CAŁKI FUNKCJI WYMIERNYCH,
TRYGONOMETRYCZNYCH I NIEWYMIERNYCH
CAŁKI FUNKCJI WYMIERNYCH,
TRYGONOMETRYCZNYCH I NIEWYMIERNYCH
2
CAŁKI FUNKCJI WYMIERNYCH
Definicja (funkcja wymierna właściwa)
Funkcję wymierną
( )
( )
( )
L x
W x
M x
=
nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku jest
mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. W przeciwnym przypadku mówimy, ze funkcja
wymierna jest niewłaściwa.
Uwaga.
KaŜdą funkcję wymierna niewłaściwą moŜna przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji
wymiernej właściwej.
Definicja (ułamki proste pierwszego i drugiego rodzaju)
1.
Funkcję wymierną postaci
(
)
n
A
x
a
+
, gdzie
,
,
n
a A
∈
∈
ℕ
ℝ
, nazywamy ułamkiem prostym
pierwszego rodzaju.
2.
Funkcję wymierną postaci
(
)
2
n
Bx
C
x
bx
c
+
+
+
, gdzie
,
, , ,
n
b c B C
∈
∈
ℕ
ℝ
, oraz
2
4
0
b
c
∆ =
−
<
, nazywamy
ułamkiem prostym drugiego rodzaju.
Twierdzenie (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)
KaŜda funkcja wymierna właściwa rzeczywista jest sumą ułamków prostych. Przedstawienie to jest
jednoznaczne. Funkcja wymierna właściwa
( )
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
...
...
s
r
l
l
l
k
k
k
r
s
s
L x
x
x
x
x
x
x
x
b x c
x
b x c
x
b x c
−
−
−
+
+
+
+
+
+
jest sumą
1
2
...
r
k
k
k
+ + +
ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz
1
2
...
s
l
l
l
+ + +
ułamków prostych
drugiego rodzaju, przy czym
czynnikowi
(
)
i
k
i
x
x
−
odpowiada suma k
i
ułamków prostych pierwszego rodzaju postaci:
(
)
(
)
1
2
2
...
i
i
ik
i
i
k
i
i
i
A
A
A
x
x
x
x
x
x
+
+ +
−
−
−
, gdzie
1
2
,
,...,
1
i
i
i
ik
A A
A
i
r
∈
≤ ≤
ℝ
,
czynnikowi
(
)
2
j
l
j
j
x
b x
c
+
+
odpowiada suma l
j
ułamków prostych drugiego rodzaju postaci:
(
)
(
)
1
1
2
2
2
2
2
2
...
j
j
j
jl
jl
j
j
j
j
l
j
j
j
j
j
j
B x C
B x C
B x C
x
b x
c
x
b x c
x
b x
c
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
, gdzie
1
2
1
2
,
,...,
,
,
,...,
1
j
j
j
j
jl
j
j
jl
B
B
B
C
C
C
j
s
∈
≤ ≤
ℝ
.
Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju
Do obliczania całek z ułamków prostych pierwszego rodzaju stosujemy podstawienie
t
x
a
= +
i następnie
korzystamy ze wzoru:
1
ln
1
1
1
t
C dla
t dt
t
C dla
α
α
α
α
α
+
+
= −
=
+
≠ −
+
∫
3
Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju
Do obliczania całek z ułamków prostych drugiego rodzaju stosujemy wzór
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
n
n
n
Bx C dx
x b dx
B
Bb
dx
C
x
bx
c
x
bx c
x
bx c
+
+
=
+
−
+ +
+ +
+ +
∫
∫
∫
.
Pierwszą z tych całek obliczamy za pomocą podstawienia
2
t
x
bx
c
=
+ +
, a drugą po sprowadzeniu
trójmianu
2
x
bx
c
+ +
do postaci kanonicznej:
(
)
2
2
2
2
4
b
b
x
p
q
x
c
−
+ =
+
+ −
i podstawieniu
x
p
q t
− =
⋅
za pomocą wzoru:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
2
2
2
2
3
2
1
2
1
n
n
n
dx
x
n
dx
n
a
x
a
n
a x
a
x
a
−
−
−
=
+
−
+
−
+
+
∫
∫
.
