Prognozowanie na podstawie

modeli ekonometrycznych

Prognozowanie na podstawie modelu

ekonometrycznego (prognozowanie

ekonometryczne)

polega na budowaniu

prognozy, dotyczącej przyszłej wartości

zmiennej objaśnianej (zmiennej

prognozowanej) na podstawie modelu

ekonometrycznego, opisującego w sposób

formalny kształtowanie się zmiennej

prognozowanej w zależności od zmiennych

objaśniających to kształtowanie się.

2

GK (WEiP(4) - 2011)

Wstęp

Podstawowa reguła prognozowania ekonometrycznego

to ekstrapolacja modelu ekonometrycznego na okres
prognozowania poza zakres obserwacji (danych
empirycznych) wykorzystanych do oszacowania parametrów
strukturalnych modelu. Prognoza według reguły podstawowej
określana jest zależnością:

gdzie:

y

p

- wartość zmiennej objaśnianej w okresie prognozy

(prognoza),

x

*

- wektor znanych wartości zmiennych objaśniających w

okresie prognozy,

f

– postać analityczna modelu ekonometrycznego,

a

– oszacowania parametrów strukturalnych modelu

ekonometrycznego.

Różnica pomiędzy

estymacją

parametrów

strukturalnych modelu a

prognozowaniem

wartości zmiennej

objaśnianej polega na tym, że estymowanie odbywa się na
podstawie znanych wartości zmiennej objaśnianej i zmiennych
objaśniających (dane empiryczne), natomiast prognozowanie
odbywa się przy braku możliwości zaobserwowania
rzeczywistych wartości zmiennej objaśnianej i niekiedy
zmiennych objaśniających w okresie prognozy, a wynik
prognozowania (prognoza) jest zawsze weryfikowany
rozwojem wydarzeń.

(

)

p

*

y

f x ,a

=

3

GK (WEiP(4) - 2011)

Wstęp

Warunki predykcji

Dokonywanie predykcji jest możliwe wtedy, gdy:



jest znany model ekonometryczny wyjaśniający kształtowanie

się zmiennej objaśnianej,



model ekonometryczny został wszechstronnie i pozytywnie

zweryfikowany,



relacje między zmiennymi uwzględnionymi w modelu są

stabilne, co oznacza:

•

stałość postaci analitycznej modelu ekonometrycznego,

•

stabilność wartości parametrów strukturalnych
(parametry strukturalne nie zmieniają swoich wartości
przy zmianie wartości zmiennych objaśniających),

•

spełnienie założeń dotyczących składnika losowego
modelu dla okresu prognozy,



zasadna i dopuszczalna jest ekstrapolacja wartości zmiennej

objaśnianej i zmiennych objaśniających poza zakres
obserwacji wykorzystanych do oszacowania parametrów
strukturalnych modelu,



są dostępne wartości zmiennych objaśniających w okresie

prognozy, tj. w okresie, dla którego jest budowana prognoza
(wielkości założone, planowane lub kreowane w
scenariuszach rozwoju zjawiska opisywanego modelem
ekonometrycznym).

4

GK (WEiP(4) - 2011)

Model ekonometryczny stanowiący podstawę

prognozowania musi cechować się stabilnością postaci
analitycznej (poprawnością specyfikacji postaci funkcyjnej) i
stabilnością parametrów. Stabilność postaci analitycznej
modelu zwykle jest rozpatrywana na etapie weryfikacji
modelu

(test RESET, test Walda).

Do weryfikacji hipotezy o stabilności parametrów

strukturalnych modelu ekonometrycznego jest najczęściej
wykorzystany

test Chowa

, tzw.

I test Chowa

. Stabilność parametrów strukturalnych modelu

oznacza stałość w czasie (także poza obszarem objętym
danymi empirycznymi) relacji, na których opiera się
weryfikowany model liniowy. Niezmienność (dopuszczalna w
praktyce) parametrów strukturalnych modelu jest
warunkiem trafności uzyskiwanych prognoz na jego
podstawie.

I test

Chowa wymaga przeprowadzenia trzech

estymacji parametrów strukturalnych za pomocą KMNK: dla
całej próby, tj. dla wszystkich danych empirycznych

(y, X)

oraz dla dwóch rozłącznych podprób

(y

1

, X

1

)

i

(y

2

, X

2

)

.

