1
CI
Ą
GI LICZBOWE
Na ogół przyjmuje si
ę
,
Ŝ
e zbiorem liczb naturalnych jest zbiór
IN = {1, 2, 3, ...}
Niekiedy (w pewnych teoriach) przyjmuje si
ę
za zbiór liczb
naturalnych zbiór {0,1, 2, 3, ...}.
1. Okre
ś
lenia i przykłady
Ci
ą
giem
nazywamy funkcj
ę
a: D
∋
n
→
a(n)
∈
Y,
gdzie D
⊂
IN jest podzbiorem liczb naturalnych, za
ś
Y mo
Ŝ
e by
ć
dowolnym zbiorem.
a(n) – nazywamy n-tym wyrazem ci
ą
gu i oznaczamy przez a
n
.
Ci
ą
g a o wyrazach a
n
oznaczamy przez (a
n
)
n
∈
D
lub (a
n
).
Je
Ŝ
eli zbiór warto
ś
ci ci
ą
gu (zbiór jego elementów) jest podzbiorem
liczb rzeczywistych R, to taki ci
ą
g nazywamy
ci
ą
giem liczbowym
.
Przykład 1.
Ci
ą
gami liczbowymi s
ą
np. ci
ą
gi:
(a
n
) n
→
a
n
=
)
5
(
)
3
(
1
−
−
+
n
n
n
;
(b
n
) n
→
b
n
= (-1)
n
n
1
;
(c
n
) n
→
c
n
=
)
4
(
2
−
n
n
.
Ci
ą
gi te s
ą
funkcjami okre
ś
lanymi w zbiorach
D
1
= IN-{3,5}, D
2
= IN, D3=IN-{4}
2
Przykład 2.
Niech Y b
ę
dzie zbiorem wszystkich przedziałów jako
podzbiorów liczb R.
Funkcja
f: IN
∋
n
→
f(n) = f
n
=[-1, 1 + n]
∈
Y
jest ci
ą
giem (f
n
), ale nie jest ci
ą
giem liczbowym. Wyrazy tego ci
ą
gu
s
ą
przedziałami.
Przykład 3.
Niech Y = RxR = R
2
. Niech p=(x,y)
∈
R
2
. We
ź
my pod
uwag
ę
funkcj
ę
IN
∋
n
→
p
n
= (x
n
,y
n
)
∈
R
2
Ci
ą
g (p
n
) jest ci
ą
giem punktów przestrzeni R
2
, ale nie jest ci
ą
giem
liczbowym.
Przykładami ci
ą
gów punktów przestrzeni R
2
mog
ą
by
ć
np.:
p
n
= (x
n
,y
n
) = (-
n
1
,
n
1
); q
n
= (x
n
,y
n
) = (3+
n
1
,7);
r
n
= (x
n
,y
n
) = (-2n,3n).
2. Ci
ą
gi ograniczone
Ci
ą
g (a
n
) nazywamy
ograniczonym z dołu (z góry)
wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieje liczba m
∈
R taka,
Ŝ
e dla ka
Ŝ
dego n spełniony
jest warunek
m
≤
a
n
(a
n
≤
m)
Ci
ą
g (a
n
) nazywamy
ograniczonym
wtedy i tylko wtedy, gdy istniej
ą
liczby m
∈
R oraz M
∈
R takie,
Ŝ
e dla ka
Ŝ
dego n
m
≤
a
n
≤
M,
tzn. gdy ci
ą
g (a
n
) jest ograniczony z dołu i jest ograniczony z góry.
3
Ć
wiczenie 1.
Wykaza
ć
,
Ŝ
e ci
ą
gi o wyrazach
1.1) a
n
= 5+3
n
, b
n
= n
2
- 2 s
ą
ograniczone z dołu;
1.2) c
n
= -3n +7, d
n
= 1-n
2
s
ą
ograniczone z góry;
1.3) e
n
= (-1)
n
n
1
, f
n
=
1
1
+
n
;
1.4) g
n
= (-1)
n
n, h
n
= (-1)
n
4
n
nie s
ą
ograniczone.
3. Ci
ą
gi monotoniczne
Ci
ą
g liczbowy (a
n
), okre
ś
lany na całym zbiorze liczb naturalnych IN
nazywamy:
•
rosn
ą
cym
a
n+1
- a
n
> 0 dla ka
Ŝ
dego n
∈
N
•
niemalej
ą
cym
a
n+1
- a
n
≥
0 dla ka
Ŝ
dego n
∈
N
•
malej
ą
cym
a
n+1
- a
n
< 0 dla ka
Ŝ
dego n
∈
N
•
nierosn
ą
cym
a
n+1
- a
n
≤
0 dla ka
Ŝ
dego n
∈
N
•
stałym
a
n+1
- a
n
= 0 dla ka
Ŝ
dego n
∈
N
Uwaga!.
Je
Ŝ
eli ci
ą
g (a
n
) jest okre
ś
lony w zbiorze D
⊂
IN, to do
badania monotoniczno
ś
ci ci
ą
gu trzeba stosowa
ć
definicj
ę
funkcji
monotonicznych (rosn
ą
cej, niemalej
ą
cej, malej
ą
cej, nierosn
ą
cej,
stałej) do ci
ą
gu (a
n
) jako funkcji
a: D
∋
n
→
y = a(n) = a
n
∈
R
Ć
wiczenie 2.
Sprawdzi
ć
monotoniczno
ść
ci
ą
gu o wyrazach
2.1) a
n
=5+ 3
n
;
b
n
=-3n + 7;
2.2) c
n
=
1
1
+
n
;
d
n
= (-1)
n
n;
2.3) e
n
=
3
2
+
n
;
f
n
= n-n
2
.
4
Ć
wiczenie 3.
Zbada
ć
monotoniczno
ść
ci
ą
gów o wyrazach:
3.1) a
n
= a
1
+(n-1)r, gdy r < 0 oraz r > 0;
3.2) a
n
= a
1
q
n-1
,
gdy:
1) a
1
< 0 i q < 0; 2) a
1
< 0 i q > 0;
3) a
1
> 0 i q > 0;
4) a
1
> 0 i q < 0.
4. Działania na ci
ą
gach liczbowych
Niech b
ę
d
ą
dane ci
ą
gi
(a
n
) dla n
∈
D
1
⊂
IN oraz (b
n
) dla n
∈
D
2
⊂
IN
Sum
ą
ci
ą
gów
(a
n
) i (b
n
) nazywamy ci
ą
g (a
n
) + (b
n
) = (a
n
– b
n
)
dla n
∈
D
1
∩
D
2
.
Ró
Ŝ
nic
ą
ci
ą
gów
(a
n
) i (b
n
) nazywamy ci
ą
g (a
n
) – (b
n
) dla n
∈
D
1
∩
D
2
.
Iloczynem ci
ą
gów
(a
n
) i (b
n
) nazywamy ci
ą
g (a
n
).(b
n
) = (a
n
b
n
)
dla n
∈
D
1
∩
D
2
.
Ilorazem ci
ą
gów
(a
n
) i (b
n
) nazywamy ci
ą
g (a
n
):(b
n
) = (
n
n
b
a
)
dla n
∈
D
1
∩
D
2
– {n
∈
D
2
: b
n
= 0}.
Ć
wiczenie 4.
4.1) Dane s
ą
ci
ą
gi
(a
n
) = (
3
1
−
n
); (b
n
) = (
1
1
2
−
+
n
n
)
Wyznaczy
ć
ich dziedziny D
1
i D
2
oraz ci
ą
gi
1) (a
n
)+(b
n
);
2) (a
n
)–(b
n
);
2) (a
n
).(b
n
);
4) (a
n
):(b
n
).
5
4.2) Dane s
ą
ci
ą
gi
(a
n
) = (
2
2
+
−
n
n
);
(b
n
) = (2
n
);
(cn) = ((-1)
n
n)
Wyznaczy
ć
ci
ą
gi
1) (1) : (a
n
);
2) (1) : (b
n
);
3) (1) : (c
n
).
5. Ci
ą
gi sko
ń
czone
Niech b
ę
dzie dany ci
ą
g a: D
∋
n
→
a
n
∈
Y
⊂
R.
Je
Ŝ
eli zbiór D jest zbiorem sko
ń
czonym, to ci
ą
g (a
n
) nazywamy
ci
ą
giem sko
ń
czonym
.
W zastosowaniach przyjmuje si
ę
D = {1,2,..., n} lub D = {0,1,..., n}.
Ci
ą
gami sko
ń
czonymi s
ą
m.in.:
•
para uporz
ą
dkowana
(ci
ą
g dwuelementowy)
(a
1
, a
2
)
•
trójka uporz
ą
dkowana
(ci
ą
g trójelementowy)
(a
1
, a
2
, a
3
)
•
n–tka uporz
ą
dkowana
(ci
ą
g n-elementowy)
(a
1
, a
2
, ..., a
n
)
6. Ci
ą
gi warto
ś
ci funkcji
Niech b
ę
dzie dana funkcja f: A
∋
x
→
y = f(x)
∈
R, A
⊂
R.
Przyjmuj
ą
c ci
ą
g liczbowy (x
n
) taki,
Ŝ
e dla ka
Ŝ
dego n
∈
N x
n
∈
A.
Wtedy mo
Ŝ
emy wyznaczy
ć
ci
ą
g (f(x
n
)) o wyrazach f(x
n
).
Ci
ą
g (f(x
n
)) nazywamy
ci
ą
giem warto
ś
ci
funkcji f.
6
Przykład 6.1.
Niech b
ę
dzie dana funkcja
f: R
∋
x
→
y = f(x) = 2x – 1 oraz ci
ą
g liczbowy (x
n
) = (1 -
n
1
).
