5.2. Para sił. Moment pary sił
    Układ dwóch sił równoległych (rys. 5.2) o równych wartoŚciach, lecz różnych zwrotach, nazywamy parą sił.
Ramieniem pary sił oznaczonym na rysunku literą d,  nazywamy najkrótszą  odległoŚć między prostymi działania sił  pary.

    Pary sił nie można zastąpić jedną siłą (co wynika z rozważń w punkcie 5.1). Pary sił nie da się zastąpić równoważnym układem prostszym.
    Para sił, przyłożona do swobodnego ciała sztywnego, powoduje jego obrót dookoła osi prostopadłej do płaszczyzny działania pary (płaszczyzny wyznaczonej przez przez proste działania sił, które tworzą parę).
    Parę sił można zastapić inną siłą o tym samym działaniu. Działanie pary sił na bryłę okreŚla iloczyn siły i ramienia pary oraz kierunek obrotu. Dlatego działanie pary sił na bryłę okreŚlamy wektorem, który nazywamy momentem pary.
Moment pary sił jest to wektor (rys. 5.3) prostopadły do płaszczyzny działania pary.

    WartoŚć momentu pary jest równa iloczynowi wartoŚci siły i ramienia, a jego zwrot jest taki, że patrząc od strony strzałki wektora momentu widzimy obrót pary w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (odpowiada to prawoskrętnemu układowi współrzędnych).

Moment pary można zdefiniować również jako iloczyn wektorowy (rys.5.4) wektora ρ i wektora siły P.

                                                    

M (P, P') = ρ x P                                                                                                                                                                        (5.2)                

WartoŚć momentu M (P, P') obliczamy:

M = P sin(ρ, P)                                                                                                                                                                          (5.3)

d = ρ sin(ρ, P)
M (P, P') = Pd                                                                                                                                                                           (5.4)

Jeżeli będziemy rozpatrywać pary sił działające tylko w jednej płaszczyźnie, to wektory przedstawiające momenty tych par będą do siebie wszyskie równoległe. Wtedy, wygodnie jest posługiwać się momentem pary za pomcą  wartoŚci momentu z odpowiednim znakiem "plus" lub "minus" (rys 5.3).
Przy takiej umowie M (P, P'), zapiszemy: M (P, P') = + P d,
a   M (P1, P1') zapiszemy: M (P1, P1') =  - P1 d1.

Siła tarcia statycznego jest to reakcja styczna (styczna składowa całkowitej reakcji), przeciwstawiająca się przesunięciu ciał względem siebie czyli siłę oporu, zapobiegającą ruchowi, który by powstał gdyby tarcia nie było.
największa wartość siły przesuwającej, która przy danym nacisku jeszcze nie naruszy stanu względnego spoczynku, jest równa tak zwanej rozwiniętej siły tarcia statycznego Tst.max=μst N gdzie: N - jest reakcją normalną, μst - współczynnikiem tarcia statycznego.

SKRĘTNIKIEM albo śrubą statyczną nazywamy układ sił złożony z siły i pary sił działających w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny działania pary sił skrętnik może być prawy lub lewy.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi przestrzennego dowolnego układu sil jest aby algebraiczne sumy rzutów wszystkich sił na trzy wzajemnie prostopadłe osie układu były równe zeru i aby algebraiczne sumy momentów wszystkich sił względem tych trzech osi były równe zeru. Wg=0 Mg=0

ΣPix=0 ΣPiy=0 ΣPiz=0 ΣMx=0 ΣMy=0 ΣMz=0

Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi płaskiego dowolnego układu sił jest, aby sumy algebraiczne rzutów wszystkich sił na każdą z dwóch nierównolgłych osi równały się zeru i suma momentów wszystkich sił względem dowolnie obranego bieguna na płaszczyźnie działania tych sił była równa zeru (trzy równania równowagi).

trzy analityczne warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił:

1.suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś x musi się równać zeru,

2.suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś y musi się równać zeru,

3.suma algebraiczna momentów wszystkich sił (moment główny) względem dowolnego bieguna musi się równać zeru.

Para sił - jest to układ dwóch równoległych sił o równych modułach i przeciwnych zwrotach.

Równanie pary sił:

Moduł momentu pary sił możemy zapisać jako:

Wektor momentu pary sił jest prostopadły do płaszczyzny działania obu sił, a jego zwrot określa regułą śruby prawoskrętnej.

Własności pary sił:

Dwie pary sił leżące na tej samej płaszczyźnie są równoważne, gdy mają równe momenty:
P₁h₁ = P₂h₂

Parę sił można przesuwać po dowolnej płaszczyźnie równoległej do jej płaszczyzny działania

Pary sił działające w jednej płaszczyźnie można zastąpić parą wypadkową o momencie M, którego wartość jest równa sumie algebraicznej wartości momentów poszczególnych par:

Układ n par sił o różnych płaszczyznach działania i o momencie M_k można zastąpić parą równoważną o momencie równym sumie geometrycznej momentów par składowych:

Ostatnia własność pozwala sformułować warunek równowagi par sił działających na ciało sztywne w różnych płaszczyznach:

Aby pary sił działające na ciało sztywne w różnych płaszczyznach znajdowały się w równowadze, suma geometryczna momentów tych par musi być równa zeru.

Warunki równowagi dowolnego układu sił:

Aby dowolny układ sił był w równowadze, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest, by suma sił i suma momentów względem dowolnego punktu były równe zeru.

