenia liniowego (przestrzenią zerową) L : U −→ V
nazywamy zbiór
Ker L = N ( L) określony wzorem: Ker L = { x ∈ U : L(x) = 0 }.
semestr 2
- wykład 4
2
Obraz przekształcenia liniowego
Obrazem przekształcenia liniowego L : U −→ V nazywamy zbiór Im L = R( L) określony wzorem:
Im L = { y ∈ V : ∃ x ∈ U : L(x) = y } = {L(x) : x ∈ U }.
Własność: dim(Im L) + dim(Ker L) = dim( U ).
Niech wektor e i postaci
0
0
.
..
0
e
i =
1
←− i-ta składowa
0
.
.
.
0
0
będzie wektorem bazy standardowej przekształcenia L.
Macierz przekształcenia liniowego
Niech L : IR n −→ IR m będzie przekształceniem liniowym i niech A będzie m × n macierzą, której i-ta kolumna określona jest równaniem a i = L(e i).
Macierz A jest wówczas jedyną macierzą taką, że Ax = L(x).
Rząd przekształcenia liniowego
Rzędem przekształcenia liniowego
L : U −→ V nazywamy wymiar obrazu tego przekształ-
cenia; r( L) = dim(Im L).
Niech A będzie macierzą przekształcenia liniowego L : IR n −→ IR m. Wówczas zachodzi rów-ność:
Im L = lin { a1 , a2 , . . . , a n} = R(A) , gdzie wektory a1 , a2 , . . . , a n są kolumnami macierzy A.
Minor macierzy
Niech A ∈ IR m×n oraz niech 1 ¬ k ¬ min( m, n). Minorem stopnia k macierzy A nazywamy wyznacznik podmacierzy, która powstała po skreśleniu m−k wierszy i n−k kolumn macierzy A.
Rząd macierzy
Rzędem macierzy A ∈ IR m×n nazywamy wymiar przestrzeni R(A) = lin { a1 , a2 , . . . , a n}, tzn.
r(A) = dim[ R(A)].
semestr 2
- wykład 4
3
Rząd macierzy A 6= 0 jest równy największemu stopniowi jej niezerowego minora.
Własności:
1. r(A) = r(A T ).
2. r(0) = 0.
3. A ∈ IR n×n ∧ detA 6= 0 = ⇒ r(A) = n.
Wartości i wektory własne
Wartości i wektory własne macierzy
Definicja. Niech A ∈ IR n×n. Liczbę λ ∈ IR nazywamy wartością własną A, jeżeli istnieje niezerowy wektor x ∈ IR n taki, że Ax = λ x.
Każdy wektor x 6= 0 spełniający tę równość nazywamy wektorem własnym A odpowiadającym wartości własnej λ.
Twierdzenie. Niech A ∈ IR n×n i I ∈ IR n będzie macierzą jednostkową. Wówczas, 1. wartościami własnymi macierzy A są liczby λ spełniające równanie det(A − λ I) = 0, 2. wektorami własnymi macierzy A odpowiadającymi wartości własnej λ 0 są niezerowe rozwiązania jednorodnego układu równań (A − λ 0I)x = 0.
Wartości i wektory własne przekształcenia liniowego Definicja. Niech L: U −→ U będzie przekształceniem liniowym. Liczbę λ ∈ IR nazywamy wartością własną L, jeżeli istnieje niezerowy wektor x ∈ U taki, że L(x) = λ x.
Każdy wektor x 6= 0 spełniający tę równość nazywamy wektorem własnym L odpowiadają-
cym wartości własnej λ.
Diagonalizacja macierzy
Definicja. Macierz
A ∈ IR n×n
nazywamy diagonalizowalną, jeżeli istnieje nieosobliwa macierz P ∈ IR n×n taka, że macierz P − 1AP jest diagonalna.
Twierdzenie. Macierz A ∈ IR n×n jest diagonalizowalna wtedy i tylko wtedy, gdy wektory własne macierzy A tworza bazę przestrzeni IR n.
Wniosek. Macierz diagonalizowalna A spełnia równanie A = PDP − 1, gdzie D jest ma-cierza diagonalną, której główną przekątną tworzą wartości własne macierzy A natomiast odpowiadąjace im wektory własne tworzą kolumny macierzy P.