[e-mail]

1

Dynamika ruchu obrotowego

[e-mail]

2

Moment siły

Dla ruchu obrotowego wielkość, która jest odpowiednikiem siły w ruchu

postępowym, nazywa się momentem siły lub momentem obrotowym.

Jeżeli siła F działa na pojedynczy punkt

materialny znajdujący się w punkcie P,

którego położenie względem początku 0

inercjalnego układu odniesienia

reprezentuje wektor r, to moment siły

względem początku układu 0 definiujemy

jako:

gdzie r jest ramieniem siły, a

θ

kątem

pomiędzy r i F.

=r× F

lub

=rFsin

[e-mail]

3

Moment siły

Kierunek wektora momentu siły jest prostopadły do płaszczyzny

utworzonej przez wektory r i F, a zwrot związany z regułą prawej ręki.

Jeżeli zgięte palce prawej ręki przesuwają wektor r w kierunku wektora F

poprzez mniejszy kąt, to duży palec wskaże zwrot wektora

τ

.

Jednostką momentu siły jest N*m oraz pochodne tej jednostki.

[e-mail]

4

Moment pędu

Rozpatrzmy punkt materialny o masie m i pędzie p, którego położenie

względem początku 0 inercjalnego układu odniesienia opisuje wektor r.

Definiujemy moment pędu l punktu

materialnego względem początku 0 układu

odniesienia jako:

l=r×p

lub

l

=rpsin

[e-mail]

5

Moment pędu

Podane bez dowodu równanie opisujące związek pomiędzy momentem

siły a momentem pędu ma postać

Równanie to mówi, że

zmiana momentu pędu punktu materialnego w

jednostce czasu jest równa momentowi siły działającej na ten punkt.

Równanie to, jak każde równanie wektorowe, jest równoważne trzem

równaniom skalarnym:

=

l

t





x

=

 l

x

t

,





y

=

 l

y

 t

,





z

=

 l

z

 t

[e-mail]

6

Układy punków materialnych

Aby obliczyć całkowity moment pędu L układu n punktów materialnych

należy dodać wektorowo momenty pędu l wszystkich pojedynczych

materialnych układu względem tego samego punktu.

W miarę upływu czasu całkowity moment pędu L może ulegać zmianie.

Zmiana monentu pędu układu wynika z działania na ten układ sił

zewnętrznych.

Równanie to mówi, iż

zmiana całkowitego pędu układu punktów

materialnych w jednostce czasu względem początku inercjalnego układu

odniesienia jest równa sumie zewnętrznych momentów sił działających na

układ.

L=l

1

l

2

...l

n

=

∑

l

i





zew

=

 L

 t

[e-mail]

7

Energia kinetyczna

Wyobraźmy sobie ciało sztywne obracające się z prędkością kątową

ω

dookoła osi, która jest nieruchoma w wybranym układzie inercjalnym. Każdy

punkt obracającego się ciała ma pewną energię kinetyczną. Punkt materialny o

masie m i odległości r od osi obrotu porusza się po okręgu o promieniu r z

prędkością kątową

ω

dookoła tej osi i ma prędkość liniową v =

ω

r. Całkowita

energia kinetyczna jest sumą energii kinetycznych wszystkich jego punktów:

K

=

1

2

m

1

r

1

2

m

2

r

2

2

...m

n

r

n

2



2

=

1

2



∑

m

i

r

i

2



2

[e-mail]

8

Moment bezwładności

Czynnik

jest sumą iloczynów mas cząstek przez kwadraty ich

odległości od osi obrotu. Jeżeli oznaczymy go przez I:

Wielkość tę nazywamy momentem bezwładności ciała względem wybranej

osi obrotu. Moment bezwładności zależy od wyboru osi obrotu, kształtu

ciała i sposobu rozmieszczenia masy ciała. Mierzymy go w kg*m

2

. Moment

bezwładności jest odpowiednikiem masy w ruchu postępowym.

Po wprowadzeniu wyrażenia na moment bezwładności wzór na energię

kinetyczną obracającego się ciała przyjmie postać:

∑

m

i

r

i

2

I

=

∑

m

i

r

i

2

K

=

1

2

I



2

[e-mail]

9

Moment bezwładności-pokaz

[e-mail]

10

Momenty

bezwładności

brył

[e-mail]

11

Twierdzenie Steinera

Podaje związek pomiędzy momentem

bezwładności ciała względem danej osi

I (punkt P), a jego momentem

bezwładności I

sr.m.

Względem osi

przechodzącej przez środek masy i

równoległej do poprzedniej (punkt C):

gdzie M jest całkowitą masą ciała, a h –

odległością między osiami.

I

=I

sr.m.

Mh

2

,

[e-mail]

12

Praca i moc

Wiadomo, że W = Fs. Równoważne równanie opisujące pracę wykonaną w

ruchu obrotowym dookoła nieruchomej osi przyjmuje postać:

Moc jest to zdolność do wykonania pracy w określonym czasie. W ruchu

obrotowym dookoła nieruchomej osi przyjmuje ono postać:

Różniczkując odpowiednio równanie na moc i energię kinetyczną można

otrzymać równoważny powyższemu wzór na moment siły (podany tu bez

wyprowadzenia):

W =

P

=

=I 

[e-mail]

13

Ruch obrotowy i postępowy

[e-mail]

14

Ruch postępowo - obrotowy

Ciało toczące się możemy

traktować jako obracające się

dookoła punktu zetknięcia P.

[e-mail]

15

Ruch postępowo - obrotowy

Można powiedzieć, że cylinder z poprzedniego slajdu obraca się dookoła

nieruchomej osi przechodzącej przez punkt P, z pewną prędkością kątową

ω

w

danej chwili, a więc że jest to czysty ruch obrotowy. Energia kinetyczna takiego

ruchu może być zapisana w postaci:

gdzie I

P

jest momentem bezwładności względem osi przechodzącej przez

pewien punkt P. Zastosujmy do tego równania twierdzenie Steinera:

K

=

1

2

I

p



2

I

P

=I

sr.m.

MR

2

K

=

1

2

I

sr.m.



2



1

2

MR

2



2

K

=

1
2

I

sr.m.



2



1
2

Mv

sr.m.

2

[e-mail]

16

Ruch postępowo - obrotowy

Równanie

mówi, że ruch ciała złożony z ruchu postępowego środka masy i ruchu

obrotowego względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy

równoważny jest czystemu ruchowi obrotowemu zachodzącemu z tą samą

prędkością kątową dookoła osi przechodzącej przez punkt zetknięcia z

powierzchnią, po której może się ono toczyć bez poślizgu.

K

=

1

2

I

sr.m.



2



1

2

Mv

sr.m.

2

[e-mail]

17

Ruch postępowo - obrotowy

Rozpatrzmy ruch obrotowy jako złożony z ruchu postępowego i obrotowego.

Jest to ruch dookoła środka masy C i ruch postępowy środka masy cylindra.

Jeżeli brać pod uwagę tylko ruch postępowy, wszystkie punkty cylindra mają

prędkość środka masy v

sr.m.

. Gdy przyjmiemy, że zachodzi tylko ruch obrotowy,

wtedy środek masy się nie porusza, punkt Q ma prędkość

ω

R, zaś punkt P

prędkość -

ω

R.

[e-mail]

18

Ruch postępowo - obrotowy

Po złożeniu ruchu postępowego i obrotowego otrzymamy: