Wydział WiLiŚ, Budownictwo, sem.2

dr Jolanta Dymkowska

Funkcje wielu zmiennych - pochodne cząstkowe

Zad.1 Na podstawie definicji obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego funkcji f w punkcie P :

1.1 f (x, y) = x

2

+ y

2

,

P (1, 2)

1.2 f (x, y) = y sin x,

P (0, π)

Zad.2 Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego:

2.1 f (x, y) = x

4

+ y

4

− 4x

2

y

2

2.2 f (x, y) = 8 + y

x

2.3 f (x, y) = ln(x

2

+ y

2

)

2.4 f (x, y) = arctg

y
x

2.5 f (x, y) = (1 + xy)

y

2.6 f (x, y) = sin

2 y

x

+ cos

2 x

y

2.7 f (x, y) = e

−

y2

x

2.8 f (x, y) = arcsin (xy

2

) + ln(3x − y)

2.9 f (x, y, z) = x y

2

z

3

− y sin z

2.10 f (x, y, z) = x

y arctg z

2.11 f (x, y, z) =

y
x

z

2.12 f (x, y, z) =

√

xy (3x + 2z)

√

yz

Zad.3 Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w punkcie P :

3.1 f (x, y) = x + y −

p

x

2

+ y

2

,

P (3, 4)

3.2 f (x, y) = y

2

sin 3x,

P (0, π)

3.3 f (x, y, z) = xy

2

+ yz

2

+ xz,

P (1, −1, 1)

Zad.4 Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego:

4.1 f (x, y) =

p

x

2

+ y

2

4.2 f (x, y) = xy e

xy

4.3 f (x, y) = e

y

sin x

4.4 f (x, y) = arctg

x+y

xy

4.5 f (x, y) = ln(4x

2

+ 2y

4

+ 1)

4.6 f (x, y) = x sin(x + y) + e

y

4.7 f (x, y, z) = x

y

+ z

4.8 f (x, y, z) = z cos(x

2

+ y

2

)

Zad.5 Sprawdzić, czy funkcja u spełnia równanie:

5.1 u(x, y) = ln(e

x

+ e

y

),

∂u
∂x

+

∂u
∂y

= 1

5.2 u(x, y) = arctg (2x − y),

∂

2

u

∂x

2

+ 2

∂

2

u

∂x∂y

= 0

5.3 u(x, y) = 2 cos

2

y −

x

2

,

2

∂

2

u

∂x

2

+

∂

2

u

∂x∂y

= 0

5.4 u(x, y) = x sin y + y sin x,

∂

2

u

∂x

2

+

∂

2

u

∂y

2

= −u

5.5 u(x, y) = x

y

y

x

,

x

∂u
∂x

+ y

∂u
∂y

= (x + y + ln u) u

5.6 u(x, y, z) =

p

x

2

+ y

2

+ z

2

,

∂u
∂x

2

+



∂u
∂y



2

+

∂u

∂z

2

= 1

5.7 u(x, y, z) =



x
y



z
y

,

x

∂u
∂x

+ y

∂u
∂y

+ z

∂u

∂z

= 0

Zad.6 Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f (x, y) w punkcie P

0

:

6.1 f (x, y) = x

y

,

P

0

(2, 4, 16)

6.2 f (x, y) = y ln(2 + x

2

y − y

2

),

P

0

(2, 1, z

0

)

6.3 f (x, y) =

arcsin x

arccos y

,

P

0



−

1
2

,

√

3

2

, −1



6.4 f (x, y) = e

x cos y

,

P

0

1, π,

1
e

6.5 f (x, y) = sin x cos y,

P

0

π

4

,

π

4

,

1
2

Zad.7

Napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni z = x

4

− 3y

2

, która jest równoległa do płaszczyzny

π : 4x + 12y − z − 5 = 0.

Zad.8

Napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni z = 1 + x

2

+ y

2

, która jest prostopadła do prostej

l : 3x = 2y = z.

Zad.9 Wyznaczyć różniczki zupełne funkcji:

9.1 f (x, y) = ln(y +

p

x

2

+ y

2

)

9.2 f (x, y) = tg

y

2

x

9.3 f (x, y) = e

x

2

+y

2

9.4 f (x, y, z) = (xy)

z

Zad.10 Obliczyć df (1, 0) , jeżeli f (x, y) = ln(x

2

+ y

2

).

Zad.11 Obliczyć df (1, 2, 1) , jeżeli f (x, y, z) =

z

x

2

+y

2

.

Zad.12 Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć wartość przybliżoną wyrażenia:

12.1

p(1, 06)

2

+ (1, 97)

3

12.2 1, 95 e

0,02

12.3 0, 98 ln 1, 01

12.4 (1, 03)

3,01

12.5 arctg

0,02
1,99

12.6 ln(

√

1, 04 +

4

√

0, 96 − 1)

12.7

(1,01)

3

−(2,99)

2

(1,01)

3

+(2,99)

2

12.8 sin 28

◦

cos 61

◦

12.9

p(1, 04)

1,99

+ ln(1, 02)

12.10 1, 002 · (2, 003)

3

· (2, 996)

3