Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2008/2009

1. [4p.] Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej y =

√

2xe

−x/2

dla

x ∈ h0, +∞) .

2. [4p.] a) Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu A(2, 3, 1) względem płaszczyzny o równaniu

x − y + z − 2 = 0.
[2p.] b)Podać przykłady macierzy A i B wymiaru 4×3 takich, że R(A) = 2 i R(B) = 3 (obliczyć
rzędy tych macierzy).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] W zależności od parametru a podać liczbę rozwiązań układu równań











x + y + z = 6

ax + 4y + z = 5

6x + (a + 2)y + 2z = 13

4. [4p.] a) Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji g(x, y) = 4x

3

− 2x

2

y + y

2

w ob-

szarze ograniczonym krzywą y = x

2

i prostą y = 16.

[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

q

(5, 98)

2

+ (8, 01)

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] Obliczyć całkę podwójną

Z

D

Z

1

y

2

e

x/

√

y

dxdy

gdzie obszar D ograniczony jest wykresami funkcji y = x

2

, y = 4 i x = 1, dla x ­ 1.

6. [4p.] a) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

z = x

2

+ y

2

, x

2

+ y

2

= x, x

2

+ y

2

= 2x i z = 0

dla

x ¬ x

2

+ y

2

¬ 2x

Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych uogólnionych
dowolnego typu.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Sprawdzić, czy funkcja z = cos

2

(y −

x
2

) spełnia równanie różniczkowe

z

xx

+ z

xy

= 0

8. *) [dla bardzo chętnych] [7p.] Obliczyć całkę

Z

D

Z



1

3

√

x+1

+ x



ye

y

dxdy

2[3

3

q

(

π

2

+ 1)

2

+

π

2

4

− 3

3

q

(arc sin y + 1)

2

− (arc sin y)

2

]

gdzie obszar D jest ograniczony krzywą y = sin x i prostymi y = 0, x = 0, x =

π

2

.