1

II.

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE SZEREGÓW CZASOWYCH

1. Składowe szeregów czasowych

Tradycyjnie w szeregach czasowych wyróżnia się dwie składowe : składową

systematyczną , będącą efektem oddziaływań stałego zestawu czynników na zmienną

prognozowaną oraz składową przypadkową – zwaną często składnikiem losowym lub

wahaniami przypadkowymi. Składowa systematyczna może wystąpić w postaci tendencji

rozwojowej /trendu/ lub stałego przeciętnego poziomu zmiennej prognozowanej oraz

składowej okresowej /składowej periodycznej/. Składowa okresowa występuje w postaci

wahań cyklicznych lub sezonowych.

Y

t - czas

Rys. 1. Szereg czasowy

Y

wahania cykliczne

wahania sezonowe

stały poziom

trend

wahania

przypadkowe

t - czas

Rys. 2. Dekompozycja szerego czasowego.

2

Tendencja rozwojowa, zwana trendem, jest długookresową skłonnością do

jednokierunkowych zmian /wzrostu lub spadku/ wartości badanej zmiennej. Jest

rozpatrywana jako konsekwencja działania stałego zestawu czynników, takich jak np. w

przypadku sprzedaży – liczba potencjalnych klientów, technologia czy preferencje

konsumentów. Może być wyznaczona, gdy dysponuje się długim ciągiem obserwacji.

Stały /przeciętny/ poziom prognozowanej zmiennej występuje wówczas, gdy w szeregu

czasowym nie ma tendencji rozwojowej, wartości zmiennej prognozowanej oscylują zaś

wokół pewnego /stałego poziomu/.

Wahania cykliczne wyrażają się w postaci długookresowych rytmicznych wahań wartości

wokół tendencji rozwojowej lub stałego / przeciętnego/ poziomu tej zmiennej. W ekonomii są

one na ogół związane z cyklem koniunkturalnym gospodarki.

Wahania sezonowe są wahaniami wartości obserwowanej zmiennej wokół tendencji

rozwojowej lub stałego / przeciętnego/ poziomu tej zmiennej. Wahania te, mające skłonność

do powtarzania się w określonym czasie, nie przekraczającym jednego roku, odzwierciedlają

wpływ „kalendarza” na działalność gospodarczą.

Trend

Rys. 3. Trend

Y

t - kwartały

Rys. 4. Trend z wahaniami sezonowymi

3

Y

t

Rys. 5. Trend z wahaniami cyklicznymi

Proces wyodrębniania poszczególnych składowych danego szeregu czasowego określa

się mianem dekompozycji szeregu. Identyfikację poszczególnych składowych szeregu

czasowego konkretnej zmiennej umożliwia – w wielu przypadkach- ocena wzrokowa

sporządzonego wykresu. Wykres szeregu czasowego umożliwia ponadto wykrycie obserwacji

nietypowych oraz punktów zwrotnych.

Dla wielu szeregów czasowych wystarczająco adekwatne mogą się okazać modele

zawierające tylko niektóre składowe. Inne szeregi mogą wymagać budowy modeli ze

wszystkimi składowymi szeregu czasowego.

Pytanie, na które należy w takich przypadkach odpowiedzieć brzmi: czy można traktować

wyraźne odchylenie niektórych danych od poszczególnych obserwacji szeregu czasowego

tylko jako normalne wahanie losowe / wahanie przypadkowe/ lub wahanie okresowe, czy tez

należy przyjąć, że zostały popełnione błędy w rejestracji danych lub może wystąpiła

gwałtowna zmiana rozpatrywanego zjawiska. Występowanie w szeregu czasowym

obserwacji nietypowych może w poważnym stopniu wpłynąć na rezultat procesu konstrukcji

prognoz. Konieczne może być wówczas wyeliminowanie tego rodzaju obserwacji z szeregu

czasowego.

Innym ważnym zagadnieniem jest występowanie w szeregu czasowym tzw. punktów

zwrotnych. W punktach tych następuje zmiana kierunku tendencji rozwojowej /ze

wzrostowej do spadkowej i odwrotnie/ bądź zmiana tempa wzrostu lub spadku wartości

zmiennej. Występowanie punktów zwrotnych, wpływające w istotny sposób na przebieg

procesu prognozowania może wymagać użycia specjalnych metod prognozowania, np.

analogowych, heurystycznych bądź opartych na funkcjach segmentowych, a nie na funkcjach

analitycznych tendencji wzrostowej; w skrajnych przypadkach może nawet udaremnić

prognozowanie.

4

Proces prognozowania polega na przetwarzaniu informacji o przeszłości oraz przejście od

informacji przetworzonej do prognozy. W przypadku prognozowania na podstawie szeregu

czasowego przetwarzanie informacji o przeszłości następuje przez budowę odpowiedniego

modelu formalnego, przejście zaś od informacji przetworzonej do prognozy – przez wybór

reguły prognozowania.

Używanie w prognozowaniu modeli szeregów czasowych jest spowodowane trzema

głównymi przyczynami :

- po pierwsze, zjawisko jest zbyt złożone, by można było je opisać i zrozumieć bez

użycia modeli.

- po

drugie,

głównym zadaniem prognosty jest przewidzenie tego, co się zdarzy, a nie

wyjaśnienie, dlaczego to się zdarzy.

- po trzecie zaś, koszty zdobycia wiedzy o przyczynach występowania

przewidywanych zjawisk mogą być niewspółmiernie wysokie w porównaniu z

konstrukcją prognozy opartą na modelu szeregu czasowego.

Modelem szeregu czasowego służącym do określenia przyszłej wartości zmiennej

prognozowanej

Y

w momencie /okresie/ prognozowania

t

tj.

∗

t

y

jest model formalny,

którego zmiennymi objaśniającymi /wyjścia/ mogą być tylko zmienne czasowe oraz przyszłe

wartości lub prognozy zmiennej

Y

.

Model szeregu czasowego przedstawia zatem prognozowany system, którym może być

gospodarka narodowa, wielkość /wartość/ sprzedaży przedsiębiorstwa, dochody rodziny itp.

Jako czarną skrzynkę

Zmienne Zmienna

wejścia prognozowana

Rys. 6. System prognozowania.

Ogólna postać szeregu czasowego jest następująca:

(

)

t

p

t

t

p

t

t

t

y

y

y

y

t

f

y

ε

,

,......,

,

,......,

,

*

*

1

1

*

−

−

−

−

=

/ 1 /

gdzie:

*

*

1

*

,......,

,

p

t

t

t

y

y

y

−

−

- prognoza zmiennej

Y

wyznaczona na okres

p

t

t

t

−

−

,......,

1

,

p

t

t

y

y

−

−

,......,

1

- zaobserwowane wartości zmiennej

Y

w momencie /okresie

p

t

t

−

−

,......,

1

System

5

t

- zmienna czasowa

p

- wielkość opóźnienia

ε

- składnik losowy

W zależności od przyjętych założeń odnośnie wpływu poszczególnych składowych

szeregu czasowego na prognozowaną zmienną oraz wzajemnych relacji tych składowych,

konstruowany model może mieć różną formę. Na ogół przyjmuje się addytywną lub

multiplikatywną formę modelu.

W modelu addytywnym – zakłada się, że obserwowane wartości zmiennej prognozowanej

są sumą /wszystkich lub niektórych/ składowych szeregu czasowego. Jeśli jedyną zmienną

objaśniającą modelu jest zmienna czasowa, to postać modelu może być następująca:

( ) ( ) ( )

t

t

t

h

t

g

t

f

Y

ε

+

+

+

=

/ 2 /

lub :

( ) ( )

t

t

t

h

t

g

const

Y

ε

+

+

+

=

/ 3 /

gdzie :

( )

t

f

- funkcja czasu, charakteryzująca tendencję rozwojową, nazywana funkcją

trendu,

( )

t

g

- funkcja czasu, charakteryzująca wahania sezonowe,

( )

t

h

- funkcja czasu, charakteryzująca wahania cykliczne,

ε

- składnik losowy,

const

- stały (średni poziom prognozowanej zmiennej )

Zakłada się więc, że występuje interakcja pomiędzy poszczególnymi składowymi szeregu; są

one niezależne.

W modelu multiplikatywnym przyjmuje się, że obserwowane wartości zmiennej

prognozowanej są iloczynem / wszystkich lub niektórych/ składowych szeregu czasowego.

Jeśli jedyną zmienną objaśniającą modelu jest zmienna czasowa, to postać modelu może być

następująca:

( ) ( ) ( )

t

t

t

h

t

g

t

f

Y

ε

∗

∗

∗

=

/ 4 /

lub :

( ) ( )

t

t

t

h

t

g

const

Y

ε

∗

∗

∗

=

/ 5 /

Możliwe jest takie stosowanie różnego rodzaju postaci modeli mieszanych – addytywno-

multiplikatywnych, które są o wiele bardziej skomplikowane i trudniejsze zarówno do

estymacji jak też interpretacji .

6

Konstrukcja prognozy na podstawie modelu szeregu czasowego polega na ogół na

ekstrapolacji funkcji trendu, a następnie na jej korekcie uwzględniającej oddziaływanie wahań

okresowych /sezonowych i cyklicznych/ na prognozowaną zmienną. Zakłada się, że wartość

oczekiwana składnika losowego dla modeli, w których oddziaływanie wahań przypadkowych

nakłada się multiplikatywnie na wszystkie lub niektóre składowe szeregu, równa się jeden, w

przypadku zaś, gdy wahania przypadkowe nie występują jako iloczyn z inną składową

szeregu czasowego-zero.

2. Naiwne metody prognozowania

Metody określane mianem naiwnych są oparte na bardzo prostych przesłankach dotyczących

przyszłości: np.:

- sprzedaż przedsiębiorstwa w następnym kwartale będzie kształtowana na

dotychczasowym poziomie

- zysk

wzrośnie w tym samym stopniu co ubiegłym miesiącu.

Umożliwiają one /na ogół/ konstrukcję prognoz krótkookresowych – na jeden okres.

Najbardziej znana z tych metod polega na konstrukcji prognozy na moment –okres t na

poziomie zaobserwowanej wartości zmiennej prognozowanej w momencie /okresie t-1/

Model ma postać następującą

t

t

y

y

=

+

*

1

/ 6 /

−

+

*

1

t

y

prognoza zmiennej

Y

na moment

1

+

t

−

t

y

wartość zmiennej prognozowanej w momencie

t

Metoda ta jest oparta na znanym w statystyce modelu błądzenia losowego. Badania

dowiodły, że rynki papierów wartościowych, walut i niektórych towarów można dobrze

opisać, używając tego rodzaju modelu

1

.

Gdy w szeregu czasowym występuje tendencja rozwojowa do budowy prognozy na moment

1

+

t

na poziomie zaobserwowanej wartości zmiennej prognozowanej w momencie

t

powiększonym o zaobserwowany przyrost tej zmiennej momencie

t

w porównaniu z

momentem

1

−

t

(

)

1

*

1

−

+

−

+

=

t

t

t

t

y

y

y

y

/ 7 /

1

Makridakis S, Wheelwright Forecasting .Methods for Management J. Wiley and Sons. New Jork,1989 za :

M.Cieślak (red.) Prognozowanie gospodarcze, AE Wrocław,1993

7

Jeżeli prognozowana zmienna np. sprzedaż, wykazuje tendencję do wzrostu /spadku/ , to do

prognozowania można użyć metodę, w której przyjmuje się, że wartość prognozowanej

zmiennej wzrośnie /spadnie/ w momencie prognozowanym

1

+

t

o określony procent w

porównaniu z poziomem tej zmiennej w momencie poprzedzającym t

(

)

t

t

y

c

y

+

=

+

1

*

1

/ 8 /

c – wskaźnik wzrostu (lub spadku, gdy c jest ujemne )

np.

t

t

y

y

01

,

1

*

1

=

+

/ 9 /

Podobna jest metoda oparta na założeniu iż prognoza w momencie

1

+

t

będzie równa

zaobserwowanej wartości zmiennej prognozowanej w momencie t, powiększonej o pewną

stałą c. Postać tego modelu jest następująca:

c

y

y

t

t

+

=

+

*

1

/ 10 /

Prognoza może być także konstruowana metodą opartą na założeniu, że wartość zmiennej w

momencie

1

+

t

będzie równa zaobserwowanej wartości zmiennej prognozowanej w

momencie t powiększonym o średni przyrost wartości zmiennej w dostępnym materiale

statystycznym.

Odpowiedni model ma postać:

(

)

∑

−

−

+

=

−

=

−

+

1

1

1

*

1

1

1

t

i

i

i

t

t

y

y

t

y

y

/ 11 /

W przypadku występowania w szeregu czasowym zmiennej prognozowanej wahań

sezonowych np. kwartalnych można użyć metody polegającej na budowie prognozy na

kwartał t + 1 na poziomie zaobserwowanej wartości zmiennej w korespondującym kwartale z

ubiegłego roku tj. t + 1 – 4

Model ten będzie następujący:

3

*

1

−

+

=

t

t

y

y

/ 12 /

Można także budować prognozę na moment t + 1

1

*

1

+

+

=

t

t

t

t

c

c

y

y

/ 13 /

gdzie :

−

+

1

,

t

t

c

c

wskaźniki sezonowości dla okresów

1

t

oraz

+

t

8

Metody naiwne są proste, czyli łatwe do zrozumienia oraz szybkie i tanie w zastosowaniu.

Trafność prognoz wyznaczonych z ich użyciem jest na ogół niska, chociaż nie pozbawiona

sensu. Metody naiwne mogą być używane do porównywania trafności konstruowanych za ich

pomocą prognoz i prognoz budowanych innymi, bardziej skomplikowanymi metodami oraz

oceny celowości stosowania innych metod prognozowania.

Ocenę jakości prognoz naiwnych przeprowadza się jedynie ex post, nie ma bowiem

możliwości określenia błędów ex ante.

3. Modele tendencji rozwojowej w prognozowaniu

3.1. Istota prognozowania na podstawie modeli tendencji rozwojowej.

Model tendencji rozwojowej /trendu/ należy do szczególnej klasy modeli

ekonometrycznych, w których zmienność zmiennej objaśniającej opisywana jest przez

specyficzną zmienną objaśnianą jaką jest czas. Na ogół modele te nie wyjaśniają mechanizmu

kształtowania się rozpatrywanej zmiennej objaśnianej, lecz obrazują kształtowanie się jej w

czasie.

Można powiedzieć, że model trendu w sposób pośredni opisuje ten mechanizm,

szczególnie wtedy gdy zmienne objaśniające są silnie skorelowane ze sobą i jednocześnie z

czasem. Modele te z powodzeniem wykorzystuje się zarówno do predykcji średniookresowej,

gdy rozważa się model tendencji rozwojowej z wahaniami periodycznymi.

Wykorzystanie modeli tendencji rozwojowej do prognozownia średnio /do 5 lat/ a nawet

długookresowego /powyżej 5 lat/ daje dobre wyniki, gdy rozwój zjawiska w czasie wykazuje

bardzo trwałe i systematyczne zmiany jednokierunkowe, przy jednoczesnym ograniczonym

oddziaływaniu losowości. Przykładem takich zjawisk jest kształtowanie się podstawowych

wielkości makroekonomicznych np. PKB, wydajność pracy, poziom zatrudnienia, liczba

ludności itp.

Stosowanie modeli tendencji rozwojowej do prognozowania ma szereg zalet

2

:

1. Do budowy odpowiedniego modelu niezbędne są jedynie informacje empiryczne

odnoszące się do zmiennej prognozowanej.

2. Przy budowie prognozy nie występuje kłopotliwy problem znajomości zmiennych

objaśniających w okresie prognozowanym, gdyż zagadnienie sprowadza się do prostej

ekstrapolacji funkcji trendu przez nadanie odpowiedniej wartości zmiennej czasowej w

okresie prognozowanym, gdyż zagadnienie sprowadza się do prostej ekstrapolacji funkcji

2

A. Zeliaś. Teoria prognozy, PWE Warszawa 1997 s. 74

9

trendu przez nadanie odpowiedniej wartości zmiennej czasowej w okresie

prognozowanym.

3. Modele tendencji rozwojowej wykorzystywane do prognozowania są w przeważającej

części liniowe względem parametrów lub dają się łatwo do takich sprowadzić, stąd nie ma

trudności z ich estymacją.

4. Łatwo można także ocenić dokładność budowanych prognoz, wykorzystując mierniki

dokładności prognoz ex ante .

Trzeba także zwrócić uwagę na pewne trudności jakie mają miejsce w trakcie budowy

prognoz na podstawie modeli tendencji rozwojowej. Do najważniejszych z nich należą:

1. Trafny wybór analitycznej postaci modeli trendu będącego podstawą prognozowania

2. Występująca często autokorelacja składnika losowego.

Przydatność poszczególnych modeli tendencji wzrostowej do celów prognostycznych

oceniana jest różnie. Z. Pawłowski uważa, że trendy liniowy i wielomianowe mają

ograniczoną przydatność w procesie predykcji

3

. Ograniczoność ta wynika z faktu, że są to

funkcje, które nie posiadają asymptot poziomych. O ile w zaobserwowanym przedziale

zmienności zmiennej czasowej funkcje liniowe i wielomiany dają dobrą zgodność

wartości teoretycznych zmiennej prognozowanej z jej wartościami empirycznymi, to po

wyjściu poza tę zmienność zgodność jest zwykle gorsza. Nie ma bowiem racjonalnego

uzasadnienia, że poza obserwowanym odcinkiem czasu rozwój zmiennej prognozowanej

będzie odpowiadał przebiegowi określonego wielomianu. Na tej podstawie większą

użyteczność w prognozowaniu mają te modele tendencji rozwojowej, które posiadają

asymptoty poziome, gdyż zjawiska gospodarcze „ mają swoje naturalne granice”. Z tą

tezą można się zgodzić, przynajmniej jeżeli analizujemy krótkie lub średnie okresy – w

dłuższych okresach postęp techniczny dość często „łamał asymptoty poziome”.

3.2. Analityczne postaci modeli tendencji rozwojowej

Ogólnie model trendu można zapisać:

( )

ε

+

=

t

f

Y

t

n

t

,......,

2

,

1

=

/ 14 /

lub :

( )

ε

∗

=

t

f

Y

t

n

t

,......,

2

,

1

=

/ 15 /

( )

−

t

f

funkcja trendu

3

Z. Pawłowski, Zasady predykcji ekonometrycznej, PWN Warszawa 1982, s.210-211

10

−

ε

składnik losowy /zmienna losowa/ charakteryzująca efekty oddziaływań wahań

przypadkowych na trend, której wartość oczekiwana jest równa 0 w przypadku modeli

addytywnych lub 1 w przypadku modeli multiplikatywnych, a wariancja składnika

losowego jest skończona.

