Wprowadzenie

do ekonometrii

i prognozowania

(5)

Prognozowanie na podstawie

modeli ekonometrycznych

GK (WEiP(05) - 2010)

2

Prognozowanie na podstawie

modelu ekonometrycznego

(prognozowanie ekonometryczne)

polega na budowaniu prognozy,

dotyczącej przyszłej wartości zmiennej

objaśnianej (zmiennej prognozowanej)

na podstawie modelu

ekonometrycznego, opisującego w

sposób formalny kształtowanie się

zmiennej prognozowanej w zależności

od zmiennych objaśniających to

kształtowanie się.

GK (WEiP(05) - 2010)

3

Podstawowa reguła prognozowania
ekonometrycznego

to

ekstrapolacja

modelu

ekonometrycznego na okres prognozowania poza
zakres obserwacji (danych empirycznych)
wykorzystanych do oszacowania parametrów
strukturalnych modelu. Prognoza według reguły
podstawowej określana jest zależnością:

gdzie:

y

p

- wartość zmiennej objaśnianej w okresie prognozy

(prognoza),

x

*

- wektor znanych wartości zmiennych objaśniających w

okresie prognozy,

f

– postać analityczna modelu ekonometrycznego,

a

– oszacowania parametrów strukturalnych modelu

ekonometrycznego.

(

)

p

*

y

f x ,a

=

GK (WEiP(05) - 2010)

4

Różnica pomiędzy

estymacją

parametrów

strukturalnych modelu a

prognozowaniem

wartości zmiennej objaśnianej polega na tym,
że estymowanie tych parametrów odbywa się na
podstawie znanych wartości zmiennej
objaśnianej i zmiennych objaśniających (dane
empiryczne), natomiast prognozowanie odbywa
się przy braku możliwości zaobserwowania
rzeczywistych wartości zmiennej objaśnianej i
niekiedy zmiennych objaśniających w okresie,
którego dotyczy prognoza, a wynik
prognozowania (prognoza) jest zawsze
weryfikowany rozwojem wydarzeń.

GK (WEiP(05) - 2010)

5

Warunki predykcji

Dokonywanie predykcji jest możliwe wtedy, gdy:



jest znany model ekonometryczny wyjaśniający kształtowanie

się zmiennej objaśnianej,



model ekonometryczny został wszechstronnie i pozytywnie

zweryfikowany,



relacje między zmiennymi uwzględnionymi w modelu są

stabilne, co oznacza:

•

stałość postaci analitycznej modelu ekonometrycznego,

•

stabilność wartości parametrów strukturalnych
(parametry strukturalne nie zmieniają swoich wartości
przy zmianie wartości zmiennych objaśniających),

•

spełnienie założeń dotyczących składnika losowego
modelu dla okresu prognozy,



zasadna

i dopuszczalna jest ekstrapolacja wartości zmiennej

objaśnianej i zmiennych objaśniających poza zakres obserwacji
wykorzystanych do oszacowania parametrów strukturalnych
modelu,



są dostępne wartości zmiennych objaśniających w okresie

prognozy, tj. w okresie, dla którego jest budowana prognoza
(wielkości założone, planowane lub kreowane w scenariuszach
rozwoju zjawiska opisywanego modelem ekonometrycznym).

GK (WEiP(05) - 2010)

6

Model ekonometryczny stanowiący podstawę

prognozowania musi cechować się stabilnością postaci
analitycznej (poprawnością specyfikacji postaci funkcyjnej) i
stabilnością parametrów. Stabilność postaci analitycznej
modelu zwykle jest rozpatrywana na etapie weryfikacji modelu

(test RESET, test Walda

)

.

Do weryfikacji hipotezy o stabilności parametrów

strukturalnych modelu ekonometrycznego jest najczęściej
wykorzystany

test Chowa

, tzw.

I test Chowa

. Stabilność parametrów strukturalnych modelu

oznacza stałość w czasie (także poza obszarem objętym danymi
empirycznymi) relacji, na których opiera się weryfikowany
model liniowy. Niezmienność (dopuszczalna w praktyce)
parametrów strukturalnych modelu jest warunkiem trafności
uzyskiwanych prognoz na jego podstawie.

I test Chowa

wymaga przeprowadzenia trzech estymacji

parametrów strukturalnych za pomocą KMNK: dla całej próby,
tj. dla wszystkich danych empirycznych

(y, X)

oraz dla dwóch

rozłącznych podprób

(y

1

, X

1

)

i

(y

2

, X

2

)

. Pierwsza estymacja jest

estymacją warunkową przy założeniu, że wartości parametrów
strukturalnych są stałe dla całej próby, co oznacza, że wartości
odpowiadających sobie parametrów strukturalnych uzyskane z
estymacji dla podprób są sobie równe.

