Kolokwium I

rok 2008/2009

Zadanie 3

:

a)

Obliczyć: ∫

L

(x-y)dx +(y+x)dy , jeżeli L jest krzywą L: {x

2

+y

2

+2y=0 } zorientowaną ujemnie względem swojego

wnętrza.
b) Podać twierdzenie Greena oraz sprawdzić tezę tego twierdzenia dla całki liczonej w punkcie (a).

Rozwiązanie: a)

1) L: x

2

+y

2

+2y=0 x

2

+y

2

+2y+1 -1=0 x

2

+(y+1)

2

=1, L jest okręgiem o promieniu 1 i środku w punkcie (0,-1)

2) Parametryzacja okręgu L (dla orientacji dodatniej):

x(t)=cost, y(t)=-1+sint t[0,2 π]

3) Pochodne x' i y':

x'(t)=-sint y'(t)=cost

4) Obliczenie całki ze wzoru ∫

L

Pdx + Qdy=

a

∫

b

[P(x(t) , y(t) )

* x'(t)+ Q(x(t), y(t) ) * y′(t) ]dt

∫

L

(x-y)dx +(y+x)dy =

0

∫

2

π

(cost+1-sint)(-sint) + (-1+sint+cost)(cost) dt =

=

0

∫

2

π

( –sintcost –sint+sin

2

t –cost +sintcost +cos

2

t )dt =

0

∫

2

π

(1-sint-cost)dt =

=

0

∫

2

π

1dt +

0

∫

2

π

(-sint)dt -

0

∫

2

π

cost dt = t|

0

2

π

+cost|

0

2

π

-sint|

0

2

π

=

2

π+(1-1)-(0-0) =

=

2

π

5) Obliczenie całki dla orientacji ujemnej według wzoru:

-∫

L

Pdx + Qdy = ∫-

L

Pdx + Qdy

∫-

L

(x-y)dx +(y+x)dy = -2

π

Rozwiązanie: b)

Założenia twierdzenia Greena:

1. D jest obszarem domkniętym, zawartym w R

2

, normalnym względem obu osi układu, o brzegu L będącym

łukiem zorientowanym dodatnio.
→
2. Pole wektorowe F[P,Q] jest różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze D.

Teza twierdzenia Greena:


Sprawdzenie tezy dla punktu a)

P= x-y, Q=x+y, = 1 =-1

Konstruujemy łuk K=-L, wówczas K jest zorientowany dodatnio i:

∫-

L

Pdx + Qdy = -∫∫

D

(1-(-1))dxdy = -2∫∫

D

dxdy = -2

π(1)

2

= -

2

π

(

∫∫

D

dxdy to pole obszaru D, czyli koła o promieniu 1

)

Odpowiedź:

a)

∫-

L

(x-y)dx +(y+x)dy = -

2

π

Autor: Magdalena Cymkowska, grupa 2

21.10.2013