Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2009/2010

1. [4p.] Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego

krzywą o równaniu

h(x) =











0,

x < −2

2 − |x|, −2 ¬ x ¬ 1
2

1−x

,

x > 1

oraz prostą y = 0. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.

2. [4p.] a) Dla jakich wartości parametru a układ równań



















a

2

x + 3y + 2z = 0

ax − y + 4z = 0

a(a − 1)x + 3y − 6z = 0

y + 4z = 0

posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Wyznaczyć te rozwiązania.
[2p.] b) Podać po jednym przykładzie macierzy trójkątnej dolnej i macierzy skalarnej stopnia
n ­ 4 oraz obliczyć wartości wyznaczników tych macierzy.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] a) Znaleźć punkt symetryczny do punktu A(1, −2, 0) względem prostej o równaniu

x − 1

2

=

y − 2

4

=

z − 3

5

[2p.] b) Podać (wraz z uzasadnieniem) po jednym przykładzie wektorów równoległych i prostopad-
łych w R

3

.

4. [4p.] Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnienia obliczyć całkę

I

C

ze

πz

(z

4

− 81)

2

dz

gdzie C jest krzywą opisaną równaniem |z + 3| = 2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Sprawdzić, czy funkcja f (x, y) = x

2

+ xy + y

2

+ 1

x +

1

y , x 6= 0 i y 6= 0, ma w punktach

P

1

(

3

√

3,

3

√

3), P

2

(

1

3

√

3

,

1

3

√

3

) ekstrema lokalne. Jeśli tak, to określić ich rodzaj.

[2p.] b) Wyznaczyć gradient dowolnie wybranej funkcji trzech zmiennych, nie będącej funkcją
stałą.

6. [4p.] Obliczyć

Z

D

Z

q

1 − x

2

− y

2

dxdy, gdzie obszar D opisany jest nierównościami: x

2

+y

2

−x ¬ 0

i y ­ 0 . Wykonać odpowiedni rysunek.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Narysować na płaszczyżnie zespolonej zbiór punktów spełniających

warunek

|1 − iz| ¬ Re





√

3

2

−

1

2

i

!

12