Warunki predykcji

GK (WEiP(05) - 2010)

7

Niech I, II i III oznaczają odpowiednio modele dla

całej próby, dla podpróby pierwszej i dla podpróby
drugiej:

Niech wektory oznaczają odpowiednio
oszacowania parametrów strukturalnych modeli I, II i III
uzyskane za pomocą KMNK, a wektory

– reszty tych modeli.













k

1

i

t

it

I

i

I

t

,n

1,2,

t

,

ε

x

α

α

y

I

...

)

(

0













k

1

i

t

it

II

i

II

0

t

,m

1,2,

t

,

ε

x

α

α

y

(II)

...

k

III

III

t

0

i

it

t

i 1

(III)

yα

α x

ε ,

t m 1,m 2,...,n.

=

=

+

+

= +

+

�

III

II

I

a

a

a

,

,

III

II

I

e

e

e

,

,

Warunki predykcji

GK (WEiP(05) - 2010)

8

Wartość

m

, oznaczająca numer obserwacji

dzielącej próbę na podpróby jest wybierana ze względu na
zachowanie reszt modelu I i:



może być przyjęta w sposób arbitralny,



przyjmuje się , jeżeli wartości bezwzględne reszt

są monotoniczne,



jeżeli wartości reszt wykazują początkowo tendencję

rosnącą, a następnie malejącą (lub odwrotnie), za
wartość m przyjmuje się numer (największej
(najmniejszej) co do wartości bezwzględnej reszty,



jeżeli jest bark jakiejkolwiek prawidłowości wartości

bezwzględnej reszt, przyjmuje się .

Wybrana wartość

m

musi spełniać następujące

nierówności:

m > k+1

oraz

n-m > k+1

.





2

n

m





2

n

m

Warunki predykcji

GK (WEiP(05) - 2010)

9

Weryfikowaną hipotezą (zerową) jest hipoteza postaci:

wobec hipotezy alternatywnej

Sprawdzianem prawdziwości hipotezy zerowej jest
statystyka postaci:

W przypadku prawdziwości hipotezy zerowej statystyka

F

ma rozkład
F-Snedecora o

ν

1

=k+1

i

ν

2

=n-2(k+1)

stopniach swobody.





1

k

1)

2(k

n

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

F

III

T

III

II

T

II

III

T

III

II

T

II

I

T

I

















1

I

II

III

H :

a

a

a .

� =

=

III

II

I

0

a

a

a

H





:

Warunki predykcji

GK (WEiP(05) - 2010)

10

Jeżeli wartość statystyki

F

obliczona z próby jest nie

większa od wartości krytycznej

F

*

, odczytanej z tablic

rozkładu F-Snedekora dla przyjętego poziomu istotności

γ

i stopni swobody

ν

1

i

ν

2

(

F



F

*

)

, to nie ma podstaw do

odrzucenia hipotezy zerowej, co oznacza, że parametry
strukturalne weryfikowanego modelu są stabilne i co
oznacza dalej, że model może być wykorzystywany w
procesie prognozowania. W przeciwnym przypadku, tj. gdy

F

>

F

*

, hipoteza zerowa jest odrzucana.

Rozpatrywany

test Chowa

może być stosowany tylko

w przypadku homoskedastyczności reszt modeli

,

wyrażającej się równością wariancji reszt modeli I,II i III.
W przypadku niespełnienia tego warunku może być
zastosowany albo

test Walda

, albo nadal

test Chowa

, ale

dla skorygowanych danych empirycznych w jednej z
podprób.

Warunki predykcji

GK (WEiP(05) - 2010)

11

Korekcja danych empirycznych przed ponownym

zastosowaniem

testu Chowa

polega na następującej

transformacji danych np. dla modelu III:

gdzie

oraz

,n

1,

m

t

ε

x

x

,

ε

,

,

y

y

t

*

t

it

*

it

t

*
t

...























III

II

S

S















m

1

t

2

II

2

II

e

S

1

k

m

1















n

1

m

t

2

III

2

III

e

S

1

k

m)

(n

1

i

.

Warunki predykcji

GK (WEiP(05) - 2010)

12

W wyniku estymacji parametrów strukturalnych

modelu III dla tak skorygowanych danych uzyskuje się
wektor oszacowań parametrów

strukturalnych oraz reszt .

