Kolokwium I

rok 2008/2009

Zadanie 1:

Zbadać, czy pole wektorowe

F



= [

y

xze

2

2

2

2

2

2

2

3

cos

;

2

;

sin

z

z

x

e

x

ze

x

z

y

y







]

spełnia warunek

wystarczający istnienia potencjału i wyznaczyć ten potencjał.

Rozwiązanie:

Warunek konieczny do istnienia potencjału pola wektorowego

F



: Jeżeli pole wektorowe

F



jest potencjalne w całej

swojej dziedzinie

D

, to

0

)

,

,

(







z

y

x

F

rot

dla każdego

D

z

y

x



)

,

,

(

.

1) Sprawdzamy warunek konieczny istnienia potencjału pola wektorowego.

F





[

y

xze

2

2

2

2

2

2

2

3

cos

;

2

;

sin

z

z

x

e

x

ze

x

z

y

y







]

2

2

2

2

2

2

3

cos

2

sin

2

z

z

x

e

x

ze

x

z

xze

z

y

x

k

j

i

F

rot

y

y

y





























=

= [



y

e

x

2

2

2

y

e

x

2

2

2

;

y

xe

z

2

2

cos



(



y

xe

z

2

2

cos



) ;

y

y

xze

xze

2

2

4

4



] = [

0

;

0

;

0

] =

0



.

Zatem

0

)

,

,

(







z

y

x

F

rot

oraz

3

R

D



- stąd

F



jest polem potencjalnym.

2) Wyznaczamy potencjał

)

,

,

(

z

y

x

f

taki, że

]

,

,

[

z

y

x

f

f

f

f

grad



, gdzie

z

y

x

f

R

f

Q

f

P







;

;

.



















)

,

(

sin

)

sin

2

(

)

,

,

(

sin

2

2

2

2

2

z

y

C

z

x

z

e

x

dx

z

xze

z

y

x

f

z

xze

f

y

y

y

x

Obustronnie liczymy pochodną po

y

i otrzymujemy :

y

y

y

y

ze

x

Q

z

y

C

ze

x

f

2

2

2

2

2

)

,

(

2









0

)

,

(





z

y

C

y

Całkując obustronnie po

y

:

)

(

0

)

,

(

z

D

z

y

C





)

(

sin

)

,

,

(

2

2

z

D

z

x

z

e

x

z

y

x

f

y







liczymy pochodną po

z

:

2

2

2

2

2

3

cos

)

(

'

cos

z

z

x

e

x

R

z

D

z

e

x

f

y

y

z















2

3

)

(

'

z

z

D





Całkując otrzymamy:

A

z

z

D





3

)

(

Potencjał pola wektorowego

F



to:

A

z

z

x

z

e

x

z

y

x

f

y









3

2

2

sin

)

,

,

(

.

3) Sprawdzając poprawność rozwiązania liczymy czy :

F

f

grad





.

f

grad

= [

y

xze

2

2

2

2

2

2

2

3

cos

;

2

;

sin

z

z

x

e

x

ze

x

z

y

y







]=

F



Odp

owiedź:

Potencjał pola wektorowego

F



= [

y

xze

2

2

2

2

2

2

2

3

cos

;

2

;

sin

z

z

x

e

x

ze

x

z

y

y







]

j

est równy:

A

z

z

x

z

e

x

z

y

x

f

y









3

2

2

sin

)

,

,

(

, gdzie

A

jest dowolną stałą.

Autor: Dagmara Klos grupa 2

15.10.2013