Analizując postać funkcji f /t/ można wybierać w różny sposób. Niekiedy jej postać wynika z

pewnej teorii ekonomicznej lub przyrodniczej i wtedy naszym zadaniem jest poprzez budowę

estymację modeli jej weryfikacja.

Najczęściej jednak postać analityczną odczytujemy z rozrzutu punktów czyli wykresów

zwłaszcza, że modele trendu to funkcje z jedną zmienną, które stosunkowo łatwo jest

wykreślić.

3.2.1. Liniowy model trendu

Jest najprostszym i i najczęściej wykorzystywanym modelem tendencji rozwojowej

postaci:

ε

α

β

+

+

=

t

Y

t

/ 16 /

Parametry tego modelu szacujemy najczęściej Klasyczną Metoda Najmniejszych Kwadratów

– oczywiście wtedy gdy spełnione są jej założenia

( )

0

.

1

=

ε

E

( )

I

.

2

2

2

σ

εε =

T

D

/ 17 /

n

k

rz

≤

+

=

1

X

.

3

−

X

.

4

macierz obserwacji zmiennych objaśniających w tym przypadku

zmiennej czasowej ma ustalone wartości.

Wtedy :

( )

y

X

X

X

T

1

T

−

=













a

b

gdzie : / 18 /

























=

n

1

2

1

1

1

X

Μ

Μ

lub w postaci algebraicznej :

11

(

)( )

( )

∑ −

∑

−

−

=

=

=

n

t

n

t

t

t

t

t

t

y

y

a

1

2

1

lub

( )

(

)

1

12

2

1

−

∑ −

=

=

n

n

y

t

t

a

n

t

t

gdyż :

( )

(

)

∑

−

=

−

=

n

t

n

n

t

t

1

2

2

12

1

/ 19 /

t

a

y

b

−

=

Ocenę wariancji odchyleń losowych trendu liniowego otrzymujemy ze wzoru (tzw. wariancja

resztowa) :

2

1

2

2

−

∑

=

=

n

e

S

n

t

t

e

/ 20 /

Standardowe błędy szacunku (oceny) parametrów

α

oraz

β

wynoszą :

( )

( )

(

)

12

1

2

1

2

−

=

∑ −

=

=

n

n

S

t

t

S

a

S

e

n

t

e

( )

( )

(

)

1

12

1

12

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

−

∑

=

−

∑

=

∑ −

∑

=

=

=

=

=

n

t

n

S

n

n

t

S

t

t

n

t

S

b

S

n

t

e

n

t

e

n

t

n

t

e

/ 21 /

i dalej wiedząc , że :

(

)(

)

∑

+

+

=

=

n

t

n

n

n

t

1

2

6

1

1

2

otrzymujemy :

( )

(

)

(

)

1

1

2

2

−

+

=

n

n

n

S

b

S

e

Oceny dopasowania modelu do danych empirycznych dokonujemy obliczając :

- współczynnik zbieżności

2

φ

:

(

)

∑

−

∑

=

=

=

n

t

t

n

t

t

y

y

e

1

2

1

2

2

φ

/ 22 /

- współczynnik determinacji

2

2

1

φ

−

=

R

:

12

(

)

∑

−

∑

−

=

=

=

n

t

t

n

t

t

y

y

e

R

1

2

1

2

2

1

/ 23 /

- oraz skorygowany współczynnik determinacji

2

R

:

(

)

2

2

2

1

1

R

k

n

k

R

R

−

−

−

−

=

/ 24 /

Należy zbadać istotność parametrów korzystając z faktu, że statystyki :

( )

( )

b

S

b

t

oraz

a

S

a

t

b

a

=

=

/ 25 /

mają rozkład

Studenta

t

−

o

1

−

−

k

n

stopniach swobody na poziomie istotności

γ

Należy również zbadać czy wstępuje autokorelacja składników losowych obliczając

współczynnik autokorelacji reszt rzędu pierwszego :

(

)(

)

(

) (

)

∑

∑

−

−

∑

−

−

=

=

=

−

−

=

−

−

n

t

n

t

t

t

t

t

n

t

t

t

t

t

e

e

e

e

e

e

e

e

r

2

2

2

1

1

2

2

1

1

1

/ 26 /

a następnie stosując test Durbina – Watsona :

przy

0

1

>

r

obliczając statystykę

d

:

(

)

( )

∑

∑

−

=

=

=

−

n

t

t

n

t

t

t

e

e

e

d

2

2

2

2

1

/ 27 /

gdy :

0

1

<

r

obliczamy :

d

d

−

=

4

`

Możemy również skorzystać ze wzoru przybliżonego :

(

)

1

1

2

r

d

−

≈

Jeżeli test Durbina – Watsona nie da odpowiedzi możemy skorzystać z testu istotności

współczynnika korelacji wiedząc, że statystyka :

2

1

1

1

1

3

r

n

r

t

−

−

=

/ 28 /

ma rozkład

Studenta

t

−

o

3

−

n

stopniach swobody na poziomie istotności

γ

.

W

przypadku

występowania autokorelacji składników losowych, bądź

heteroskedastyczności składników losowych do szacowania parametrów stosujemy

13

Uogólnioną Metodę Najmniejszych Kwadratów (UMNK)

4

i wektor parametrów

strukturalnych szacujemy według formuły :

(

)

y

V

X

X

V

X

a

1

T

1

1

T

−

−

−

=

/ 29 /

bądź stosując na przykład metodę Cochrena – Orcutta parametry strukturalne modelu

obliczamy na podstawie formuły :

(

)

∗

∗

−

∗

∗

=

y

X

X

X

a

1

T

T

/ 30 /

gdzie :

2

1

1

1

1 r

y

y

−

=

∗

n

t

y

r

y

y

t

t

t

,......,

3

,

2

dla

1

1

=

−

=

−

∗

n

..,

0,1,2,....

dla

1

2

1

1

1

=

−

=

∗

j

r

x

x

j

j

n

t

n

j

x

r

x

x

j

t

j

t

j

t

,......,

3

,

2

oraz

,......,

2

,

1

,

0

dla

,

1

1

,

,

=

=

−

=

−

∗

przy czym

−

1

r

to współczynnik autokorelacji reszt rzędu pierwszego.

