Inżynieria Środowiska; semestr 2

- wykład 6

1

Pochodne cząstkowe

Niech f ( x, y) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu ( a, b).

Pochodną cząstkową (pierwszego rzędu) funkcji z = f ( x, y) względem zmiennej x w punkcie ( a, b) nazywamy granicę

f ( a + ∆ x, b) − f ( a, b) lim

,

∆ x→ 0

∆ x

o ile granica ta istnieje, i oznaczamy przez

∂f

∂z

f 0 ( a, b) =

=

.

x

∂x

∂x

( a,b)

( a,b)

Ekstremum funkcji dwóch zmiennych Warunek konieczny:

Jeżeli funkcja f ( x, y) ma w punkcie ( x 0 , y 0) ekstremum lokalne oraz ma w tym punkcie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu to:

f 0 ( x

( x

x

0 , y 0) = f 0

y

0 , y 0) = 0 .

Niech:

f 00 ( x

( x

W =

xx

0 , y 0)

f 00

xy

0 , y 0)

= f 00 ( x

( x

( x

xx

0 , y 0) f 00

yy

0 , y 0) − [ f 00

xy

0 , y 0)]2

f 00 ( x

( x

xy

0 , y 0)

f 00

yy

0 , y 0)

Jeżeli f ( x, y) jest funkcją mającą ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w pewnym otoczeniu punktu ( x 0 , y 0), taką, że f 0 ( x

( x

x

0 , y 0) = f 0

y

0 , y 0) = 0 , to:

1 ◦ dla W > 0 w ( x 0 , y 0) występuje ekstremum, mianowicie:

– maksimum, jeżeli f 00 ( x xx

0 , y 0) < 0,

– minimum, jeżeli f 00 ( x xx

0 , y 0) > 0; 2 ◦ dla W < 0 nie występuje w ( x 0 , y 0) ekstremum (w ( x 0 , y 0) istnieje punkt siodłowy).

Różniczka zupełna

Niech z = f ( x, y) będzie ciągła wraz z pierwszymi pochodnymi w pewnym otoczeniu punktu ( x, y). Różniczką zupełną funkcji z = f ( x, y) w punkcie ( x, y) dla przyrostów ∆ x = dx i ∆ y = dy nazywamy wyrażenie:

∂z

∂z

∂f

∂f

dz = df =

dx +

dy =

dx +

dy.

∂x

∂y

∂x

∂y

Dla małych przyrostów dx i dy zachodzi wzór:

∆ z = f ( x + ∆ x, y + ∆ y) − f ( x, y) ≈ dz.