Ekstrema funkcji wielu 

zmiennych 

Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych 

 

Niech 

 

y

x

f

,

  będzie  funkcją  określoną  na  zbiorze 

2

R

D

f



,  o  wartościach  w  R.  Niech 





f

D

y

x



0

0

,

. 

Mówimy,  że  funkcja 

 

y

x

f

,

  ma  w  punkcie 





f

D

y

x



0

0

,

maksimum  (minimum)  lokalne, 

gdy istnieje otoczenie tego punktu takie, że dla każdego punktu 

 

y

x,

 należącego do tego 

otoczenia zachodzi nierówność: 

 





0

0

,

,

y

x

f

y

x

f



  

 









0

0

,

,

y

x

f

y

x

f



. 

Warunek konieczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych 

 

Jeżeli funkcja 

 

y

x

f

,

 ma w punkcie 





f

D

y

x



0

0

,

ekstremum, a obie pochodne cząstkowe 

pierwszego rzędu w tym punkcie i jego otoczeniu istnieją, to pochodne te są w tym punkcie 
równe zeru: 





0

,

0

0

'



y

x

f

x

 i  





0

,

0

0

'



y

x

f

y

. 

Warunek dostateczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych 

 

Załóżmy,  że  funkcja  dwóch  zmiennych 

 

y

x

f

,

  ma  pochodne  cząstkowe  drugiego  rzędu 

w otoczeniu punktu 





f

D

y

x



0

0

,

.  

Niech wyróżnik funkcji 

 

y

x

f

,

 ma postać 

 

   

   

y

x

f

y

x

f

y

x

f

y

x

f

y

x

W

yx

xy

yy

xx

,

,

,

,

,

''

''

''

''





, 

to znaczy 

 

 

 

 

 

y

x

f

y

x

f

y

x

f

y

x

f

y

x

W

yy

xy

yx

xx

,

,

,

,

,

''

''

''

''



. 

Załóżmy,  że  w  punkcie 





f

D

y

x



0

0

,

  spełniony  jest  warunek  konieczny  istnienia 

ekstremum funkcji, tzn. 





0

,

0

0

'



y

x

f

x

 i  





0

,

0

0

'



y

x

f

y

. 



1

 Jeżeli 









0

,

 

i

 

0

,

0

0

''

0

0





y

x

f

y

x

W

xx

, to funkcja 

 

y

x

f

,

 ma w punkcie 





0

0

, y

x

 minimum. 



2

 Jeżeli 









0

,

 

i

 

0

,

0

0

''

0

0





y

x

f

y

x

W

xx

, to funkcja 

 

y

x

f

,

 ma w punkcie 





0

0

, y

x

 maksimum. 



3

 Jeżeli 





0

,

0

0



y

x

W

, to funkcja 

 

y

x

f

,

 nie ma w punkcie 





0

0

, y

x

 ekstremum. 



4

 Jeżeli 





0

,

0

0



y

x

W

, to funkcja 

 

y

x

f

,

 może mieć lub nie mieć ekstremum w punkcie 





0

0

, y

x

 

Przykład  

Zbadać ekstremum funkcji 

 

x

y

y

x

x

y

x

f

15

3

3

,

3

2

3