W rozpatrywanym przypadku weryfikowaną hipotezą

jest hipoteza zerowa postaci

wobec

alternatywnej

.

Teraz sprawdzianem prawdziwości hipotezy zerowej jest
statystyka postaci:

która w przypadku prawdziwości hipotezy zerowej
statystyka

F

ma rozkład

F-Snedecora o

ν

1

=k+1

i

ν

2

=n-2(k+1)

stopniach swobody.

*

III

a

*

III

e

*

III

II

I

0

a

a

a

:

H





*

III

II

I

1

a

a

a

:

H











1

k

1)

2(k

n

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

F

III

T

III

II

T
II

III

T

III

II

T
II

I

T
I

















*

*

*

*

Warunki predykcji

GK (WEiP(05) - 2010)

13

Wartości zmiennej prognozowanej, tj. zmiennej

objaśnianej w okresie prognozowania (prognozy) mogą być
określane za pomocą jednej liczby lub za pomocą
przedziału liczbowego, który z określonym
prawdopodobieństwem zawiera rzeczywistą wartość
zmiennej prognozowanej. W pierwszym przypadku mówi
się o

prognozie punktowej

, a w drugim – o

prognozie

przedziałowej

.

Niech oszacowany model ekonometryczny, który

będzie wykorzystywany do prognozowania ma postać:

oraz niech wektor oznacza wektor
wartości zmiennych objaśniających w okresie
prognozowanym, tj. w okresie, dla którego będzie
wyznaczana prognoza.











k

1

i

it

i

0

t

,n

1,2,

t

,

x

a

a

y

...

ˆ





*
k

*
2

*
1

T

*

x

,

,

x

,

x

1,

x

...



Prognoza punktowa

GK (WEiP(05) - 2010)

14

Prognoza punktowa

Prognozę punktową

y

p

wyznacza się jako:

a w zapisie wektorowym

W przypadku występowania

autokorelacji składnika

losowego

parametry strukturalne modelu muszą być

estymowane z zastosowaniem jednej z dostępnych metod,
najlepiej za pomocą Uogólnionej Metody Najmniejszych
Kwadratów Aitkena. Niech

a

oznacza wektor oszacowań

parametrów strukturalnych modelu uzyskany metodą
odpowiednią dla przypadku występowania autokorelacji
składnika losowego. Ze względu na autokorelację, między
składnikami losowymi zachodzi relacja:

gdzie



oznacza rząd autokorelacji, a



t

– proces czysto losowy.











k

1

i

i

i

0

p

,n

1,2,

t

,

x

a

a

y

.

...

*

p

T

*

y

x a.

=

t

0

s

t s

t

s 1

t

1,

2,...,n.

,

t

t

t

e

b

b e

x

-

=

= +

+

=

+

� +

�

GK (WEiP(05) - 2010)

15

Prognoza punktowa

Parametry



i

,

(

i=0,1,2,…,



) można oszacować za pomocą

KMNK, używając zamiast nieznanych wielkości



t

, reszt

modelu

e

t

.

Prognozę wartości składnika losowego w okresie

prognozy

T

otrzymuje się z zależności:

gdzie

b

i

są ocenami parametrów strukturalnych



i

.

Prognoza zmiennej prognozowanej

y

T

p

w okresie

prognozy

T

jest wyznaczana z zależności:

Jak wynika z powyższego, do wyznaczenia prognozy
zmiennej prognozowanej została zastosowana reguła
prognozy prostej z poprawką, która została wyznaczona z
wykorzystaniem reguły prostej.

p

T

0

s

T s

s 1

T n,

b

b e ,

t

e

-

=

>

= +

�

�

k

p

*

p

T

0

i it

T

i 1

T n

y

a

a x

,

.

e

=

>

= +

+

�

GK (WEiP(05) - 2010)

16

Prognoza punktowa

Średniokwadratowy błąd prognozy ex ante

dla

rozpatrywanego przypadku wyznacza się z zależności:

gdzie:

x

*

- wektor wartości zmiennych objaśniających w okresie

prognozowania,

- estymator wariancji składnika losowego modelu.

Średni względny błąd

predykcji (prognozy) ex ante

wyraża się zależnością:

Błędy ex post

(np. ME, MAE, Thiela) wyznacza się ze

znanych zależności.