Pierwsza estymacja jest estymacją warunkową przy
założeniu, że wartości parametrów strukturalnych są stałe
dla całej próby, co oznacza, że wartości odpowiadających
sobie parametrów strukturalnych uzyskane z estymacji dla
podprób są sobie równe.

5

GK (WEiP(4) - 2011)

Warunki predykcji

Niech I, II i III oznaczają odpowiednio modele dla

całej próby, dla podpróby pierwszej i dla podpróby drugiej:

Niech wektory

a

I

,

a

II

,

a

III

oznaczają odpowiednio oszacowania

parametrów strukturalnych modeli I, II i III uzyskane za
pomocą KMNK, a wektory

e

I

,

e

II

,

e

III

– reszty tych modeli.

Wartość

m

może być przyjęta w sposób arbitralny lub

ze względu na model I:



jeżeli wartości bezwzględne reszt są monotoniczne lub nie

wykazują żadnej prawidłowości przyjmuje się

m = n/2

,



jeżeli wartości reszt wykazują początkowo tendencję rosnącą,

a następnie malejącą (lub odwrotnie), za wartość

m

przyjmuje

się numer (największej (najmniejszej) co do wartości
bezwzględnej reszty.
Wybrana wartość

m

musi spełniać następujące nierówności:

m > k+1

i

n-m > k+1

.

.

,

,

)

(

...

...

...









































k

1

i

t

it

III

i

III

0

t

k

1

i

t

it

II

i

II

0

t

k

1

i

t

it

I

i

I

t

,n

2,

1,m

m

t

,m

1,2,

t

,n

1,2,

t

,

ε

x

α

α

y

(III)

,

ε

x

α

α

y

(II)

,

ε

x

α

α

y

I

0

6

GK (WEiP(4) - 2011)

Warunki predykcji

Weryfikowaną hipotezą (zerową) jest hipoteza postaci:

H

0

: a

I

= a

II

= a

III

wobec hipotezy alternatywnej postaci

H

1

:  a

I

= a

II

= a

III

.

Sprawdzianem prawdziwości hipotezy

zerowej jest statystyka postaci:

która w przypadku prawdziwości hipotezy zerowej ma
rozkład F-Snedecora o

ν

1

=k+1

i

ν

2

=n-2(k+1)

stopniach

swobody.

Jeżeli wartość statystyki

F

obliczona z próby jest

nie większa od wartości krytycznej

F

*

, odczytanej z tablic

rozkładu F-Snedekora dla przyjętego poziomu istotności

γ

i

stopni swobody

ν

1

i

ν

2

(

F

 F

*

),

to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej,

co oznacza, że parametry strukturalne weryfikowanego
modelu są stabilne i co oznacza dalej, że model może być
wykorzystywany w procesie prognozowania. W przeciwnym
przypadku, tj. gdy

F

>F

*

, hipoteza zerowa jest odrzucana.

Rozpatrywany

test Chowa

może być stosowany tylko

w przypadku homoskedastyczności reszt modeli

, wyrażającej

się równością wariancji reszt modeli I, II i III. W przypadku
niespełnienia tego warunku może być zastosowany albo

test

Walda

, albo nadal

test Chowa

, ale dla skorygowanych

danych empirycznych w jednej z podprób.





,

1

k

1)

2(k

n

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

F

III

T

III

II

T

II

III

T

III

II

T

II

I

T

I

















7

GK (WEiP(4) - 2011)

Warunki predykcji

8

GK (WEiP(4) - 2011)

Warunki predykcji

Korekcja danych empirycznych przed ponownym

zastosowaniem

testu Chowa

polega na następującej

transformacji danych np. dla modelu III:

W wyniku estymacji parametrów strukturalnych modelu III
dla tak skorygowanych danych uzyskuje się wektor oszacowań
parametrów
strukturalnych

a

*

III

oraz reszt

e

*

III

.

W rozpatrywanym przypadku weryfikowaną hipotezą

jest hipoteza zerowa postaci:

H

0

: a

I

= a

II

= a

*

III

wobec

alternatywnej

H

1

:  a

I

= a

II

= a

*

III

.

Teraz sprawdzianem prawdziwości hipotezy zerowej jest
statystyka postaci:

która w przypadku prawdziwości hipotezy zerowej statystyka

F

ma rozkład

F-Snedecora o

ν

1

=k+1

i

ν

2

. Weryfikacja prawdziwości hipotezy

zerowej jest prowadzona tak samo jak poprzednio.

.

