Praca domowa

1. Działania na macierzach

Zadanie 1 Dane są macierze
,
,
.

Wyznaczyć ( o ile jest to możliwe) macierze:

a)
, b)
, c)
, d)
, e)

Zadanie 2 Dane są macierze
,
,
.

Wyznaczyć macierz X z równania
.

Zadanie 3 Dane są macierze
. Podaj jakie warunki powinny spełniać liczby naturalne m, n, k, s aby były określone macierze a)
, b)
c)
.

Zadanie 4

Dane są macierze
,
. Obliczyć iloczyny AB, BA. Zauważ jaki jest wynik mnożenia przez macierz diagonalną A z lewej, a jaki z prawej strony.

Zadanie 5 Obliczyć A² (
) dla
.

Czy prawdziwa jest implikacja
?

Zadanie 6 Obliczyć iloczyn AB dla
,
.

Czy prawdziwa jest implikacja
?

Zadanie 7 Dla macierzy

,
sprawdzić, że

a)
.

Odp: zad.1 a)
, b)
, c) niewykonalne; d)
, e)

Zad.2
.

Zad.3 a)
, b)
, c) Macierz można wyznaczyć zawsze.

Zad.4 a)
; b)
.

Zad.5
.

Zad.6
.

2 Wyznaczniki

Zadanie 1

Oblicz wyznacznik macierzy C rozwijając go a) względem 2-go wiersza, b) 2-ej kolumny

C=
. Odp.
.

Zadanie 2 Obliczyć wyznaczniki korzystając z własności

,
,
,

odp. -85, 48, 30,
.

Zadanie 3 Obliczyć wyznacznik macierzy
dla
,

Czy wiedząc ile wynosi
wiadomo ile wynosi
?

Odp.
, aby obliczyć
należy obliczyć macierz
,
. W tym zadaniu
, nie można stosować tw. Cauchy'ego, macierze A, B są prostokątne.

Zadanie 5 Wykazać, że

Zadanie 6 A, B są macierzami 5-go stopnia, takimi, że
,
.

Obliczyć a)
b)
, c)
.

odp a) -2⁸, b) 1/4 , c) 1/4.

3. Macierz odwrotna, równania macierzowe

Zadanie 1 Wyznaczyć macierze odwrotne korzystając ze wzoru
i wykonać sprawdzenie.

a)
, b)
c)
, d)

Zadanie 2 Wyznaczyć macierz odwrotną do dowolniej nieosobliwej macierzy stopnia drugiego.

(powtórzyć rachunek z wykładu z zamkniętym zeszytem)

Zadanie 3 Wykazać, że macierzą odwrotną do nieosobliwej macierzy diagonalnej
jest macierz
.

( jeśli będzie kłopot z zapisem dla dowolnego n ograniczyć się do
lub
).

Zadanie 4 Wyznaczyć macierz X z równania
,jeśli

Zad. 4:
;
,
,
.

Zadanie 5 Wyznaczyć macierz X z podanych równań jeżeli A, B są odwracalnymi macierzami kwadratowymi tego samego stopnia

a)

, b)
, c)
.

Zad. 5 a)
o ile
jest odwracalna; b)
; c)
.

Zadanie 6 Wykazać, że jeżeli A jest macierzą nieosobliwą i AA=A, to A=I.

Zadanie 7 Wykazać, że jeżeli A jest macierzą nieosobliwą i
, to
lub
.

Zadanie 8 Wykazać, że jeżeli A jest macierzą odwracalną i AB=AC, to B=C.