Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego

Model ekonometryczny jest statystycznym opisem zależności między zmiennymi relacji będących obrazem rzeczywistości ekonomicznej ale przede wszystkim jest instrumentem analizy modelowanych zależności.

Ponieważ model budowany jest w oparciu o informacje z przeszłości, chcemy wiedzieć jakie są możliwości wykorzystania modelu do opisu przyszłości. Opis taki z pewnością wymaga przyjęcia istotnych dla wiarygodności opisu założeń, czego dotyczą?.

1. Założenia, że zbudowany został „dobry model”,

2. Relacje strukturalne są stabilne w czasie, daje to przekonanie, że związki opisane w oparciu o informacje z przeszłości będą miały podobne charakterystyki w horyzoncie prognozy,

3. Składnik losowy ma stały rozkład w czasie. Oznacza to, że nie pojawiają się nowe istotne zmienne oddziaływujące na zmienną prognozowaną, dotychczasowe natomiast nie zmieniają swego oddziaływania zgodnie z założeniem 2,

4. Znane są wartości zmiennych objaśniających /lub ich rozkłady prawdopodobieństwa/ w momencie lub okresie prognozowanym,

5. Nie istnieją ograniczenia co do możliwości ekstrapolacji modelu.

Prognozowanie na podstawie modelu jednorównaniowego

Z założenia model jest relacją np. liniową postaci:
, t
[1, n]. Chcąc wyznaczyć prognozy zmiennej Y zakładamy, że wartości zmiennych {
} dla w przedziale horyzontu prognozy / t > n / są znane i równe odpowiednio {
}, składnik losowy ma wariancję
i wartość oczekiwaną E(ξ)= 0. Stąd:

.

Ponieważ rzeczywiste wartości parametrów strukturalnych
nie są znane, potrafimy dokonać oceny ich wartości na podstawie próby statystycznej, stąd jeżeli oceny są nieobciążone /stosując kmnk, mamy taką gwarancję/, to zamiast wartości parametrów możemy przyjąć ich oceny z próby, a zatem:
, dla t > n.

Oceny parametrów strukturalnych {
} oznaczają przeciętne zmiany wartości zmiennej prognozowanej, jakie powodowała w przeszłości zmiana i- tej zmiennej o jednostkę, przy założeniu, że pozostałe zmienne pozostawały niezmienne.

Przedstawiony algorytm konstrukcji prognoz, pozwala wyznaczyć prognozę punktową. Z uwagi na to, że prognoza zmiennej Y jest wyznaczona na poziomie oczekiwanej wartości zmiennej prognozowanej w momencie lub też okresie prognozy, algorytm konstrukcji prognoz określany jest w literaturze przedmiotu jako prognozowanie według zasady nieobciążonej.

Prognoza przedziałowa: konstrukcja przedziału prognozy, tj. przedziału liczbowego, do którego z góry zadanym prawdopodobieństwem p, zwanym wiarygodnością prognozy, należeć będzie przyszła wartość prognozowanej zmiennej. W praktyce jest to przedział symetryczny wokół wartości oczekiwanej zmiennej prognozowanej E(Y_t), na moment lub okres T prognozy
:

P(
- u




+ u
) = p,

gdzie: u - współczynnik zależny od rozkładu zmiennej prognozowanej oraz długości szeregu czasowego (u > 0).

Jeżeli w procesie weryfikacji hipotezy zgodności rozkładu reszt modelu z rozkładem normalnym składnika losowego, hipoteza nie została odrzucona, to wartość współczynnika u odczytywana jest z tablic rozkładu normalnego (dla n> 30) lub z tablic rozkładu t - Studenta dla n - 2 stopni swobody i prawdopodobieństwa 1 - p.