,

,

:

gdzie

,

...











































n

1

m

t

2

III

e

1

k

m)

(n

1

2

III

S

m

1

t

2

II

e

1

k

m

1

2

II

S

III

S

II

S

,n

1,

m

t

,

t

ε

*

t

ε

,

it

x

*

it

x

,

t

y

*

t

y









.





,

*

*

*

*

1

k

1)

2(k

n

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

F

III

T

III

II

T

II

III

T

III

II

T

II

I

T

I

















9

GK (WEiP(4) - 2011)

Prognoza punktowa

Wartości zmiennej prognozowanej, tj. zmiennej

objaśnianej w okresie prognozowania (prognozy) mogą być
określane za pomocą jednej liczby lub za pomocą przedziału
liczbowego, który z określonym prawdopodobieństwem
zawiera rzeczywistą wartość zmiennej prognozowanej. W
pierwszym przypadku mówi się o

prognozie punktowej

, a w

drugim – o

prognozie

przedziałowej

.

Niech oszacowany model ekonometryczny, który

będzie wykorzystywany do prognozowania ma postać:

oraz niech wektor

oznacza wektor wartości zmiennych objaśniających w okresie
prognozy.
Prognozę punktową

y

p

wyznacza się z zależności:

co w zapisie wektorowym oznacza się jako:











k

1

i

it

i

0

t

,n

1,2,

t

,

x

a

a

y

...

ˆ





*
k

*
2

*
1

T

*

x

,

,

x

,

x

1,

x

...













k

1

i

i

i

0

p

,n

1,2,

t

,

x

a

a

y

,

...

*

p

T

*

y

x a.

=

10

GK (WEiP(4) - 2011)

Prognoza punktowa

W przypadku

autokorelacji składnika

losowego parametry

strukturalne modelu muszą być estymowane z zastosowaniem
jednej z dostępnych metod, najlepiej za pomocą Uogólnionej
Metody Najmniejszych Kwadratów Aitkena. Niech

a

oznacza

wektor oszacowań parametrów strukturalnych modelu uzyskany
metodą odpowiednią dla przypadku występowania autokorelacji
składnika losowego. Ze względu na autokorelację, między
składnikami losowymi zachodzi relacja:

gdzie



oznacza rząd autokorelacji, a



t

– proces czysto losowy.

Parametry



i

,

(

i=0,1,2,…,



) można oszacować za pomocą

KMNK, używając zamiast nieznanych wielkości



t

, reszt modelu

e

t

. Prognozę wartości składnika losowego w okresie prognozy

T

otrzymuje się z zależności:

gdzie

b

i

są ocenami parametrów strukturalnych



i

.

Prognozę

y

T

p

w okresie prognozy

T

wyznaczana się z

zastosowaniem prostej reguła prognozy z poprawką, co wyraża się
zależnością:

t

0

s

t s

t

s 1

t

1,

2,...,n

.

,

t

t

t

e

b

b e

x

-

=

= +

+

=

+

� +

�

p

T

0

s

T s

s 1

T n,

b

b e ,

t

e

-

=

>

= +

�

�

k

p

*

p

T

0

i it

T

i 1

T n

y

a

a x

,

.

e

=

>

= +

+

�

Średniokwadratowy błąd prognozy

ex ante

dla

rozpatrywanego przypadku wyznacza się z zależności:

gdzie:

x

*

- wektor wartości zmiennych objaśniających w okresie

prognozowania,

S

e

2

- estymator wariancji składnika losowego modelu.

Średni względny błąd

predykcji (prognozy)

ex ante

wyraża się zależnością:

Błędy ex post

(np. ME, MAE, Thiela) wyznacza się ze znanych

zależności.

Zbyt wielkie różnice pomiędzy prognozami a rzeczywistymi

wartościami zmiennej prognozowanej, stwierdzone na
podstawie analiz błędów

ex post

sugerują małą przydatność

modelu do prognozowania ze względu na niestabilność
parametrów strukturalnych w odniesieniu do okresów
prognozowania. Do zweryfikowania tej oceny może być
zastosowany rozpatrywany wcześniej

test Chowa

. W przypadku

odrzucenia hipotezy o stabilności parametrów strukturalnych
modelu prognostycznego, stosuje się następujące
postępowanie.

