Egzamin połówkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2009/2010

1. [4p.] Wyznaczyć wartości parametrów m, k ∈ R tak, aby funkcja f (x) była ciągła dla dowolnego

x ∈ R

f (x) =































k −

2

π

· arctg (log

3

|x − 1|)

dla

x < 1

π − |x − 1|

dla

1 ¬ x ¬ 3



1

π



−x

3−x

+ mx

dla

x > 3

Dla obliczonej wartości parametru k wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji

g(x) = arc cos (x − 1) + k

2. [4p.] Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji h(x) = x

√

a sin x

w punkcie o współrzędnej

x

0

= b

2

·

π

2

, gdzie a = lim

n→∞

ln

n

2

n

2

− 1

!

4n

2

, natomiast b jest ujemnym pierwiastkiem równania

x

2

− 2x − 3 = 0.

[2p.] b) Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym a

n

=

2n − 1

n + 2

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] a) Wyznaczyć punkty przegięcia oraz przedziały, w których funkcja y = ln(1 + x

2

) jest

jednocześnie malejąca i wypukła w dół.
[2p.] b) Korzystając z definicji pochodnej wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y =

1

sin x

.

4. [4p.] Obliczyć całki

a)

Z

arcctg

√

x dx

b)

Z

(x ln x)

2

dx

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] a) Obliczyć całkę

Z

sin xdx

1 + cos x + sin x

[2p.] b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wyprowadzić wzór na całkę

Z

f

n

(x)f

0

(x)dx.

6. [4p.] Obliczyć całkę

Z

dx

e

αx

+ e

−αx

,

gdzie α jest równe długości wektora ~

u = [0, 2].

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z rozwinięcia Taylora przedstawić wielomian

W (x) = x

3

− 3x

2

+ x − 2

w postaci sumy potęg dwumianu x + 2.