Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna I”

WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2010/2011

1. [4p.] Obliczyć całki nieoznaczone

a)

Z

1 + sin x

(1 + 2 cos x) sin x

dx

b)

Z

e

−x

arcctg e

x

dx

2. [4p.] a) Obliczyć objętość bryły otrzymanej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograniczonego

krzywą o równaniu

f (x) =















e

−x

,

x < 0

1 −





x

2





, 0 ¬ x ¬ 2

0,

x > 2

oraz prostą y = 0. Wykonać rysunek otrzymanej bryły.
[2p.] b) Opisać (podać wzór i ilustrację graficzną) dwóch wybranych zastosowań geometrycznych
całek oznaczonych nie wymienionych w punkcie a) tego zadania.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [4p.] Sprawdzić, czy funkcja z = e

−x

(x − y)

2

spełnia równanie

z

xx

− z

yy

− 2z

y

− z = 0

4. [4p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = xy ln(x + y).

[2p.] b) Pokazać, że nie istnieje granica funkcji h(x, y) =

(x + y)

2

x

2

+ y

2

w punkcie (0, 0).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [4p.] Obliczyć całkę

Z

D

Z

xdxdy

gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi y =

√

x, y = −x

2

, 5y − 3x = 8, y = x − 2.

Wykonać odpowiedni rysunek.

6. [4p.] a) Za pomocą całki podwójnej obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

z = 6 − x

2

− y

2

i

z =

q

x

2

+ y

2

znajdującej się wewnątrz tych powierzchni.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Narysować obszar całkowania oraz zmienić kolejność całkowania w całce

iterowanej

1

Z

0

dy

1

Z

−2+

√

2y−y

2

f (x, y) dx