Praca domowa 4
Obliczanie pochodnych
Zad.1
Niech
. Oblicz z definicji pochodne jednostronne
. Czy istnieje
? Podaj interpretację geometryczną pochodnych jednostronnych.
Zad.2
Obliczyć
. Wykreślić
. Podać dziedziny Df i
.
a)
b)
Zad.3
Niech
.
Dobrać parametry a, b aby funkcja była różniczkowalna na R.
Dla wyznaczonych parametrów wykreślić
.
Zad.4
Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wyznaczyć pochodną funkcji
.
Zad.5
Obliczyć pierwszą pochodną funkcji
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Zad.6
Pokazać, że funkcja
spełnia równanie
.
Zad.7
Obliczyć pochodne
.
Zad.8 reguła H
Obliczyć granice
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
.
Odp: do zadań z pracy domowej 4
Zad.1
.
.
Zad.2 a) funkcja różniczkowalna na R
Zauważ, że
b) funkcja ciągła, ale dla
pochodna nie istnieje
Zad.3 Nie istnieją takie parametry. Funkcja jest ciągła dla b=0, aby wówczas była różniczkowalna w punkcie
pochodne jednostronne powinny być równe, zaś
,
.
Zad.4
. Dlaczego zapis jest poprawny, zwróć uwagę na zakres zmienności x i y.
zad.5
1.
, 2.
, 3.
4.
5.
6.
7.
1 8.
9.
10.
zad.7
zad.8 odp1) 3/2, 2) 0; 3) ½; 4)e-2/* , 5) e2/* , 6) 2; 7) ½; 8) 0; 9)
; 10) 1.
Praca domowa 5, 6
Monotoniczność, ekstrema, wklęsłość, wypukłość, punkty przegięcia
Zad.1 Wykazać, że
a)
.
b)
dla
zad.2 Wykazać następującą tożsamość
a)
dla
Zad.3 Wykazać, że funkcja f nie ma ekstremum a)
b)
.
Zad.4 Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji
a)
, b)
, c)
, d)
.
Zad.5 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f w podanym przedziale
a)
w przedziale
; b)
w przedziale
.
Zad.6 Wyznaczyć punkty przegięcia funkcji
a)
, b)
.
Zad.7 Wyznaczyć przedziały, w których funkcja
rośnie coraz szybciej.
Zad.8 Wyznaczyć przedziały, w których funkcja
maleje coraz wolniej.
Zad.9 Wyznaczyć przedziały, w których funkcja
jest wypukła.
Zad.10 Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji
.
Zad.11 Zbadać przebieg zmienności funkcji, naszkicować wykresy.
a)
; b)
; c)
; d)
; e)
;
f)
; g)
; h)
;
i)
szczególny przypadek dla
funkcji
(funkcja gęstości rozkładu normalnego, (krzywa Gaussa), obowiązkowo zapamiętać własności tej funkcji)
Odpowiedzi, wskazówki do pracy domowej 5, 6
zad.1
Rozważyć funkcję
, dla
funkcja ta osiąga minimum i jest to najmniejsza wartość funkcji f na R.
zad. 2 Rozważyć funkcję a)
.
zad.3 a)
, funkcja malejąca w R.
b)
, funkcja rosnąca w przedziale
oraz
.
Zad.4 a)
;
b)
,
c)
d)
[
oblicz pochodne jednostronne dla
]
funkcja rosnąca, brak ekstremów lokalnych
zad.5
a)
b)
zad.6 a)
b)
zad. 7
. Zad.8
,
zad.9
zad.10 asymptota ukośna obustronna
, asymptota pionowa prawostronna
zad.11
a)
,
b)
,
c)
,
d)
e)
f)
,
g)
;
,
h)
,
,
,
,
i)