Egzamin poprawkowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”

WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2008/2009

1. [7p.] Zbadać ciągłość funkcji. Podać rodzaje punktów nieciągłości, o ile takie punkty istnieją.

f (x) =



















arcctg

x

1−x

dla

x < 1

0

dla

x = 1

2

1

1−x

dla

x > 1

2. [7p.] a) Wyznaczyć asymptoty i ekstrema funkcji g(x) = arctg x +

1

x

.

[2p.] b) Korzystając z definicji wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = x

2

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. [7p.] Obliczyć całki ( w punkcie b) zbadać zbieżność)

a)

Z

xe

−2x

dx

b)

∞

Z

0

arctg x

1 + x

2

dx

4. [7p.] a) Rozwiązać układ równań











x − 2y + 3z = 9
x − y + z = 4
−x − y + 2z = 4

[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. [7p.] a) Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji g(x, y) = x

3

+ y

3

− 3xy + 15.

[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

3

q

(2, 01)

3

+ 117, 1.

6. [7p.] a) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami

x

2

+ y

2

+ z

2

= 2z

(z ­ 1)

i

z =

q

x

2

+ y

2

Wykonać odpowiedni rysunek.
[2p.] b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych biegunowych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [5p.] Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (1, 0, −2) i

równoległej do dwóch wektorów ~

n

1

= [1, 2, 1] i ~

n

2

= [0, 1, −2].