W przypadku trendu liniowego wartości zmiennej prognozowanej można również

przygotować w postaci przyrostów. W ten sposób skracamy o jeden długość szeregu ale

unikamy zjawiska autokorelacji.

3.2.2. Modele nieliniowe sprowadzalne do postaci liniowej

5

.

Trend potęgowy.

0

>

=

β

β

ε

α

e

t

Y

/ 31 /

Kształt trendu zależy od wartości parametru

α

4

Twórcą UMNK jest A. C. Aitken : On Least Squares and Linear Combination of Observations, Proceedings of

the Royal Society of Edinburgh 55/1935. Opis metody można znaleźć np. w pracy : E. Nowak, Zarys metod
ekonometrii, PWN, Warszawa 1998, s. 109 – 117.

5

Szeroki przegląd modeli jednej zmiennej można znaleźć w pracy : T. Stanisz, Funkcje jednej zmiennej w

badaniach ekonomicznych, PWN, Warszawa, 1986.

14

2 t

1.2

t

0

5

2

1

<

α

0.5 t

0.5

t

0

5

10

1

0

<

α

t

t

0

5

10

5

1

=

α

t

5

10

1

>

α

Trend potęgowy sprowadzamy do postaci liniowej stosując Transformację logarytmiczną :

ε

α

β

e

t

Y

ln

ln

=

/ 32 /

15

e

t

Y

ln

ln

ln

ln

ε

α

β

+

+

=

/ 33 /

dokonując podstawień :

Z

t

V

Y

=

=

=

ln

ln

ln

0

α

β

/ 34 /

otrzymujemy model liniowy :

ε

α

α

+

+

=

Z

V

0

/ 35 /

Trend wykładniczy .

( )

0

0,

>

>

=

β

α

α

β

ε

e

Y

t

/ 36 /

0.9

t

t

0

5

10

0.5

1

1

0

<

<

α

1.5

t

t

0

5

10

50

100

1

>

α

Trend wykładniczy sprowadzamy do postaci liniowej stosując również transformację

logarytmiczną :

e

t

Y

ln

ln

ln

ln

ε

α

β

+

+

=

/ 37 /

dokonując podstawień :

1

0

ln

ln

ln

α

α

α

β

=

=

=

V

Y

/ 38 /

otrzymujemy model :

ε

α

α

+

+

=

t

V

1

0

/ 39 /

przy czym :

1

0

α

α

α

β

e

e

=

=

/ 40 /

Oszacowana wartość parametru

α

przemnożona przez 100% informuje o

średniorocznym (średniokwartalnym, itp.) tempie wzrostu zmiennej prognozowanej w

procentach.

Trend logarytmiczny.

0

ln

>

+

+

=

β

ε

α

β

t

Y

/ 41 /

16

2 2 ln t

( )

.

t

0

5

10

10

10

0

>

α

α

β

−

=

=

e

t

y

0

1 1.5 ln t

( )

t

0

5

5

5

10

0

<

α

α

β

−

=

=

e

t

y

0

Linnearyzację przeprowadzamy dokonując podstawienia :

Z

t

=

ln

/ 42 /

co pozwala otrzymać model liniowy postaci :

ε

α

β

+

+

=

Z

Y

/ 43 /

Trend hiperboliczny

ε

α

β

+

+

=

t

Y

/ 44 /

17

5

1

t

t

0

5

10

5

6

7

8

0

>

α

5

1

t

0

5

10

3

4

Hiperbola

0

<

α

Transformacji do postaci liniowej dokonujemy poprzez podstawienie :

Z

t

=

1

i otrzymujemy model :

ε

α

β

+

+

=

Z

Y

/ 45 /

Trend paraboliczny

ε

α

α

α

+

+

+

=

2

2

1

0

t

t

Y

/ 46 /

5 t 0.5 t

2

t

0

2

4

6

500

Linnearyzację przeprowadzamy dokonując podstawień :

2

2

1

Z

t

Z

t

=

=

co pozwala otrzymać model postaci :

ε

α

α

α

+

+

+

=

2

2

1

1

0

Z

Z

Y

/ 47 /

18

3.2.3. Modele trendu nie sprowadzalne do postaci liniowej.

Bardzo wiele zjawisk ekonomicznych, społecznych czy też demograficznych nie daje

się efektywnie opisać za pomocą modeli liniowych bądź też modeli sprowadzalnych do

postaci liniowej. Stąd też pojawiła się bardzo obszerna klasa modeli nieliniowych nie

sprowadzalnych do postaci liniowej, które wymagają odmiennych niż wcześniej

prezentowane modele metod estymacji. W niniejszym wykładzie ograniczymy się jako

przykładu do wykorzystania krzywej logistycznej.

3.2.3.1.

Trend logistyczny.

Krzywa (trend) logistyczna została odkryta na początku XIX wieku przez

P.F. Verhulsta

6

. Pierwszym propagatorem tej funkcji był R. F. Pearl, który nadał tej krzywej

ostateczną postać :

0.

1,

0,

1

>

>

>

+

=

γ

β

α

β

α

γ

t

e

Y

/ 48 /

Krzywa logistyczna ma asymptotę poziomą o równaniu

α

=

Y

. Krzywa logistyczna jest

wypukła dla :

γ

β

ln

0

−

<

≤

t

a wklęsła dla :

6

P. F. Verhulst, Notice sur loi que la popuation suit dans son accroisment, Correspondance Mathematique et

Phisique 1838 nr 10 za : T. Stanisz, Funkcje jednej zmiennej w badaniach ekonomicznych, PWN, Warszawa
1986, s. 124 –125.

19

γ

β

ln

−

>

t

dla :

γ

β

ln

−

=

p

t

ma punkt przegięcia

7

dla którego osiąga wartość

2

)

(

α

=

p

t

Y

Powyższe własności są charakterystyczne dla wzrostu wielu zjawisk ekonomicznych,

demograficznych, przyrodniczych i innych. Często obserwujemy następującą tendencję : na

początku wartości zmiennej rosną powoli, potem coraz szybciej, jednak po uzyskaniu

pewnego poziomu prędkość wzrostu słabnie i następuje stabilizacja. Tak zachowuje się wiele

produktów wchodzących na rynek. W ten sposób zmienia się liczba mieszkańców

wyodrębnionych obszarów.