(

)

(

)

1

2

T

T

p

e

*

*

S

S 1 x X X

x ,

-

=

+

2

e

S

p

p

p

S

v

.

y

=

GK (WEiP(05) - 2010)

17

Zbyt wielkie różnice pomiędzy prognozami a

rzeczywistymi wartościami (zaobserwowanymi) zmiennej
objaśnianej, stwierdzone na podstawie analiz miar

ex

post

błędów prognozowania poddają w wątpliwość

przydatność modelu do prognozowania ze względu na
niestabilność parametrów strukturalnych w odniesieniu
do okresów prognozowania. Do zweryfikowania tej oceny
może być zastosowany rozpatrywany wcześniej

test

Chowa

.

Przyjmuje się, że parametry strukturalne modelu

wykorzystywanego do prognozowania zostały oszacowane
na podstawie

n

danych empirycznych oraz dla niego

zostały obliczone reszty

e

n

(wektor). Na podstawie tego

modelu wykonano prognozy dla

m

,

(m > 1

) okresów

prognozowania, a po zaobserwowaniu ich realizacji,
jeszcze raz zostały oszacowane parametry strukturalne
tego modelu, teraz już na podstawie

n+m

danych

empirycznych oraz obliczane reszty

e

n+m

(wektor).

Prognoza punktowa

GK (WEiP(05) - 2010)

18

Weryfikowaną hipotezą (zerową) jest hipoteza postaci:

przy hipotezie alternatywnej postaci:

.

Sprawdzianem prawdziwości hipotezy zerowej jest statystyka
postaci:

W przypadku prawdziwości hipotezy zerowej statystyka

F

ma

rozkład
F-Snedecora o

ν

1

=m

i

ν

2

=n-(k+1)

stopniach swobody. Jeżeli

zachodzi nierówność

F

 F*

(

F*

wartość krytyczna, odczytana

z tablic rozkładu
F-Snedekora dla przyjętego poziomu istotności

γ

i stopni

swobody

ν

1

i

ν

2

), to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy

zerowej, co oznacza, że różnice pomiędzy prognozami a
rzeczywistymi realizacjami zmiennej objaśnianej nie
wynikają z niestabilności parametrów strukturalnych
modelu.

n

m

n

0

a

a

H





:

n

m

n

1

a

a

:

H





m

1)

(k

n

e

e

e

e

e

e

F

n

T

n

n

T

n

m

n

T

m

n















Prognoza punktowa

GK (WEiP(05) - 2010)

19

Prognoza przedziałowa

może być wyznaczana na

podstawie modelu ekonometrycznego, dla którego została
pozytywnie zweryfikowana hipoteza o rozkładzie
normalnym składnika losowego. Do wyznaczania prognozy
przedziałowej jest wykorzystywany

średni błąd predykcji

ex ante

, a

przedział predykcji

dla nieznanej wartości

y

*

na

poziomie ufności

1-γ

(wiarygodność prognozy) wyraża się

zależnością:

gdzie

t

γ,n-k-1

jest kwantylem rzędu

γ

o

ν=n-k-1

stopniach

swobody rozkładu
t-Studenta.

W praktyce często jest również wykorzystywana

prognoza

przedziałowa dla wartości oczekiwanej prognozy

E(y

*

)

, która wyraża się zależnością:

gdzie

.





p

1

k

γ,n

p

p

1

k

γ,n

p

S

t

y

,

S

t

y





















*

1

T

T

*

e

y

x

X

X

x

S

S

p









p

p

y

1

k

γ,n

1

p

y

1

k

γ,n

1

p

S

t

y

,

S

t

y





















Prognoza przedziałowa

Należy sporządzić prognozę zmiennej

y

na okres

T = 13

(T=n+2) z wykorzystaniem prostej (podstawowej) reguły
prognozowania

przyjmując, że zmienna prognozowana zależy

od dwóch zmiennych objaśniających

x

1

oraz

x

2

i zależność ta jest

modelowana za pomocą jednorównaniowego liniowego modelu
ekonometrycznego, estymowanego za pomocą KMNK.
Oszacować błąd prognozy:

•ex ante

,

•

jako średnią z modułów błędów prognoz wygasłych (błędów

ex

post

).

Dane empiryczne charakteryzujące tę zależność są podane w
poniższej tabeli:

GK (WEiP(05) - 2010)

20

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

6

98

13

14,5

7

105

11

15,3

8

110

11

17,8

9

116

10

18,5

10

127

9

20,5

11

135

6

21,7

Przykład

Rozwiązanie.

Spełnienie powyższej zasady wymaga, aby prognozy wygasłe
były sporządzane w okresie równym 2 (zgodnie z założeniami
zadania).