(
** - ograniczymy się do n=1)
CAŁKI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
Całkowanie funkcji postaci: sin
cos
n
m
x
x
⋅
:
1.
Jeśli
n lub m jest nieparzystą liczbą naturalną stosujemy „jedynkę trygonometryczną”:
2
2
sin
1 cos
x
x
= −
( lub
2
2
cos
1 sin
x
x
= −
)
2.
Jeśli
n, m są parzystymi liczbami naturalnymi wykorzystujemy toŜsamości:
(
)
2
1
sin
1 cos 2
2
x
x
=
−
,
(
)
2
1
cos
1 cos 2
2
x
x
=
+
(*) Całkowanie funkcji postaci: sin
cos
, sin
sin
, cos
cos
ax
bx
ax
bx
ax
bx
⋅
⋅
⋅
:
Do obliczania całek funkcji takiej postaci stosujemy następujące toŜsamości trygonometryczne:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
sin
cos
sin
sin
,
2
1
sin
sin
cos
cos
2
1
cos
cos
cos
cos
2
ax
bx
a
b x
a
b x
ax
bx
a
b x
a
b x
ax
bx
a
b x
a
b x
⋅
=
+
+
−
⋅
=
−
−
+
⋅
=
+
+
−
Uwaga.
R(u,v) - funkcja wymierna dwóch zmiennych, tzn. funkcja, którą moŜna przedstawić w postaci ilorazu
wielomianów dwóch zmiennych.
Całkowanie funkcji postaci:
(
)
sin , cos
R
x
x
:
Podstawienie:
2
x
t
tg
=
(podstawienie uniwersalne). Wówczas:
2
2
2
2
2
1
2
sin
, cos
,
1
1
1
t
t
dt
x
x
dx
t
t
t
−
=
=
=
+
+
+
.
(*) Całkowanie funkcji postaci:
(
)
2
2
sin
, cos
R
x
x :
Podstawienie:
t
tgx
=
. Wówczas:
2
2
2
2
2
2
1
sin
, cos
,
1
1
1
t
dt
x
x
dx
t
t
t
=
=
=
+
+
+
.
4
CAŁKI FUNKCJI NIEWYMIERNYCH
Całkowanie funkcji zawierających
2
ax
bx
c
+
+
1.
Całka typu
2
dx
ax
bx
c
+
+
∫
.
Trójmian kwadratowy
2
ax
bx
c
+
+
sprowadzamy do postaci kanonicznej
(
)
2
a x
p
q
−
+
.
Następnie, stosując podstawienie:
(
)
a x
p
qt
−
=
, sprowadzamy całkę do postaci:
2
2
ln
1
,
0
1
dt
t
t
C
a
t
=
+
+ +
>
+
∫
lub
2
arcsin
,
0
1
dt
t
C
a
t
=
+
<
−
∫
.
2.
Całka typu
( )
2
n
W
x dx
ax
bx
c
+
+
∫
, gdzie
( )
n
W
x
jest wielomianem n – tego stopnia, ma następującą
postać:
( )
( )
2
1
2
2
n
n
W
x
dx
dx
A
x
ax
bx
c
B
ax
bx
c
ax
bx
c
−
=
+
+ +
+
+
+
+
∫
∫
Wartości współczynników
1
2
1
,
,...,
,
n
A A
A
B
−
otrzymujemy jako rozwiązanie układu równań, który
powstaje po obustronnym zróŜniczkowaniu powyŜszego wzoru, pomnoŜeniu przez
2
ax
bx
c
+
+
i porównaniu wielomianów.
Całkowanie funkcji zawierających pierwiastki z
ax
b
cx
d
+
+
Całki postaci
,
,
m
n
ax
b
ax
b
W x
dx
cx
d
cx
d
+
+
+
+
∫
, obliczamy przez podstawienie
ax
b
t
cx
d
α
+ =
+
gdzie α jest
najmniejszą wspólną wielokrotnością stopni m, n tych pierwiastków.