Egzamin połówkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2009/2010

1. [4p.] Wyznaczyć wartości parametrów m, k ∈ R tak, aby funkcja f (x) była ciągła dla dowolnego

x ∈ R

f (x) =



















e

−x

1−x

− m

2

x

dla

x < 1

|x − 1| − 4

dla

1 ¬ x ¬ 2

k − π · arcctg (ln |2 − x|)

dla

x > 2

Dla obliczonej dodatniej wartości parametru m wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji

g(x) = m · arc sin (1 − 3x) + π

2. [4p.] Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji h(x) = (

√

ax)

cos x

w punkcie o współrzędnej

x

0

=

π

b

, gdzie a = lim

n→∞

ln



n + 2

n − 3



5n

, natomiast b jest równe długości wektora ~

u = [2, 0].

[2p.] b) Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym a

n

=

3

n

n!

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] a) Wyznaczyć ekstrema oraz przedziały, w których funkcja y = xe

−x

jest jednocześnie

rosnąca i wypukła w dół.
[2p.] b) Korzystając z definicji pochodnej wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = cos 2x.

4. [4p.] Obliczyć całki

a)

Z

e

3

√

x

dx

b)

Z



√

x ln x



2

dx

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Obliczyć całkę

Z

cos xdx

5 − 3 cos x

[2p.] b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wyprowadzić wzór na całkę

Z

f

0

(x)dx

q

f (x)

6. [4p.] Obliczyć całkę

Z

(arc cos x)

α

dx,

gdzie α jest równe promieniowi okręgu o równaniu x

2

+ y

2

+ 2x − 4y − 4 = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z rozwinięcia Taylora przedstawić wielomian

W (x) = x

4

− 5x

3

+ x

2

− 3x + 4

w postaci sumy potęg dwumianu x − 4.