Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna I”
WETI, kierunki AiR i IBM, 1 sem., r. ak. 2011/2012
1. [7 p. ] Obliczyć całki nieoznaczone (w punkcie b) zbadać zbieżność)
+ ∞
Z
1
Z
ex + 3
a)
x arc cos
dx
b)
dx
x
e 2 x + 2 ex + 2
0
2. [7 p. ] a) Obliczyć długość łuku krzywej y = ln(2 cos x) między dwoma sąsiednimi punktami przecięcia wykresu tej funkcji z osią OX.
[2 p. ] b) Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla całek nieoznaczonych Z
f 0( x)
wyprowadzić wzór na całkę
dx.
f ( x)
3. [7 p. ] Sprawdzić, czy funkcja z = e−x( x − y)2 spełnia równanie zxx − zyy − 2 zy − z = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
y
1
4. [7 p. ] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g( x, y) =
+
+ y.
x
x
[2 p. ] b) Stosując różniczkę zupełną obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
q
q
ln
4 0 , 98 + 3 1 , 03 − 1
5. [7 p. ] a) Obliczyć całkę 9
3
Z
Z
dy
sin( πx 3) dx
√
0
y
[2 p. ] b) Zdefiniować obszar normalny względem osi OY. Podać przykład takiego obszaru.
6. [7 p. ] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami q
q
z = 4 −
x 2 + y 2
i
z =
x 2 + y 2
Wykonać odpowiedni rysunek.
[2 p. ] b) Wyprowadzić współrzędne biegunowe.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [ dla chętnych] [5 p. ] Wyprowadzić wzór na pole powierzchni sfery o promieniu R.