1.Estymacja modelu liniowego

na podstawie wszystkich danych empirycznych:

GK (WEiP(05) - 2010)

21

Przykład

Zasada:

Prognozy wygasłe używane do oszacowania

błędu prognozy (autentycznej, tj. poszukiwanej w
zadaniu) muszą być sporządzane według takiej samej
reguły i na taką samą odległość jak prognoza
autentyczna.

t

0

1 1t

2 2t

t

t=1,2,...,11

y

x

x

,

a

a

a

e

= +

+

+

t

1t

2t

t=1,2,...,11

ˆy 65,890136 1,645323x

3,662131x ,

=

-

+

2. Prognoza jest obliczana jako zwykła ekstrapolacja zmiennej

prognozowanej na okres

T=13 (n+2)

. Ze względu na brak

informacji o wartościach zmiennych objaśnianych w okresie
prognozowania, ustalono je na drodze liniowej ekstrapolacji
na okres prognozowania i otrzymano:

Stąd prognoza:

3. Średniokwadratowy błąd prognozy

ex ante

:

GK (WEiP(05) - 2010)

22

Przykład

*

*

1T

2T

T n 2 11 2 13

x

4,0, x

23,8,

= + =

+ =

=

=

p

T

T

T=13.

ˆ

y

y

65,890136 1,645323 4,0 3,662131 23,8 146,4676,

׻+�-==

(

)

[

]

1

2

T

T

S

S

1 x

X X

x

p

e

*

*

60,826099

1,986105

2,226719

1

1 1 4,0 23,8

1,986105 0,0663063 0,0715544

4,0

2,226719 0,0715544 0,0828094 23,8

1,9325297

1,7234.

-

=

+

=

-

-

=

� +

-

�

-

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

��

�

�

�

�

��

�

�

�

�

��

�

�

��

�

�

�

4. Prognozy wygasłe i ich błędy.

W celu uzyskania możliwie największej liczby ocen błędów
prognoz wygasłych o okresie prognozowania podanym w
treści zadania

(T=n+2)

przy zachowaniu warunków KMNK,

przyjmuje się, że pod uwagę będą brane kolejne
„początkowe” podzbiory danych empirycznych. Przyjmuje
się także, iż pierwszy taki podzbiór będzie liczył

5

obserwacji, drugi –

6

itd., a ostatni

9

obserwacji.

Poszczególne podzbiory danych empirycznych,
wyestymowane na ich podstawie kolejne modele oraz
odpowiadające im prognozy zostały zestawione poniżej:

GK (WEiP(05) - 2010)

23

Przykład

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

t

1t

2t

p

7

7

t=1,2,...,5,

ˆy

51,5376 1,16209x

4,15466x ,

ˆ

y

y

102,0885

=

-

+

=

=

GK (WEiP(05) - 2010)

24

Przykład

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

6

98

13

14,5

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

6

98

13

14,5

7

105

11

15,3

2t

t

1t

p

8

8

t=1,2,...,6,

ˆy

39,13688 0,88026x

4,81579x ,

ˆy

115,1750

y

=

-

+

= =

2t

t

1t

p

9

9

t=1,2,...,7,

ˆy

41,9332 1,01771x

4,79562x ,

ˆy 120,0679

y

=

=

-

+

=

GK (WEiP(05) - 2010)

25

Przykład

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

6

98

13

14,5

7

105

11

15,3

8

110

11

17,8

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

6

98

13

14,5

7

105

11

15,3

8

110

11

17,8

9

116

10

18,5

t

1t

2t

p

10

10

t=1,2,...,8,

ˆy

90,96074 2,31996x

2,53026x ,

ˆ

y

y

121,2554

=

=

-

+

=

1t

t

2t

p

11

11

t=1,2,...,9,

ˆy

80,7798 2,04876x

2,99781x ,

ˆ

y

y

132,1056

=

-

+

=

=

5. Zestawienie błędów prognozy

ex post

dla prognoz

wygasłych:

6. Zestawienie błędów

ex ante

i

ex post

:

• Błąd

ex ante

:

1,7234

,

• Błąd

ex post

na podstawie prognoz wygasłych

:

4,1587

.



GK (WEiP(05) - 2010)

26

Przykład

t

y

x

1

x

2

Prognoz

a

Błąd

prognozy

Moduł błędu

7

105 11,2 15,3

102,088

5

2,9115

2,9115

8

110 11,0 17,8

115,175

0

-5,1750

5,1750

9

116 10,4 18,5

120,067

9

-4,0679

4,0679

10

127

9,3

20,5

121,255

4

5,7446

5,7446

11

135

6,7

21,7

132,105

6

2,8944

2,8944

Błąd ex post

(MAE)

4,1587

27

GK (WEiP(05) - 2010)