G. Tintner wykazał, że rozwój ludności Szwecji przebiegał

zgodnie z krzywą logistyczną

8

. Stąd też krzywa (trend) logistyczna ma wiele zastosowań do

opisu i prognozowania różnorodnych zjawisk

9

.

Istnieje szereg metod estymacji parametrów krzywej logistycznej

10

. Najstarszą jest metoda

estymacji opracowana w 1927 roku przez H. Hotellinga

11

. Metodę tę M. Kowerski zastosował

do estymacji parametrów trendu logistycznego opisującego zmiany liczby mieszkańców miasta

Zamościa w latach 1974 - 1999

12

. Dobrze znana jest również metoda estymacji opracowana w

1958 roku przez G. Tintnera

13

. Coraz częściej do estymacji prametrów trendu logistycznego

stosuje nieliniową metodę najmniejszych kwadratów.

3.2.3.2. Nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów. Algorytm Gaussa - Newtona

14

Załóżmy, że chcemy oszacować parametry strukturalne trendu nieliniowego postaci :

( )

t

t

t

f

Y

ε

α

+

=

,

n

t

,......,

2

,

1

=

/ 1 /

gdzie :

7

Analizę przebiegu zmienności trendu logistycznego można znaleźć w pracy : J. Grzeszczuk, M. Kasjaniuk,

J. Kurek, Matematyka dla studentów ekonomii i informatyki, WSZiA w Zamościu , Zamość 2001.

8

G. Tintner, Econometrics, Wiley, New York, 1952 za : T. Stanisz, Funkcje jednej zmiennej ...op. cit., s.126

9

M. Kowerski zastosował krzywą logistyczną do prognozowania rozwoju społeczno – gospodarczego miasta

Zamościa : M. Kowerski, Zamość – diagnoza i prognoza rozwoju, Wiadomości Statystyczne, 2/2002.

10

Szeroki przegląd tych metod daje T. Stanisz w pracy : Funkcje jednej zmiennej w badaniach ekonomicznych,

PWN, Warszawa 1986, s. 122 – 168.

11

H. Hotelling, Differential Equations Subject to Error and Population Estimates, Journal of American Statistical

Association, 1927, t 3.

12

M. Kowerski, Potencjał demograficzny miasta Zamościa. Diagnoza i prognoza, w : B. Kawałko, Z. Mitura

(red.) Uwarunkowania rozwoju regionalnego z uwzględnieniem restrukturyzacji obszarów wiejskich, WSZiA w
Zamościu, Zamość 2001.

13

G. Tintner, Eine neue Methode fur die Schatzung der logistischen Funktion, Metrika, !958 nr 1 za : T. Stanisz,

Funkcje jednej zmiennej,...op.cit., s. 140.

14

Opracowano na podstawie : A. Goryl, modele nieliniowe w : K. Kukuła ( red. ) Wprowadzenie do ekonometrii

w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 1999. s. 91 – 95.

20

−

t

Y

zmienna objaśniana

−

t

czas

[ ]

−

=

i

α

α

wektor

k

parametrów strukturalnych

−

t

ε

składnik losowy

przy czym zakładamy, że składniki

t

ε

są nieskorelowane, mają średnią różną od zera oraz

jednakową, dodatnią i skończoną wariancję.

Zastosowanie Klasycznej Metody Najmniejszych Kwadratów wprost do modelu, czyli

wyznaczenie estymatora

a

wektora parametrów

α

takiego, że :

( )

( )

[

]

( )

a

S

t

f

y

n

t

t

=

∑

−

=

=

2

1

,

min

S

min

α

α

/ 49 /

prowadzi do nieliniowego układu równań normalnych, który zwykle musi być rozwiązywany

za pomocą numerycznych procedur iteracyjnych.

Alternatywną, numeryczną realizacją nieliniowej MNK jest metoda Gaussa - Newtona,

polegająca na zastąpieniu w

tej

−

ε

iteracji modelu jego liniową aproksymantą uzyskaną

przez rozwinięcie w szereg Taylora z dokładnością do składników liniowych ( tj. pierwszych

pochodnych ) wokół przybliżenia wektora oszacowań parametrów

( )

l

a

:

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

l

t

k

j

l

j

j

l

a

j

l

t

a

t

f

a

t

f

Y

ν

α

α

α

α

+

∑

−

∂

∂

+

=

=

=

1

,

,

n

t

,......,

2

,

1

=

/ 50 /

gdzie :

( )

( )

−

+

=

t

l

t

l

t

ε

ε

ν

nowe składniki losowe, przy czym :

( )

−

l

t

ε

są błędami wyrażającymi odchylenia powstałe wskutek

zastosowania aproksymacji (pominięcie dalszych wyrazów

rozwinięcia Taylora), które w miarę zbiegania się procedury

iteracyjnej powinny dążyć do zera.

Model jest już liniowy względem parametrów :

( )

( )

l

j

j

l

j

a

−

=

α

δ

/ 51 /

a zatem mogą one być szacowane za pomocą Klasycznej Metody Najmniejszych Kwadratów:

( )

( )

( )

( )

[

]

( )

( )

( )

l

T

l

l

T

l

l

e

Z

Z

Z

d

1

−

=

/ 52 /

gdzie :

21

( )

( )

[ ]

( )

( )

l

a

j

l

tj

l

t

f

z

Z

=

















∂

∂

=

=

α

α

α

,

/ 53 /

- macierz

k

n

×

pierwszych pochodnych cząstkowych względem parametrów

obliczonych dla ustalonych w

tej

l

−

iteracji przybliżeń

( )

l

a

oraz wartości zmiennej

czasowej,

( )

( )

( )

[

]

l

t

l

a

t

f

y

e

,

−

=

/ 54 /

- wektor

różnic między zaobserwowanymi wartościami zmiennej objaśnianej a

tym

l

−

przybliżeniem ( wartościami teoretycznymi z

tej

l

−

iteracji ).