(

)

(

)

1

2

T

T

p

e

*

*

S

S 1 x

X X

x ,

-

=

+

p

p

p

S

v

.

y

=

11

GK (WEiP(4) - 2011)

Prognoza punktowa

Przyjmuje się, że parametry strukturalne modelu

wykorzystywanego do prognozowania zostały oszacowane na
podstawie

n

danych empirycznych oraz dla niego zostały

obliczone reszty

e

n

(wektor). Na podstawie tego modelu

wykonano prognozy dla

m

,

(

m > 1

) okresów prognozowania,

a po zaobserwowaniu ich realizacji, jeszcze raz zostały
oszacowane parametry strukturalne tego modelu, teraz już
na podstawie

n+m

danych empirycznych oraz obliczane

reszty

e

n+m

(wektor).

Weryfikowaną hipotezą (zerową) jest hipoteza postaci:

H

0

: a

m+n

= a

n

wobec hipotezy alternatywnej

H

1

: a

m+n

 a

n

.

Sprawdzianem prawdziwości hipotezy zerowej jest statystyka
postaci:

która w przypadku prawdziwości hipotezy zerowej ma
rozkład F-Snedecora o

ν

1

=m

i

ν

2

=n-(k+1)

stopniach swobody.

Jeżeli zachodzi nierówność

F

 F*

(

F*

wartość krytyczna dla

przyjętego poziomu istotności

γ

i stopni swobody

ν

1

ioraz

ν

2

),

to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, co
oznacza, że różnice pomiędzy prognozami a rzeczywistymi
realizacjami zmiennej prognozowanej nie wynikają z
niestabilności parametrów strukturalnych modelu.

,

m

1)

(k

n

e

e

e

e

e

e

F

n

T

n

n

T

n

m

n

T

m

n















12

GK (WEiP(4) - 2011)

Prognoza punktowa

Prognoza przedziałowa

może być wyznaczana na

podstawie modelu ekonometrycznego, dla którego została
pozytywnie zweryfikowana hipoteza o rozkładzie normalnym
składnika losowego. Do wyznaczania prognozy przedziałowej
jest wykorzystywany

średni błąd predykcji

ex ante

, a

przedział

predykcji

dla nieznanej wartości

y

*

na poziomie ufności

1-γ

(wiarygodność prognozy) wyraża się zależnością:

gdzie

t

γ,n-k-1

jest kwantylem rzędu

γ

o

ν=n-k-1

stopniach

swobody rozkładu
t-Studenta.

W praktyce często jest również wykorzystywana

prognoza

przedziałowa dla wartości oczekiwanej prognozy

E(y

*

)

, która wyraża się zależnością:

gdzie





,

p

1

k

γ,n

p

p

1

k

γ,n

p

S

t

y

,

S

t

y





















.

*

1

T

T

*

e

y

x

X

X

x

S

S

p









,

p

p

y

1

k

γ,n

1

p

y

1

k

γ,n

1

p

S

t

y

,

S

t

y





















13

GK (WEiP(4) - 2011)

Prognoza przedziałowa

Należy sporządzić prognozę zmiennej

y

na okres

T =

13 (T=n+2) z wykorzystaniem prostej (podstawowej) reguły
prognozowania

przyjmując, że zmienna prognozowana zależy

od dwóch zmiennych objaśniających

x

1

oraz

x

2

i zależność ta

jest modelowana za pomocą jednorównaniowego liniowego
modelu ekonometrycznego, estymowanego za pomocą
KMNK. Oszacować błąd prognozy:

•ex ante

,

•

jako średnią z modułów błędów prognoz wygasłych (błędów

ex post

).

Dane empiryczne charakteryzujące tę zależność są podane w
poniższej tabeli:

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

6

98

13

14,5

7

105

11

15,3

8

110

11

17,8

9

116

10

18,5

10

127

9

20,5

11

135

6

21,7

Przykład

14

GK (WEiP(4) - 2011)

Rozwiązanie.

Zasada:

Prognozy wygasłe używane do oszacowania błędu

prognozy (autentycznej, tj. poszukiwanej w zadaniu) muszą
być sporządzane według takiej samej reguły i na taką samą
odległość jak prognoza autentyczna.

