Egzamin

rok 2008/2009

Zadanie 3 :

Napisać równanie stycznej do krzywej o równaniu

⃗r(t)=[t−sint ,1−cost , 4sin t

2

]

w punkcie odpowiadającym

t

0

= π

2

.

Jaki kąt tworzy ta styczna z osią OZ? Obliczyć

krzywiz

nę

⃗r(t)

w punkcie

t

0

.

Rozwiązanie:

 Nasza krzywa:

⃗r(t)=[t−sint ,1−cost , 4sin t

2

]



Liczymy pierwszą i drugą pochodną:

⃗r' (t)=[1−cost , sint , 2cos t

2

]

⃗r' ' (t)=[ sint , cost ,−sin t

2

]



Wyznaczamy wartości w punkcie

t

0

:

⃗r(

π
2

)=[ π

2

−1,1, 2

√

2]

⃗r' (

π

2

)=[1, 1,

√

2]

⃗r' ' ( π

2

)=[1, 0,−

√

2

2

]



Prosta styczna wyraża się wzorem:

x=

x

0

+ s

T

1

y=

y

0

+ s

T

2

z=

z

0

+ s

T

3

A wektor normalny T:

⃗

T =

⃗r ' (t)



Więc nasza prosta to:

x=

π
2

−1

+ s

y=

1

+ s

z=

2

√

2

+

√

2

s

 Aby wyznaczy

ć kąt pomiędzy styczną a osią OZ musimy pomnożyć skalarnie

wersor osi OZ

⃗k

oraz wektor

⃗

T

⃗k=[0,0,1]

∣⃗k∣=1

∣⃗

T∣=

√

1+1+2=2

⃗k∘ ⃗T=∣⃗k∣⋅∣⃗T∣⋅cos

α

⃗k∘ ⃗T=[0,0,1]∘[1,1 ,

√

2 ]=

√

2

√

2=1⋅2⋅cos

α

cos

α

=

√

2

2

α

= π

4



Krzywiznę wyrażamy wzorem:

κ

=

∣⃗r ' (t)×⃗r' ' (t)∣

∣⃗r' (t)∣

3



Obliczamy krzywiznę:

⃗r' (t

0

)×⃗r ' ' (t

0

)=

∣

⃗i ⃗j

⃗k

1

1

√

2

1

0

−

√

2

2

∣

=[

−

√

2

2

,

3

√

2

2

,−1]

∣⃗r' (t

0

)×⃗r ' ' (t

0

)∣=

√

2
4

+ 18

4

+1=

√

6

∣⃗r' (t)∣

3

=(

√

1+1+2)

3

=8

κ

=

√

6

8

Odpowiedź:

Styczna do krzywej wyr

aża się wzorem :

x=

π
2

−1

+ s

y=

1

+ s

z=

2

√

2

+

√

2

s

tworzy kąt α

= π

4

z osią OZ, a krzywizna wynosi: κ

=

√

6

8

.

Autor:

Agnieszka Rapczyńska

grupa

9