Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna I”

WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2011/2012

1. [7p.] Obliczyć całki nieoznaczone (w punkcie b) zbadać zbieżność)

a)

Z

dx

sin x − 2 cos x + 3

b)

0

Z

−∞

xe

x

2

(x

2

+ 1)dx

2. [7p.] a) Obliczyć długość łuku krzywej y =

√

1 − x

2

+ arc cos x dla x ∈ [0,

1
2

].

[2p.] b) Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla całek nieoznaczonych

wyprowadzić wzór na całkę

Z

f

0

(x)

q

f (x)

dx.

3. [7p.] Sprawdzić, czy funkcja z = y ln(x − 3y) spełnia równanie

xz

xx

+ yz

yy

+ z

y

+ 3z

x

=

z

y

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. [7p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = x

2

+ y

2

+

2

xy

.

[2p.] b) Stosując różniczkę zupełną obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

ln



(3, 02)

2

− (1, 9)

3



5. [7p.] a) Obliczyć całkę

2

Z

0

dy

1

Z

y
2

ye

x

3

dx

[2p.] b) Zdefiniować obszar normalny względem osi OX. Podać przykład takiego obszaru.

6. [7p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

z = x

2

+ y

2

− 4

i

z = 2 −

q

x

2

+ y

2

Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić współrzędne biegunowe.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Wyprowadzić wzór na objętość kuli o promieniu R.