Praca domowa 4

Obliczanie pochodnych

Zad.1

Niech
. Oblicz z definicji pochodne jednostronne
. Czy istnieje
? Podaj interpretację geometryczną pochodnych jednostronnych.

Zad.2

Obliczyć
. Wykreślić
. Podać dziedziny D_f i
.

a)
b)

Zad.3

Niech
.

Dobrać parametry a, b aby funkcja była różniczkowalna na R.

Dla wyznaczonych parametrów wykreślić
.

Zad.4

Korzystając z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej wyznaczyć pochodną funkcji
.

Zad.5

Obliczyć pierwszą pochodną funkcji

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

Zad.6

Pokazać, że funkcja
spełnia równanie
.

Zad.7

Obliczyć pochodne

.

Zad.8 reguła H

Obliczyć granice

1)
2)
3)
4)
5)

6)
7)
8)

9)
10)
.

Odp: do zadań z pracy domowej 4

Zad.1
.
.

Zad.2 a) funkcja różniczkowalna na R

Zauważ, że

b) funkcja ciągła, ale dla
pochodna nie istnieje

Zad.3 Nie istnieją takie parametry. Funkcja jest ciągła dla b=0, aby wówczas była różniczkowalna w punkcie
pochodne jednostronne powinny być równe, zaś
,
.

Zad.4
. Dlaczego zapis jest poprawny, zwróć uwagę na zakres zmienności x i y.

zad.5

1.
, 2.
, 3.

4.
5.
6.

7.
1 8.
9.

10.

zad.7

zad.8 odp1) 3/2, 2) 0; 3) ½; 4)e^-2/* , 5) e^2/* , 6) 2; 7) ½; 8) 0; 9)
; 10) 1.

Praca domowa 5, 6

Monotoniczność, ekstrema, wklęsłość, wypukłość, punkty przegięcia

Zad.1 Wykazać, że

a)
.

b)
dla

zad.2 Wykazać następującą tożsamość

a)
dla

Zad.3 Wykazać, że funkcja f nie ma ekstremum a)
b)
.

Zad.4 Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji

a)
, b)
, c)
, d)
.

Zad.5 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f w podanym przedziale

a)
w przedziale
; b)
w przedziale
.

Zad.6 Wyznaczyć punkty przegięcia funkcji

a)
, b)
.

Zad.7 Wyznaczyć przedziały, w których funkcja
rośnie coraz szybciej.

Zad.8 Wyznaczyć przedziały, w których funkcja
maleje coraz wolniej.

Zad.9 Wyznaczyć przedziały, w których funkcja
jest wypukła.

Zad.10 Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji
.

Zad.11 Zbadać przebieg zmienności funkcji, naszkicować wykresy.

a)
; b)
; c)
; d)
; e)
;

f)
; g)
; h)
;

i)
szczególny przypadek dla
funkcji

(funkcja gęstości rozkładu normalnego, (krzywa Gaussa), obowiązkowo zapamiętać własności tej funkcji)

Odpowiedzi, wskazówki do pracy domowej 5, 6

zad.1

Rozważyć funkcję

, dla
funkcja ta osiąga minimum i jest to najmniejsza wartość funkcji f na R.

zad. 2 Rozważyć funkcję a)
.

zad.3 a)
, funkcja malejąca w R.

b)
, funkcja rosnąca w przedziale
oraz
.

Zad.4 a)
;

b)
,

c)

d)
[
oblicz pochodne jednostronne dla
]

funkcja rosnąca, brak ekstremów lokalnych

zad.5

a)

b)

zad.6 a)

b)

zad. 7
. Zad.8
,
zad.9

zad.10 asymptota ukośna obustronna
, asymptota pionowa prawostronna

zad.11

a)
,

b)
,

c)
,

d)

e)

f)
,

g)
;
,

h)
,

,
,
,

i)