w2 Ciągi Liczbowe, Finanse SGGW, Matematyka


Konspekt wykładu 2 (A.Jóźwikowska)

Ciągi Liczbowe

Funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R 0x01 graphic
nazywamy ciągiem liczbowym (nieskończonym) i oznaczamy 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
.

Ciągi monotoniczne

Ciąg 0x01 graphic
jest

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
.

Ciągi ograniczone

Ciąg 0x01 graphic
jest:

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Otoczeniem liczby g o promieniu 0x01 graphic
0x01 graphic
nazywamy przedział otwarty 0x01 graphic
.

Inaczej :

Otoczeniem liczby g o promieniu 0x01 graphic
0x01 graphic
nazywamy zbiór punktów, których odległość od punktu g jest mniejsza od 0x01 graphic
.

Oznaczenie 0x01 graphic

Otoczeniem plus nieskończoności nazywamy przedział otwarty 0x01 graphic
, gdzie a jest dowolną liczbą.

Otoczeniem minus nieskończoności nazywamy przedział otwarty0x01 graphic
, gdzie a jest dowolną liczbą.

Granica ciągu

Ciąg zbieżny do granicy skończonej

Def 1:

Liczbę g nazywamy granicą ciągu 0x01 graphic
, jeżeli spełniony jest warunek

0x01 graphic
.

dla dowolnej liczby dodatniej 0x01 graphic
istnieje liczba 0x01 graphic
taka, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od 0x01 graphic
różnią się od g mniej niż o 0x01 graphic
.

Zapisujemy

0x01 graphic
lub 0x01 graphic
.

Zwrot „Prawie wszystkie wyrazy ciągu” oznacza wszystkie wyrazu ciągu z wyjątkiem co najwyżej skończenie wielu.

Def 1a:

Liczbę g nazywamy granicą ciągu 0x01 graphic
, jeżeli w dowolnym otoczeniu liczby g leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.

Ciąg, który ma granicę (skończoną) nazywamy zbieżnym.

Zbieżność ciągu oznacza istnienie skończonej granicy tego ciągu.

Ciąg, który nie ma granicy skończonej nazywamy rozbieżnym.

Ciągi rozbieżne

Def 2:

Ciąg 0x01 graphic
nazywamy rozbieżnym do 0x01 graphic
jeżeli

0x01 graphic

dla dowolnej liczby A istnieje liczba 0x01 graphic
taka, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od 0x01 graphic
są większe od liczby A.

Def 3:

Ciąg 0x01 graphic
nazywamy rozbieżnym do 0x01 graphic
, jeżeli

0x01 graphic
0x01 graphic

Zapisujemy

0x01 graphic
lub 0x01 graphic
.

0x01 graphic
lub 0x01 graphic
.

Mówimy, że 0x01 graphic
, (0x01 graphic
) jest granicą niewłaściwą ciągu.

Istnieją ciągi rozbieżne (czyli takie, które nie mają skończonej granicy), które nie są rozbieżne ani do 0x01 graphic
ani do 0x01 graphic
.

Przykład. Ciąg 0x01 graphic
jest rozbieżny.

Rachunek granic skończonych

Tw.

Jeżeli 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to

1. 0x01 graphic

2. 0x01 graphic

3. 0x01 graphic
przy założeniu, że 0x01 graphic
.

Ważniejsze granice

Prawdziwe są poniższe równości:

1. 0x01 graphic

2. 0x01 graphic

3. 0x01 graphic

Tw. 1

Jeśli ciąg jest zbieżny, to ma dokładnie jedną granicę.

Tw. 2

Jeżeli ciąg jest zbieżny, to jest ograniczony.

Wniosek

Ciąg, który nie jest ograniczony jest ciągiem rozbieżnym.

Uwaga! Twierdzenie odwrotne nie zachodzi.

Ciąg ograniczony, może być ciągiem rozbieżnym.

Tw. 3

Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny.

Tw.4 (o trzech ciągach)

Jeżeli 0x01 graphic
oraz dla prawie wszystkich n spełniona jest nierówność 0x01 graphic
to 0x01 graphic
.

Tw.5 ( zachowaniu nierówności słabej przy przejściu do granicy)

Jeżeli 0x01 graphic
i 0x01 graphic
oraz dla prawie wszystkich n spełniona jest nierówność 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Znak granicy i znak wyrazów ciągu

Tw.6

Jeżeli granica ciągu jest liczbą dodatnią (ujemną), to prawie wszystkie wyrazy ciągi są dodatnie (ujemne).

