pleciuga@o2.pl
1
Dynamika ruchu obrotowego
pleciuga@o2.pl
1
Dynamika ruchu obrotowego
pleciuga@o2.pl
2
Moment siły
Dla ruchu obrotowego wielkość, która jest odpowiednikiem siły w ruchu
postępowym, nazywa się momentem siły lub momentem obrotowym.
Jeżeli siła F działa na pojedynczy punkt
materialny znajdujący się w punkcie P,
którego położenie względem początku 0
inercjalnego układu odniesienia
reprezentuje wektor r, to moment siły
względem początku układu 0 definiujemy
jako:
gdzie r jest ramieniem siły, a
θ
kątem
pomiędzy r i F.
=r× F
lub
=rFsin
pleciuga@o2.pl
3
Moment siły
Kierunek wektora momentu siły jest prostopadły do płaszczyzny
utworzonej przez wektory r i F, a zwrot związany z regułą prawej ręki.
Jeżeli zgięte palce prawej ręki przesuwają wektor r w kierunku wektora F
poprzez mniejszy kąt, to duży palec wskaże zwrot wektora
τ
.
Jednostką momentu siły jest N*m oraz pochodne tej jednostki.
pleciuga@o2.pl
4
Moment pędu
Rozpatrzmy punkt materialny o masie m i pędzie p, którego położenie
względem początku 0 inercjalnego układu odniesienia opisuje wektor r.
Definiujemy moment pędu l punktu
materialnego względem początku 0 układu
odniesienia jako:
l=r×p
lub
l
=rpsin
pleciuga@o2.pl
5
Moment pędu
Podane bez dowodu równanie opisujące związek pomiędzy momentem
siły a momentem pędu ma postać
Równanie to mówi, że
zmiana momentu pędu punktu materialnego w
jednostce czasu jest równa momentowi siły działającej na ten punkt.
Równanie to, jak każde równanie wektorowe, jest równoważne trzem
równaniom skalarnym:
=
l
t
x
=
l
x
t
,
y
=
l
y
t
,
z
=
l
z
t
pleciuga@o2.pl
6
Układy punków materialnych
Aby obliczyć całkowity moment pędu L układu n punktów materialnych
należy dodać wektorowo momenty pędu l wszystkich pojedynczych
materialnych układu względem tego samego punktu.
W miarę upływu czasu całkowity moment pędu L może ulegać zmianie.
Zmiana monentu pędu układu wynika z działania na ten układ sił
zewnętrznych.
Równanie to mówi, iż
zmiana całkowitego pędu układu punktów
materialnych w jednostce czasu względem początku inercjalnego układu
odniesienia jest równa sumie zewnętrznych momentów sił działających na
układ.
L=l
1
l
2
...l
n
=
∑
l
i
zew
=
L
t
pleciuga@o2.pl
7
Energia kinetyczna
Wyobraźmy sobie ciało sztywne obracające się z prędkością kątową
ω
dookoła osi, która jest nieruchoma w wybranym układzie inercjalnym. Każdy
punkt obracającego się ciała ma pewną energię kinetyczną. Punkt materialny o
masie m i odległości r od osi obrotu porusza się po okręgu o promieniu r z
prędkością kątową
ω
dookoła tej osi i ma prędkość liniową v =
ω
r. Całkowita
energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznych wszystkich jego punktów:
K
=
1
2
m
1
r
1
2
m
2
r
2
2
...m
n
r
n
2
2
=
1
2
∑
m
i
r
i
2
2
pleciuga@o2.pl
8
Moment bezwładności
Czynnik
jest sumą iloczynów mas cząstek przez kwadraty ich
odległości od osi obrotu. Jeżeli oznaczymy go przez I:
Wielkość tę nazywamy momentem bezwładności ciała względem wybranej
osi obrotu. Moment bezwładności zależy od wyboru osi obrotu, kształtu
ciała i sposobu rozmieszczenia masy ciała. Mierzymy go w kg*m
2
. Moment
bezwładności jest odpowiednikiem masy w ruchu postępowym.
Po wprowadzeniu wyrażenia na moment bezwładności wzór na energię
kinetyczną obracającego się ciała przyjmie postać:
∑
m
i
r
i
2
I
=
∑
m
i
r
i
2
K
=
1
2
I
2
pleciuga@o2.pl
9
Moment bezwładności-pokaz
pleciuga@o2.pl
10
Momenty
bezwładności
brył
pleciuga@o2.pl
11
Twierdzenie Steinera
Podaje związek pomiędzy momentem
bezwładności ciała względem danej osi
I (punkt P), a jego momentem
bezwładności I
sr.m.
Względem osi
przechodzącej przez środek masy i
równoległej do poprzedniej (punkt C):
gdzie M jest całkowitą masą ciała, a h –
odległością między osiami.
I
=I
sr.m.
Mh
2
,
pleciuga@o2.pl
12
Praca i moc
Wiadomo, że W = Fs. Równoważne równanie opisujące pracę wykonaną w
ruchu obrotowym dookoła nieruchomej osi przyjmuje postać:
Moc jest to zdolność do wykonania pracy w określonym czasie. W ruchu
obrotowym dookoła nieruchomej osi przyjmuje ono postać:
Różniczkując odpowiednio równanie na moc i energię kinetyczną można
otrzymać równoważny powyższemu wzór na moment siły (podany tu bez
wyprowadzenia):
W =
P
=
=I
pleciuga@o2.pl
13
Ruch obrotowy i postępowy
pleciuga@o2.pl
14
Ruch postępowo - obrotowy
Ciało toczące się możemy
traktować jako obracające się
dookoła punktu zetknięcia P.
pleciuga@o2.pl
15
Ruch postępowo - obrotowy
Można powiedzieć, że cylinder z poprzedniego slajdu obraca się dookoła
nieruchomej osi przechodzącej przez punkt P, z pewną prędkością kątową
ω
w
danej chwili, a więc że jest to czysty ruch obrotowy. Energia kinetyczna takiego
ruchu może być zapisana w postaci:
gdzie I
P
jest momentem bezwładności względem osi przechodzącej przez
pewien punkt P. Zastosujmy do tego równania twierdzenie Steinera:
K
=
1
2
I
p
2
I
P
=I
sr.m.
MR
2
K
=
1
2
I
sr.m.
2
1
2
MR
2
2
K
=
1
2
I
sr.m.
2
1
2
Mv
sr.m.
2
pleciuga@o2.pl
16
Ruch postępowo - obrotowy
Równanie
mówi, że ruch ciała złożony z ruchu postępowego środka masy i ruchu
obrotowego względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy
równoważny jest czystemu ruchowi obrotowemu zachodzącemu z tą samą
prędkością kątową dookoła osi przechodzącej przez punkt zetknięcia z
powierzchnią, po której może się ono toczyć bez poślizgu.
K
=
1
2
I
sr.m.
2
1
2
Mv
sr.m.
2
pleciuga@o2.pl
17
Ruch postępowo - obrotowy
Rozpatrzmy ruch obrotowy jako złożony z ruchu postępowego i obrotowego.
Jest to ruch dookoła środka masy C i ruch postępowy środka masy cylindra.
Jeżeli brać pod uwagę tylko ruch postępowy, wszystkie punkty cylindra mają
prędkość środka masy v
sr.m.
. Gdy przyjmiemy, że zachodzi tylko ruch obrotowy,
wtedy środek masy się nie porusza, punkt Q ma prędkość
ω
R, zaś punkt P
prędkość -
ω
R.
pleciuga@o2.pl
18
Ruch postępowo - obrotowy
Po złożeniu ruchu postępowego i obrotowego otrzymamy: