Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna I”

WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2011/2012

1. [7p.] Obliczyć całki nieoznaczone (w punkcie b) zbadać zbieżność)

a)

Z

x arc cos

1

x

dx

b)

+∞

Z

0

e

x

+ 3

e

2x

+ 2e

x

+ 2

dx

2. [7p.] a) Obliczyć długość łuku krzywej y = ln(2 cos x) między dwoma sąsiednimi punktami

przecięcia wykresu tej funkcji z osią OX.
[2p.] b) Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla całek nieoznaczonych

wyprowadzić wzór na całkę

Z

f

0

(x)

f (x)

dx.

3. [7p.] Sprawdzić, czy funkcja z = e

−x

(x − y)

2

spełnia równanie

z

xx

− z

yy

− 2z

y

− z = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [7p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) =

y

x

+

1

x

+ y.

[2p.] b) Stosując różniczkę zupełną obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

ln



4

q

0, 98 +

3

q

1, 03 − 1



5. [7p.] a) Obliczyć całkę

9

Z

0

dy

3

Z

√

y

sin(πx

3

)dx

[2p.] b) Zdefiniować obszar normalny względem osi OY. Podać przykład takiego obszaru.

6. [7p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

z = 4 −

q

x

2

+ y

2

i

z =

q

x

2

+ y

2

Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić współrzędne biegunowe.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Wyprowadzić wzór na pole powierzchni sfery o promieniu R.