Jeżeli ciąg jest zbieżny i ma nieskończenie wiele wyrazów nieujemnych (niedodatnich), to granica tego ciągu jest liczbą nieujemną (niedodatnią).

Tw.7 (warunek Cauchy'ego zbieżności ciągu)

Ciąg 0x01 graphic
jest zbieżny

0x01 graphic
0x01 graphic

dla dowolnej liczby dodatniej 0x01 graphic
istnieje liczba 0x01 graphic
taka, że wszystkie wyrazy ciągu o wskaźnikach większych od 0x01 graphic
różnią się między sobą mniej niż o 0x01 graphic
.

Liczba Eulera e*2,718281...

Niech 0x01 graphic

Dowodzi się, że ciąg 0x01 graphic
jest rosnący i ograniczony, a więc zbieżny.

Granicę tego ciągu oznaczamy literą e.

0x01 graphic

Można wykazać, że e jest liczbą niewymierną. 0x01 graphic
. Logarytm o podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy symbolem ln.

Tw.

Jeżeli 0x01 graphic

Jeżeli 0x01 graphic

Jeżeli 0x01 graphic
dla 0x01 graphic

Symbole nieoznaczone

0x01 graphic

Mówimy, że ciąg 0x01 graphic
jest ciągiem typu 0x01 graphic
jeżeli jest dany w postaci różnicy dwóch ciągów rozbieżnych do 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

O ciągu 0x01 graphic
nie można niczego orzec bez bliższych informacji o ciągach 0x01 graphic
.

Zbiór liczb rzeczywistych z dołączonymi do niego symbolami 0x01 graphic
i 0x01 graphic
nazywamy rozszerzonym zbiorem liczb rzeczywistych i oznaczamy 0x01 graphic
.

Przyjmujemy:

Jeżeli x jest liczba rzeczywistą

a) 0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

b) Jeżeli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

c) Jeżeli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Rachunek granic nieskończonych

1. Jeżeli 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Symbolicznie: 0x01 graphic
,0x01 graphic
.

2. Jeżeli 0x01 graphic
i wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie (0x01 graphic
), to 0x01 graphic
. Symbolicznie0x01 graphic
.

3. Jeżeli 0x01 graphic
i wszystkie wyrazy ciągu są ujemne (0x01 graphic
), to 0x01 graphic
. Symbolicznie0x01 graphic
.

4a. Jeżeli 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

4b. Jeżeli 0x01 graphic
, 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Symbolicznie0x01 graphic
.

5a Jeżeli 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

0x01 graphic

5b. Jeżeli 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

0x01 graphic

6a. Jeżeli 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

0x01 graphic

6b. Jeżeli 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

0x01 graphic

7. Jeżeli ciąg 0x01 graphic
jest ograniczony i 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Symbolicznie twierdzenie zapisujemy

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

7



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
w2 Ciągi Liczbowe, Finanse SGGW, Matematyka
d2 ciagi iczbowe, Finanse SGGW, Matematyka
d4 ciągi liczbowe 2, Informatyka SGGW, Semestr 2, Analiza, Analiza matematyczna, analiza
pd 8, Finanse SGGW, Matematyka
Ciągi liczbowe - ćwiczenia, Analiza matematyczna
d4, Finanse SGGW, Matematyka
Obliczanie pól za pomocą całki oznaczonej, Finanse SGGW, Matematyka
w10 macierze działania wyznaczniki, Finanse SGGW, Matematyka
w3 granica funkcji , Finanse SGGW, Matematyka
w1, Finanse SGGW, Matematyka
pd 7 macierze, Finanse SGGW, Matematyka
w7, Finanse SGGW, Matematyka
Zadania Ciągi liczbowe Politechnika Poznańska PP, Automatyka i Robotyka, Analiza matematyczna
Analiza matematyczna Wykłady, CIAGI LICZBOWE
Matematyka II (Ćw) Lista 02 Ciągi liczbowe
wyklad 3b, Finanse i Rachunkowość SGGW, Matematyka finansowa
Ciągi liczbowe - zadania powtórzeniowe, edukacja, GIMNAZJUM, matematyka

więcej podobnych podstron