Aby dowolny układ sił był w równowadze, sumy rzutów wszystkich sił na trzy osie układu współrzędnych oraz sumy momentów wszystkich sił względem tych osi muszą być równe zeru.

Warunki równowagi płaskiego układu sił:

Aby płaski dowolny układ sił był w równowadze, sumy rzutów wszystkich sił na dwie osie układu współrzędnych i suma momentów tych sił względem dowolnego punktu płaszczyzny działania sił muszą być równe zeru.

Płaski układ sił jest w równowadze, jeżeli sumy momentów wszystkich sił względem trzech punktów nie leżących na jednej prostej są równe zeru.

Środek ciężkości jest to punkt położenia wypadkowej siły ciężkości układu lub ciała materialnego.

Dla figur płaskich można przeprowadzić podobne rozważania. Zatem, elementarnym powierzchniom figury płaskiej F przyporządujemy siłe ciężkoŚci Gi =  Fi, gdzie  jest ciężarem przypadającym na jednostkę pola powierzchni figury płaskiej.Wówczas współrzędne Środka ciężkosci wynoszą:

                                                                                                                (9.10)
Przechodząc do granicy, otrzymujemy:

                                                                                                                             (9.11)

gdzie 
jest powierzchnią całkowitą.

Twierdzenie Pappusa-Guldina

Pole powierzchni F, powstałej poprzez obrót jednorodnej i płaskiej linii o długości L dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej linii i nie przecinającej jej, jest równe długości linii pomnożonej przez długość okręgu opisanego przy obrocie przez jej środek ciężkości:


gdzie
jest odległością środka ciężkości linii od osi obrotu.

Objętość bryły V, powstałej przy obrocie figury płaskiej o polu F dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej figury i nie przecinającej jej, jest równe polu powierzchni figury pomnożonemu przez długość okręgu opisanego przy obrocie przez jej środek ciężkości:


przy czym
jest tutaj odległością środka ciężkości figury od osi obrotu.

Równanie
nazywamy wektorowym równaniem ruchu, a trzy równania:

x = x(t) y = y(t) z = z(t)

, równoważne wektorowemu, skalarnymi lub algebraicznymi równaniami ruchu.

Tor ruchu to hodograf wektora wodzącego
.

Prędkością punktu nazywamy pochodną względem czasu wektora wodzącego tego punktu:

Po zapisaniu prędkości w prostokątnym układzie współrzędnych:

przyspieszenie może mieć dwie składowe: styczną i normalną (skierowaną do środka krzywizny).

,

Wartość przyspieszenia całkowitego obliczymy ze wzoru:

12.2.1. Siła tarcia toczenia. Ramię oporu toczenia
Tarcie toczenia lub opór toczenia powstaje przy usiłowaniu przetoczenia walca o ciężarze G po poziomej płaszczyźnie. Gdyby walec toczący się po podłożu i podłoże były idealnie sztywne, to styk występowałby tylko wzdłuż tworzącej walca, przechodzącej przez punkt A (rys.12.2).

    Scharakteryzujmy toczenie siłą oporu toczenia. Jeżeli przyłożymy do osi rolki siłę P, to między rolką a płaszczyzną, na której ona spoczywa, powstają siły tarcia.
Przeanalizujmy przypadek, kiedy siła P jest równoległa do poziomej płaszczyzny. Z doŚwiadczenia wiadomo, że przy zmianie wartoŚci siły P od 0 do pewnj granicznej wartoŚci, rolka pozostaje w spoczynku (można tak przyjąć z wystarczającą dla praktyki dokładnoŚcią), to znaczy siły działające na rolkę równoważą się. Reakcja N1 powinna przechodzić przez oŚ rolki co wynika z waruku równowagi dla trzech sił nierównoległych. W związku z tym punkt przyłożenia reakcji N1  musi być przesunięty od pionu OA o pewną odległoŚć f. W przeciwnym przypadku reakcja N1 nie miałaby składowej poziomej koniecznej do zrównoważenia siły P. Graniczną wartoŚć siły Pgr , przy której jeszcze nie będzie toczenia, można znaleźć z podobieństwa trójkątów OAB i trójkąta sił  N1, G, P.
Przyjmując 
, otrzymamy:


skąd

.
        Wielkosć f mierzymy w jednostkach długoŚci i nazywamy ramieniem oporu toczenia.
Z ostaniego wzoru można również obliczać opór toczenia przy ruchu ustalonym.
        Stosunek f/R dla wielu elementów maszyn, wykonanych z różnych materiałów, ma wartoŚć znacznie mniejszą niż odpowiednie współczynniki tarcia Ślizgowego. Dlatego też w technice, tam gdzie jest to możliwe, dąży się do zastąpienia tarcia slizgowego tarciem toczenia (łożyska toczne, koła rolki itp.)
   

Dla figur płaskich można przeprowadzić podobne rozważania. Zatem, elementarnym powierzchniom figury płaskiej F przyporządujemy siłe ciężkoŚci Gi =  Fi, gdzie  jest ciężarem przypadającym na jednostkę pola powierzchni figury płaskiej.Wówczas współrzędne Środka ciężkosci wynoszą:

                                                                                                                (9.10)
Przechodząc do granicy, otrzymujemy:

                                                                                                                             (9.11)

gdzie 
jest powierzchnią całkowitą.

Skrętnik - jest to płaszczyzna zawierająca parę sił, która jest prostopadła (płaszczyzna z parą sił) do siły równej wektorowi głównemu R. Linia działania siły R wchodzącej w skład skrętnika nazywa się osią centralną

---