Spełnienie powyższej zasady wymaga, aby prognozy wygasłe
były sporządzane w okresie równym 2 (zgodnie z założeniami
zadania).
1.Estymacja modelu liniowego

na podstawie wszystkich danych empirycznych:

t

0

1 1t

2 2t

t

t=1,2,...,11

y

x

x

,

a

a

a

e

= +

+

+

t

1t

2t

t=1,2,...,11

ˆy 65,890136 1,645323x

3,662131x ,

=

-

+

15

GK (WEiP(4) - 2011)

Przykład

2. Prognoza jest obliczana jako zwykła ekstrapolacja zmiennej

prognozowanej na okres

T=13 (n+2)

. Ze względu na brak

informacji o wartościach zmiennych objaśnianych w okresie
prognozowania, ustalono je na drodze liniowej ekstrapolacji
na okres prognozowania i otrzymano:

Stąd prognoza:

3. Średniokwadratowy błąd prognozy

ex ante

:

*

*

1T

2T

T n 2 11 2 13.

x

4,0, x

23,8,

= + =

+ =

=

=

p

T

T

T=13.

ˆ

y

y

65,890136 1,645323 4,0 3,662131 23,8 146,4676,

׻+�-==

(

)

[

]

1

2

T

T

S

S

1 x

X X

x

p

e

*

*

60,826099

1,986105

2,226719

1

1 1 4,0 23,8

1,986105 0,0663063 0,0715544

4,0

2,226719 0,0715544 0,0828094 23,8

1,9325297

1,7234.

-

=

+

=

-

-

=

� +

-

�

-

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

�

��

�

�

�

�

��

�

�

�

�

��

�

�

��

�

�

�

16

GK (WEiP(4) - 2011)

Przykład

4. Prognozy wygasłe i ich błędy.

W celu uzyskania możliwie największej liczby ocen błędów
prognoz wygasłych o okresie prognozowania podanym w
treści zadania

(T=n+2)

przy zachowaniu warunków

KMNK, przyjmuje się, że pod uwagę będą brane kolejne
„początkowe” podzbiory danych empirycznych. Przyjmuje
się także, iż pierwszy taki podzbiór będzie liczył

5

obserwacji, drugi –

6

itd., a ostatni

9

obserwacji.

Poszczególne podzbiory danych empirycznych,
wyestymowane na ich podstawie kolejne modele oraz
odpowiadające im prognozy zostały zestawione poniżej:

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

t

1t

2t

p

7

7

t=1,2,...,5,

ˆy

51,5376 1,16209x

4,15466x ,

ˆ

y

y

102,0885.

=

-

+

=

=

17

GK (WEiP(4) - 2011)

Przykład

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

6

98

13

14,5

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

6

98

13

14,5

7

105

11

15,3

2t

t

1t

p

8

8

t=1,2,...,6,

ˆy

39,13688 0,88026x

4,81579x ,

ˆy

115,1750.

y

=

-

+

= =

2t

t

1t

p

9

9

t=1,2,...,7,

ˆy

41,9332 1,01771x

4,79562x ,

ˆy 120,0679.

y

=

=

-

+

=

18

GK (WEiP(4) - 2011)

Przykład

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

6

98

13

14,5

7

105

11

15,3

8

110

11

17,8

t

y

x

1

x

2

1

64

22

9,2

2

73

19

10,5

3

76

18

11,0

4

81

16

11,7

5

90

14

13,4

6

98

13

14,5

7

105

11

15,3

8

110

11

17,8

9

116

10

18,5

t

1t

2t

p

10

10

t=1,2,...,8,

ˆy

90,96074 2,31996x

2,53026x ,

ˆ

y

y

121,2554.

=

=

-

+

=

1t

t

2t

p

11

11

t=1,2,...,9,

ˆy

80,7798 2,04876x

2,99781x ,

ˆ

y

y

132,1056.

=

-

+

=

=

19

GK (WEiP(4) - 2011)

Przykład

5. Zestawienie błędów prognozy

ex post

dla prognoz

wygasłych:

6. Zestawienie błędów

ex ante

i

ex post

:

• Błąd

ex ante

:

1,7234

,

• Błąd

ex post

na podstawie prognoz wygasłych:

4,1587

.



t

y

x

1

x

2

Progno

za

Błąd

prognozy

Moduł błędu

7

105 11,2 15,3

102,088

5

2,9115

2,9115

8

110 11,0 17,8

115,175

0

-5,1750

5,1750

9

116 10,4 18,5

120,067

9

-4,0679

4,0679

10

127

9,3

20,5 121,255

4

5,7446

5,7446

11

135

6,7

21,7

132,105

6

2,8944

2,8944

Błąd ex post

(MAE)

4,1587

20

GK (WEiP(4) - 2011)

Przykład

21

GK (WEiP(4) - 2011)