Zad 1. Znaleźć dziedzinę funkcji:

a) f (x, y) = ln (x + y + 5)

b) f (x, y) =

q

(x − y)(2x + y − 1)

c) f (x, y) = arccos(x

2

+ y

2

− 4)

d) f (x, y) =

√

2−x

2

−y

2

x+y

e) f (x, y) = ln(2 + ln(x − y))

f) f (x, y) = ln (ye

x

− y

2

)

g) f (x, y) =

√

xe

x

− xy

Zad 2. Obliczyć granice :

a)f (x, y) =

sin

2

(xy)

2xy

w punkcie (0, 0)

b)f (x, y) =

x

2

+y

2

xy

w punkcie (0, 2)

c)f (x, y) =

2(x−y)

x

2

−y

2

w punkcie (1, 1)

d)f (x, y) =

sin(3xy)

2xy

w punkcie (0, 0)

e)f (x, y) =

x

2

−y

2

sin(x−y)

w punkcie (0, 0)

f)f (x, y) =

x

2

−y

2

x+y

w punkcie (−2, 2)

g)f (x, y) =

cos x−cos y

x

2

+y

2

w punkcie (0, 0)

Zad 3. Znaleźć pochodne cząstkowe funkcji:

a)f (x, y) = 2x

2

− 5y

2

+ xy + 2

b)f (x, y) = xy

2

+ xy + x + 2y + 1

c)f (x, y) = xy

3

− 2x

2

y + xy − 10

d)f (x, y) = ln(x

3

+ y

3

)

e)f (x, y) = e

x+2y−2

(x + y)

f)f (x, y) =

x

2

y + x

y

2

+ xy

Zad 4. Znaleźć ekstrema lokalne:

a)f (x, y) = (x − 3)

2

(y − 1)

2

b)f (x, y) = x

3

+ y

3

+ 3xy

c)f (x, y) = x

2

− 5y

3

+ xy + 2

d)f (x, y) = x

2

+ xy

2

+ xy

e)f (x, y) = (2x + y

2

)e

x

f)f (x, y) = (x − y + 1)

2

+ (2x + y − 4)

2

g)f (x, y) = yx

2

+ y

3

− 4x

2

Zad 5. Znaleźć ekstrema globalne:

a)f (x, y) = x − 2y w obszarze

{(x, y) : 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 2}

b)f (x, y) = x

2

− 2y

2

+ xy − x + 2y + 3 w obszarze

ograniczonym prostymi y = x, x + y = 2, x = −1

c)f (x, y) = x − 2y

2

+ 1 w kole x

2

+ y

2

= 9

d)f (x, y) = x

2

− 2y w elipsie x

2

+ 2y

2

= 2

Zad 6. Znaleźć ekstrema warunkowe:

a)f (x, y) = x

2

+ 2y

2

− 10 przy warunku

y = x + 1 dla x ∈< −6, 6 >

b)f (x, y) = x − 2y + 1 przy warunku xy = 6

c)f (x, y) = y − 4x przy warunku

y = x

2

+ y

2

+ 2x − 4y + 1 = 0

d)f (x, y) = 4x

2

+y

2

+2xy przy warunku x

2

+y

2

= 4

Przygotował: Andrzej Musielak