Wartości

( )

l

j

d

są szacunkami

( )

l

j

δ

czyli odchyleń

tych

l

−

przybliżeń

( )

l

j

a

od

wartości rzeczywistych

j

a

. W następnej iteracji zamiast

( )

l

j

a

bierzemy poprawione oceny

parametrów :

( )

( )

( )

l

j

l

j

l

j

d

a

a

+

=

+

1

/ 55 /

i ponownie rozwijamy funkcję / 1 / w szereg Taylora według wzoru / 3 /, ale teraz wokół

( )

1

+

l

j

a

i znowu stosujemy Klasyczną Metodę Najmniejszych Kwadratów.

Postępowanie kontynuujemy tak długo, aż wartości bezwzględne wszystkich poprawek

będą równe zero z dokładnością

γ

( np.

6

10

−

=

γ

). Jeżeli zachodzi to od pewnej iteracji

L

,

to jako oceny parametrów otrzymane KMNK przyjmujemy oszacowanie z tej właśnie iteracji.

To oznacza, że jeżeli dla wszystkich

L

l

≥

oraz dla wszystkich

k

j

,......,

2

,

1

=

( )

γ

<

l

j

d

to

( )

l

a

a

=

/ 56 /

Metoda Gaussa – Newtona sprowadza się zatem do ciągu zastosowań KMNK, w którym

rolę macierzy

X

(obserwacji zmiennych objaśniających ) pełni macierz

( )

l

Z

( pierwszych

pochodnych cząstkowych obliczonych dla ustalonych przybliżeń

( )

l

a

oraz wartości zmiennej

czasowej ), a rolę wektora obserwacji zmiennej objaśnianej, wektor

( )

l

e

( różnic pomiędzy

wartościami empirycznymi zmiennej objaśnianej a

tymi

l

−

przybliżeniami

( )

( )

l

a

t

f ,

.

22

Można pokazać

15

, że zgodnym nieobciążonym oszacowaniem asymptotycznej macierzy

wariancji – kowariancji estymatorów parametrów jest macierz :

( )

( )

( )

( )

[

]

1

2

2

−

=

L

T

L

e

Z

Z

S

a

D

/ 57 /

gdzie :

( )

( )

( )

( )

[

]

2

1

2

,

1

1

∑

−

−

=

−

=

=

n

t

t

L

T

L

e

a

t

f

y

k

n

e

e

k

n

S

/ 58 /

Należy podkreślić, że jeżeli zastosujemy kryterium błędu średniokwadratowego, to żadna

inna metoda nie da rezultatów lepszych niż Nieliniowa Metoda Najmniejszych

Kwadratów. I nieważne czy to będzie metoda Gaussa – Newtona, metoda quasi – Newtona

czy algorytm Marquardta, rezultat końcowy będzie taki sam, różna może być co najwyżej

liczba niezbędnych iteracji. Dodać należy także, że metoda Gaussa – Newtona wymaga

dobrych wartości początkowych

( )

0

a

, gdyż w przypadku gdy

( )

0

a

nie jest dostatecznie

bliskie rzeczywistym wartościom parametru

α

, algorytm może nie być zbieżny. Dlatego też

metodę Gaussa – Newtona warto poprzedzić jakąś metodą przybliżoną, dającą początkowe

przybliżenia oszacowań parametrów

16

4. Prognozowanie na podstawie modeli adaptacyjnych.

Prognozowanie na podstawie trendu pełzającego z wykorzystaniem metody wag

harmonicznych

17

.

Metodę trendu pełzającego z zastosowaniem wag harmonicznych do prognozowania

(zwłaszcza krótkoterminowego) zaproponował Z. Hellwig

18

. Jest ona związana z predykcją

według tzw. zasady postarzania informacji

19

. Zgodnie z tą zasadą bardziej preferuje się

informacje nowsze niż starsze. Procedura predykcji obejmuje w tym wypadku dwa niezależne

etapy:

1. Wyrównanie szeregu czasowego zmiennej prognozowanej za pomocą trendu pełzającego,

15

M. J. Box, Bias in nonlinear estimation, Journal of Royal Statistical Society, 1971, seria B, nr 33. oraz

D. A. Ratkowsky, Nonlinear regression modelling. A unified practical approach, Marcel Dekker Inc.
New York 1983.

16

Przykłady takich metod podaje A. Goryl w : Modele nieliniowe w : K. Kukuła, Wprowadzenie do ekonometrii

w przykładach i zadaniach, PWN Warszawa, 1999 s. 94 – 95.

17

Opracowano na podstawie : E. Nowak, Zarys metod ekonometrii. Zbiór zadań, PWN, Warszawa 1998,

s.190 -194 oraz A. Zeliaś, Teoria prognozy, PWE, Warszawa 1997, s. 239 – 246.

18

Z. Hellwig, Schemat budowy prognozy statystycznej metodą wag harmonicznych,

Przegląd Statystyczny, 2/1967

19

S. Bartosiewicz. Ekonometria, Technologia ekonometrycznego przetwarzania informacji, PWE,

Warszawa 1976.

23

2. Ustalenie prognoz z wykorzystaniem wag harmonicznych.

Punktem wyjścia szacowania parametrów trendu pełzającego są obserwacje

n

y

y

y

,......,

,

2

1

zmiennej prognozowanej Y. Dla przyjętej z góry liczby naturalnej

s

takiej ,

że

n

s

<

, na podstawie

s

kolejnych obserwacji:

n

s

n

s

n

s

l

l

l

s

s

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

,

,

,

,

,

,

,

,

2

1

1

1

1

3

2

2

1

+

−

+

−

−

+

+

+

/ 1 /

szacujemy za pomocą metody najmniejszych kwadratów parametry strukturalne liniowych

trendów segmentowych:

(

)

(

)

(

)

(

)

n

s

n

s

n

t

t

a

b

Y

s

l

l

l

t

t

a

b

Y

s

t

t

a

b

Y

s

t

t

a

b

Y

s

n

s

n

s

n

l

l

l

,...,

2

,

1

1

,

1

,

ˆ

1

,...,

3

,

2

ˆ

...,

,

2

,

1

ˆ

1

1

1

2

2

2

1

1

1

+

−

+

−

=

+

=

−

+

+

=

+

=

+

=

+

=

=

+

=

+

−

+

−

+

−

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

Λ

/ 2 /

Z

każdego równania trendu odcinkowego wyznacza się teoretyczne wartości zmiennej

prognozowanej:

