Dynamika ruchu obrotowego ciała sztywnego

• Każde ciało możemy uważać za układ n punktów materialnych, których suma mas równa się całkowitej masie
ciała:

• Ciało doskonale sztywne to takie ciało, w którym odległości między dwoma dowolnymi jego punktami materialnymi nie zmieniają się w trakcie ruchu (dalej nazwiemy je ciałem sztywnym lub bryłą sztywną).

• Rozważmy ruch ciała sztywnego wokół punktu O, zwanego środkiem obrotu ciała. Umieśćmy w tym punkcie początek układu współrzędnych. Niech
oznacza siłę, z jaką k-ty punkt działa na punkt i-ty (siły wewnętrzne) a
wypadkową wszystkich sił zewnętrznych, przyłożonych do punktu i-tego.

Ruch obrotowy ciała sztywnego - c.d.¹

• II zasada dynamiki Newtona dla i-tego punktu:

• Mnożymy powyższe równanie stronami wektorowo przez
:

Pochodną względem czasu z lewej strony równania możemy wyłączyć przed znak iloczynu wektorowego (dlaczego!? - ćwiczenia rachunkowe):

nazywamy momentem pędu (krętem) punktu materialnego i względem osi O.

• Moment siły
względem punktu O:

Ruch obrotowy ciała sztywnego - c.d.²

• Używając opisanej symboliki, możemy zapisać nasze równanie jako:

• Dodajemy stronami równania wszystkich punktów materialnych ciała:

-
to moment pędu ciała względem punktu O.

- to moment główny sił zewnętrznych (wypadkowy)

(dlaczego?! - ćwiczenia rachunkowe)

Ruch obrotowy ciała sztywnego - c.d.³

• Ostatecznie:

Szybkość zmiany momentu pędu ciała obracającego się dookoła nieruchomego punktu równa się wypadkowemu momentowi (względem tego punktu) wszystkich sił zewnętrznych, przyłożonych do ciała - zasada dynamiki ruchu obrotowego ciała zamocowanego w jednym, nieruchomym punkcie.

• Przypomnijmy definicję momentu pędu punktu materialnego:

i porównajmy ją z definicją momentu siły:

czyli: „moment” oznacza (matematycznie) mnożenie lewostronne przez wektor położenia (promień wodzący)
.

Ruch obrotowy ciała sztywnego - c.d.⁴

• Załóżmy teraz, że ciało sztywne umocowane jest w dwóch punktach tak, że może obracać się wokół nieruchomej osi przechodzącej przez te punkty - przyjmijmy, że jest to oś „z”. Wtedy składowe „x” i „y” momentu siły
są zrównoważone przez siły reakcji zamocowania, a obrót wokół osi „z” odbywa się pod działaniem składowej
momentu sił zewnętrznych:

Szybkość zmiany momentu pędu ciała względem nieruchomej osi obrotu równa się wypadkowemu momentowi (względem tej osi) sił zewnętrznych działających na ciało.

Ruch obrotowy ciała sztywnego - c.d.⁵

• Całkowity moment pędu ciała względem osi „z” jest równy sumie momentów pędu każdego punktu materialnego:

wobec tego całkowity moment pędu ciała:

Zasada dynamiki ruchu obrotowego

• Wielkość:

nazywamy momentem bezwładności ciała względem osi „z”.

• W przypadku granicznym ciała „rozciągłego” sumowanie zastępujemy całkowaniem:

• Ostatecznie otrzymujemy związek między momentem pędu ciała i prędkością kątową obrotu:

• Wykorzystanie związku:
pozwala na wyrażenie podstawowej zasady dynamiki ruchu obrotowego:

Zasada dynamiki ruchu obrotowego - c.d.

Przyspieszenie kątowe ciała sztywnego obracającego się wokół nieruchomej osi jest wprost proporcjonalne do wypadkowego momentu (względem tej osi) wszystkich sił zewnętrznych działających na ciało i odwrotnie proporcjonalny do momentu bezwładności ciała względem tej osi.

• Moment bezwładności jest więc miarą bezwładności ciała w ruchu obrotowym (analog masy jako miary bezwładności w ruchu postępowym).

• Przykładowe momenty bezwładności brył:

Ciało	Położenie osi	Moment bezwładności
pusty cienkościenny walec o masie m i promieniu R	oś symetrii
pełny walec (tarcza) o masie m i promieniu R	oś symetrii
kula o masie m i promieniu R	oś symetrii
cienki pręt o masie m i długości L	oś prostopadła do pręta, przechodzi przez jego środek

Twierdzenie Steinera

(Twierdzenie o osiach równoległych)

• Załóżmy, że znamy moment bezwładności ciała względem pewnej osi obrotu, ale ciało obraca się względem innej osi, równoległej do niej:

Moment bezwładności ciała
względem dowolnej osi
równa się momentowi bezwładności
tego ciała względem innej, równoległej do niej osi
, powiększonemu o iloczyn masy tego ciała przez kwadrat odległości między tymi osiami:

Wniosek: Gdy środek masy ciała oddala się od osi obrotu, to moment bezwładności ciała względem tej osi wzrasta.

Zasada zachowania momentu pędu

• Z zasady dynamiki ruchu obrotowego:

wynika wprost:

Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych względem nieruchomego punktu ciała równa się zeru, to moment pędu ciała względem tego punktu nie zmienia się w czasie.

• Można pokazać, że również: moment pędu zamkniętego układu ciał względem dowolnego punktu nieruchomego jest stały.

• Podobnie: jeśli siły zewnętrzne dają moment względem nieruchomej osi równy zeru, to moment pędu ciała względem tej osi nie zmienia się podczas ruchu.

(pokazy: wahadło Oberbecka, żyroskop, stołeczek + hantle, koło rowerowe)

Tensor momentu bezwładności

• Rozważmy obrót ciała o dowolnym kształcie wokół osi przechodzącej przez początek układu współrzędnych.

Prędkość i-tego punktu względem początku układu:

Stąd wyrażenie na moment pędu całego ciała:

Skorzystamy z tożsamości wektorowej:

Podstawiając, otrzymujemy:

Wszystkie punkty mają tę samą prędkość kątową
, możemy więc zapisać powyższe równanie wektorowe jako układ trzech równań dla poszczególnych składowych
(tu tylko dla „x”):

Tensor momentu bezwładności - c.d.¹

• Ponieważ:

otrzymujemy:

(sumowanie po i pominięte dla uproszczenia)

• Podobne równania możemy napisać dla składowych „y” i „z” i ostatecznie równanie, wiążące wektor momentu pędu
z pseudowektorem prędkości kątowej
, przyjmie postać:

• Macierz z prawej strony równania to tensor bezwładności a jego elementy nazywamy współczynnikami bezwładności lub momentami bezwładności.

Tensor momentu bezwładności - c.d.¹

• Wyraz przekątny (tu np. „x”):

jest sumą iloczynów każdej z mas cząstkowych przez kwadrat jej odległości od danej osi (tu „x”), więc możemy go nazwać momentem bezwładności względem tej osi.

• W przypadku ciągłego rozkładu masy z gęstością
współczynniki tensora możemy zapisać w postaci całek, na przykład:

• Tensor bezwładności jest symetryczny, to znaczy:

13

z

O

d

O

O'

i

j

m

---