Jeśli hipotezy o zgodności rozkładu reszt z rozkładem normalnym nie można przyjąć, wówczas wartość współczynnika u może być wyznaczona z nierówności Czebyszewa:

P {|Y - E(Y)|
u σ }
1 -
,

Dopuszczalność prognoz określana jest w oparciu o miary ex ante: bezwzględny błąd prognozy oraz względny błąd prognozy.

Prognozowanie na podstawie modelu jednorównaniowego dynamicznego

Obserwowane w praktyce zjawisko inercji procesów gospodarczych, nakazuje uzupełnić zbiór zmiennych objaśniających o zmienne objaśniane opóźnione w czasie. Niestety w przypadku modeli dynamicznych, wyraźnie uwidacznia się zależność miedzy składnikami losowymi. To sytuacja, która uchyla możliwość stosowania kmnk.

Załóżmy, że w składniku losowym występują silne związki korelacyjne, ma więc miejsce autokorelacja składnika losowego rzędu pr, wówczas:

, do oszacowania parametrów strukturalnych należy wziąć ciąg reszt {
}, nie znane są bowiem rzeczywiste wartości zmiennej losowej
.

Prognozę wartości składnika losowego w okresie prognozowanym wyznaczyć można z zależności:
, t > n, gdzie
są ocenami parametrów
.

Prognoza zmiennej Y w okresie t > n będzie zatem równa:
, gdzie
/i = 0, 1, 2/ są ocenami parametrów
.

Z punktu widzenia procesu prognozowania - w odróżnieniu od estymacji - brak niezależności składników losowych modelu tj. autokorelacja, nie jest zjawiskiem niekorzystnym, takie rozwiązanie poprawia dokładność prognoz.

Prognozowanie na podstawie modeli ze zmiennymi parametrami

Niekiedy weryfikując hipotezę o stabilności parametrów strukturalnych odrzucamy ją na rzecz hipotezy alternatywnej. Praktyka ekonometryczna dopuszcza przypadki konstrukcji prognoz w oparciu o modele ze zmiennymi w czasie parametrami strukturalnymi. W takich przypadkach, parametry strukturalne modelu są średnia z wartości ocen parametrów strukturalnych otrzymanych w wyniku aproksymacji segmentowej, zasady aproksymacji są następujące:

A. Ze zbiorów realizacji
oraz
/i = 0, 1,…,k; t = 1, 2,…,n/ zmiennych Y oraz X_i, dla ustalonej wartości m, takiej, że k < m < n, wybierane zostają podzbiory informacji o zmiennych modelu:

1.

,

2.

n-m+1.

,

B. Na podstawie tak wybranych prób statystycznych szacowane są parametry strukturalne modelu, w rezultacie otrzymamy:

1.
+ e_1t,

2.
+ e_2t,

………………………………………………………………………………….,

n-m+1.
+ e_{n-m+1 t},

C. Na podstawie informacji o oszacowanych parametrach strukturalnych w n-m+1 modelach „segmentowych” wyznaczamy średnie wartości tych parametrów:

dla dowolnego i = 1, 2, …, n-m+1 otrzymujemy
, stąd:

,

D. W oparciu o oszacowane wartości średnie parametrów w modelach segmentowych, konstruowana jest prognoza zmiennej Y:

.

Budowa prognoz na podstawie modelu wielorównaniowego

Modele proste

Parametry każdego równania modelu mogą być szacowane osobno kmnk. Jeżeli jednak składniki losowe poszczególnych równań są ze sobą powiązane, to estymator nie jest najefektywniejszy, ma to wpływ na jakość prognoz. W takiej sytuacji zalecane jest jednoczesne szacowanie wszystkich parametrów modelu . Konstrukcja prognoz identyczna jak w przypadku modeli jednorównaniowych.

Modele rekurencyjne

Jest to taka klasa modeli wielorównaniowych, które charakteryzuje szczególna budowa relacji, mianowicie w dowolnym równaniu jako zmienne objaśniające występują obok zmiennych z góry ustalonych te zmienne łącznie współzależne /nie opóźnione w czasie/, które wcześniej wystąpiły jako zmienne objaśniane, niech:

,

,

……………………………………………………………

,

.

Konstrukcję prognoz zmiennych Y₁, Y₂, …,Y_G określa się mianem prognozowania łańcuchowego, odbywa się według następującego schematu:

,

,

……………………………………………………………

,

.

Miary dokładności prognoz konstruowanych w oparciu o modele rekurencyjne, definiowane są tak jak w przypadku modeli jednorównaniowych.

Prognozowanie na podstawie modeli o równaniach współzależnych

Niech układ G relacji, opisuje zmiany G zmiennych łącznie współzależnych wskutek zmian, zarówno zmiennych łącznie współzależnych występujących w relacjach jako zmienne objaśniające oraz zmiennych z góry ustalonych:

,

,

……………………………………………………………

,

.

Konstrukcję prognoz zmiennych Y₁, Y₂, …,Y_G, odbywa się według następującego schematu:

,

,

……………………………………………………………

,

.

Z analizy współzależności pomiędzy zmiennymi Y₁, Y₂, …,Y_G wynika istotny wniosek, który wyklucza możliwość wyznaczania prognoz w oparciu o tak zdefiniowany zbiór relacji. Już w pierwszym równaniu modelu oszacowanie prognoz zmiennej Y₁ wymaga wyznaczenia prognoz niektórych spośród F₁ < G zmiennych łącznie współzależnych występujących w roli zmiennych objaśniających w relacji opisującej zmiany zmiennej Y₁. To nie jest możliwe do zrealizowania, bowiem prognozy tych zmiennych będą szacowane wówczas gdy skonstruujemy prognozę zmiennej Y₁.

Oznaczymy:

, Γ=
, Y =
, X =
,
=
,

to układ równań współzależnych można zapisać jako
= 0, jest to postać strukturalna modelu.

Załóżmy, że istnieje macierz odwrotna macierzy
, jeśli postać strukturalną modelu pomnożymy lewostronnie stronami przez
wówczas otrzymamy:

(
)= 0,

,

,

,

,

gdzie:
,
, jest to postać zredukowana modelu.

W rezultacie otrzymujemy model równoważny postaci strukturalnej, w którym jedynymi zmiennymi objaśniającymi są zmienne z góry ustalone. Oznacza to, zmianę klasy wg. kryterium powiązań pomiędzy zmiennymi modelu, postać zredukowana modelu jest modelem prostym. Prognozy zmiennych łącznie współzależnych można oszacować jako
, stąd:

,

,

………………………………………………………………

,

.

„Dobry model” to model zgodny z danymi empirycznymi. Zgodności modelu potwierdza pozytywny wynik weryfikacji modelu ekonometrycznego.

W praktyce założenie stabilności struktury modelu jest bardzo kategoryczne, oznacza to, że proces prognozowania wymaga uzupełnienia o permanentne weryfikowanie stabilności struktury model, Zeliaś A. Teoria prognozy, Warszawa PWE 1984.

W takim przypadku estymatory uzyskane w wyniku kmnk nie są zgodne. Oznacza to konieczność zmiany metody estymacji. Należy zmienić metodę estymacji, wybór nie jest duży, pozostaje wybrać pomiędzy uogólnioną metodą najmniejszych kwadratów opisaną przez Aitkena, bądź podjąć próbę estymacji metodą różniczki zupełnej - Pawłowski Z. Ekonometria, PWN Warszawa 1978.

Pawłowski Z. op. cit. s. 82 - 83, autor powołuje się Goldbergera A.S., który wykazał, że w przypadku estymacji parametrów modelu uogólnioną metodą najmniejszych kwadratów Aitkena, wariancja prognozy jest mniejsza aniżeli w przypadku estymacji kmnk.

Metodę przedstawił Zellner, jej opis zamieszcza Zeliaś A. Teoria prognozy PWE Warszawa 1984

---