(

)

1

,...,

1

,

,

1

,...,

2

,

1

ˆ

−

+

+

=

+

−

=

+

=

s

l

l

l

t

s

n

l

t

a

b

y

l

l

tl

/ 3 /

Każdej jednostce czasu odpowiada p (t ) wartości teoretycznych

20

:

( )









+

−

+

−

=

+

−

+

−

+

=

−

=

=

n

s

n

s

n

t

dla

t

n

s

n

s

s

t

dla

s

s

t

dla

t

t

p

,...,

3

,

2

1

1

,...,

1

,

,

1

,...,

2

,

1

/ 4 /

20

Wzór ten jest w pełni stosowny dla warunku :

2

1

:

czyli

1

−

≤

≥

+

−

n

s

s

s

n

. Generalnie chodzi o to, że

t

yˆ

jest średnią wartości teoretycznych

trendów dla okresu t

24

Ostatecznym

wygładzeniem badanego szeregu czasowego jest: średnia z wartości

teoretycznych oszacowanych na podstawie modeli odcinkowych w danej jednostce czasu:

( )

∑

=

+

−

=

1

1

ˆ

1

ˆ

s

n

l

tl

t

y

t

p

y

/ 5 /

Łącząc kolejne punkty

( )

t

y

t ˆ

,

odcinkami prostymi, otrzymuje się wykres trendu

badanego szeregu czasowego w postaci łamanej zwanej trendem pełzającym (ruchomym).

Miarą jakości dopasowania trendu segmentowego do danych empirycznych może być na

przykład współczynnik korelacji pomiędzy empirycznym szeregiem czasowym a

wygładzonym

( )

t

t

Y

Y

r

ˆ

,

.

W kolejnym etapie oblicza się przyrosty wygładzonych wartości szeregu czasowego:

t

t

t

y

y

w

ˆ

ˆ

1

1

−

=

+

+

(

)

1

,...,

2

,

1

−

=

n

t

/ 6 /

Aby

zrealizować zasadę postarzania informacji, wyznacza się wagi harmoniczne

1

,...,

2

,

1

(

1

1

1

1

1

−

=

∑

−

−

=

=

+

n

t

i

n

n

c

t

i

t

/ 7 /

Wagi harmoniczne występujące we wzorze / 7 / są zawsze nieujemne, a ich suma

równa jest jedności. Mamy więc :

1

1

1

1

1

1

0

1

+

+

−

=

+

<

<

<

=

∑

t

t

t

n

t

t

c

c

c

c

/ 8 /

Następnie oblicza się średni ważony przyrost wygładzonych wartości zmiennej

prognozowanej:

∑

−

=

+

=

1

1

1

n

t

t

t

c

w

w

/ 9 /

oraz odchylenie standardowe przyrostów:

(

)

∑

−

=

+

+

−

=

1

1

2

1

1

n

t

t

t

w

w

w

c

S

/ 10 /

25

Prognozę punktową zmiennej Y na okres T ustala się jako sumę n-tego wygładzonego

elementu szeregu

( )

∃

y

n

oraz iloczynu średniej przyrostów

w

i

n

T

−

=

τ

w

y

y

n

T

τ

+

=

∗

ˆ

/ 11 /

W celu wyznaczenia przedziału prognozy oblicza się współczynnik :

∑

−

−

=

+

=

1

1

n

n

t

t

c

r

τ

β

τ

µ

/ 12 /

Dolną granicę przedziału prognozy wyznacza się jako :

w

T

T

S

r

y

dy

τ

−

=

∗

∗

/ 13 /

Górną granicę przedziału prognozy wyznacza się jako :

w

T

T

S

r

y

gy

τ

+

=

∗

∗

/ 14 /.

Na zakończenie należy podkreślić, że najbardziej przekonywującymi argumentami za

stosowanie prognozowania opartego o metodę trendu pełzającego z wykorzystaniem wag

harmonicznych są :

- nieregularność zjawisk ekonomicznych – większa od tej, jaką zakłada budowanie

klasycznych modeli trendu jako analitycznej funkcji czasu określonej dla całego okresu

obejmującego analizowaną przeszłość i przewidywaną przyszłość,

- występowanie w prognozowanych zmiennych tzw. „punktów zwrotnych”,

- starzenie

się informacji.

Literatura :

1. Z. Czerwiński, B. Guzik, Prognozowanie ekonometryczne, PWE Warszawa, 1980

2. M. Cieślak (red.), Prognozowane gospodarcze. Wydawnictwo AE we Wrocławiu,

Wrocław 1993

3. M. Cieślak ( red. ), Prognozowanie gospodarcze, PWN, Warszawa 1997

4. J. Grzeszczuk, M. Kasjaniuk, J. Kurek, Matematyka dla studentów ekonomii i informatyki,

WSZiA w Zamościu , Zamość 2001.

5. Z. Hellwig ( red.), Zarys ekonometrii, PWE, Warszawa 1970

6. Z. Hellwig, Schemat budowy prognozy statystycznej metodą wag harmonicznych,

26

Przegląd Statystyczny, 2/1967

7. M. Kowerski. Ekonometria. Przewodnik po wykładach, WSZiA w Zamościu, Zamość 1998

8. M. Kowerski, Zamość – diagnoza i prognoza rozwoju, Wiadomości Statystyczne, 2/2002.

9. M. Kowerski, Potencjał demograficzny miasta Zamościa. Diagnoza i prognoza, w : B.

Kawałko, Z. Mitura (red.) Uwarunkowania rozwoju regionalnego z uwzględnieniem

restrukturyzacji obszarów wiejskich, WSZiA w Zamościu, Zamość 2001.

10. K. Kukuła ( red. ) Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach, PWN,

Warszawa 1999.

11. E. Nowak (red.), Prognozowanie gospodarcze, Agencja Wydawnicza Placet,

Warszawa 1998

12. E. Nowak, Zarys metod ekonometrii. Zbiór zadań, PWN, Warszawa 1998,

13. Z. Pawłowski, Zasady predykcji ekonometrycznej, PWN Warszawa 1982

14. T. Stanisz, Funkcje jednej zmiennej w badaniach ekonomicznych, PWN, Warszawa, 1986

15. A. Zeliaś. Teoria prognozy, PWE Warszawa 1997

.