Egzamin

rok 2008/2009

Zadanie 1:

Dane jest pole wektorowe =[2y-6xy

3

,2x-9x

2

y

2

,6].

a)

Obliczyć div .

b)

Wykazać, że jest polem potencjalnym oraz wyznaczyć jego potencjał.

c)

Obliczyć całkę

,

gdzie

jest łukiem krzywej {y = x

2

, z = 6}

łączącym punkty A(0,0,6) i B(2,2,6).

Rozwiązanie:

a)

Dywergencja wyraża się następującym wzorem:

div = P

x

+ Q

y

+ R

z

Obliczam dywergencję danego pola:
div = -6y

3

-18x

2

y

≠ 0 → oznacza to, że pole jest źródłowe.

b)

Aby wykazać, że dane pole jest potencjalne należy najpierw obliczyć rotacje pola:

rot =

= [0-0,-(0-0),2-18xy

2

-2+18xy

2

] = [0,0,0] =

zatem pole jest potencjalne.

Wyznaczam

potencjał:

f

x

=2y-6xy

3

/

f=2xy-3x

2

y

3

+C(y,z)

/'

y

f

y

=2x-9x

2

y

2

+C'(y,z)=2x-9x

2

y

2

C'(y,z)=0

/

C(y,z)=A(z)
f=2xy-3x

2

y

3

+A(z)

/'

z

f

z

=A'(z)=6

/

A(z)=6z+B

Zatem f(x,y,z)=2xy-3x

2

y

3

+6z+B

c)

obliczam całkę:

= (2xy-3x

2

y

3

+6z)

= 8

– 96 + 36 - 36 = -88

Odpowiedź:

Pole

jest źródłowe, potencjalne o potencjale równym 2xy-3x

2

y

3

+6z+B.

Wartością całki jest

liczba -88.

Autor:

Weronika Rozłonkowska

grupa

10

26.10.2013

2y-6xy

3

2x-9x

2

y

2

6