Wtedy otrzymujemy ci
ą
g warto
ś
ci funkcji (f(x
n
)), gdzie
f(x
n
)= 2x
n
– 1 = 2(1 -
n
1
) – 1 = 2 -
n
2
- 1 = 1 -
n
2
.
Zatem (f(x
n
)) = (1 -
n
2
).
Przykład 6.2.
We
ź
my pod uwag
ę
funkcj
ę
g: [a,b]
∋
x
→
y = g(x)
∈
R.
Dziel
ą
c przedział [a,b] na n cz
ęś
ci otrzymujemy h =
n
a
b
−
.
Przyjmuj
ą
c ci
ą
g sko
ń
czony (x
0
, x
1
, x
2
,..., x
n
) taki,
Ŝ
e x
0
= a,
x
i
= x
0
+ ih dla i = 1,2,..., n, mo
Ŝ
emy wyznaczy
ć
ci
ą
g warto
ś
ci funkcji
g (g(x
i
)) dla i = 0, 1, 2, ..., n, gdzie g(x
c
) = g(a), za
ś
g(x
n
) = g(b).
Ć
wiczenie 6.1.
Dane s
ą
funkcje
1) x
→
y = f(x) =
2
1
x
;
2) x
→
y = g(x) =
1
2
3
+
−
x
x
3) x
→
y = h(x) =
1
−
x
.
Wyznaczy
ć
ci
ą
gi warto
ś
ci tych funkcji (o ile istniej
ą
) dla
a) x
n
= (-1)
n
n;
b) x
n
=
n
1
;
c) x
n
= 3
n
−
.
7
7. Sumy niealgebraiczne
We
ź
my pod uwag
ę
ci
ą
g sko
ń
czony (a
1
, a
2
,..,a
n
).
Mo
Ŝ
emy wyznacza
ć
sumy wyrazów tego ci
ą
gu
s
2
= a
1
+ a
2
=
∑
=
2
1
i
i
a
, s
3
= a
1
+ a
2
+ a
3
=
∑
=
3
1
i
i
a
,
s
n
= a
1
+ a
2
+ ... + a
n
=
∑
=
n
i
i
a
1
.
Przyjmuj
ą
c ponadto s
1
= a
1
mo
Ŝ
emy uwzgl
ę
dnia
ć
ci
ą
g (s
n
) sum
cz
ęś
ciowych ci
ą
gu (a
1
, a
2
,..., a
n
).
Niech b
ę
dzie dany ci
ą
g (a
n
) dla n
∈
IN, tzn. (a
1
, a
2
, ...) ci
ą
g liczbowy
niesko
ń
czony.
Mo
Ŝ
emy wyznacza
ć
sumy cz
ęś
ciowe
s
1
= a
1,
s
2
= a
1
+ a
2
=
∑
=
2
1
i
i
a
, s
3
= a
1
+ a
2
+ a
3
=
∑
=
3
1
i
i
a
,
s
n
= a
1
+ a
2
+ ...+ a
n
=
∑
=
n
i
i
a
1
Sum
ę
wszystkich wyrazów ci
ą
gu niesko
ń
czonego (a
n
) zapisujemy
symbolicznie
s = a
1
+ a
2
+ ... =
∑
∞
=
1
i
i
a
Taka suma jest
sum
ą
niealgebraiczn
ą
(wykorzystuje si
ę
w niej
niesko
ń
czenie wiele składników).
Symbol (zapis)
∑
∞
=
1
i
i
a
mo
Ŝ
e oznacza
ć
liczb
ę
, ale mo
Ŝ
e nie istnie
ć
taka liczba.
8
Je
Ŝ
eli we
ź
miemy ci
ą
g (a
n
) = (
1
2
1
−
n
), to
s = a
1
+ a
2
+ ... = 1 +
2
1
+
4
1
+
8
1
+ ... = 2
Zatem
∑
∞
=
1
i
1
2
1
−
n
= 2.
Je
Ŝ
eli b
ę
dzie dany ci
ą
g (b
n
) = (1) to
s = b
1
+ b
2
+ ... = 1 + 1 ...
Nie istnieje liczba, która byłaby sum
ą
niesko
ń
czenie wielu liczb
równych 1.
Sum
ę
s mo
Ŝ
emy zapisa
ć
∑
∞
=
1
i
i
b
=
∑
∞
=
1
1
i
,
ale tej sumie nie odpowiada
Ŝ
adna liczba.
Dla ci
ą
gu niesko
ń
czonego (a
n
), n
∈
IN, ci
ą
g jego sum cz
ęś
ciowych
(s
n
), gdzie
s
n
=
∑
∞
=
1
i
i
a
nazywamy
szeregiem liczbowym
o wyrazach a
n
.
9
CI
Ą
GI LICZBOWE
Zestaw
ć
wicze
ń
1. Dane s
ą
ci
ą
gi: (a
n
) = (3 +
1
1
+
−
n
n
), (b
n
) = ((-1)
n
*
n
1
), (c
n
) = (1-3
n
),
(d
n
) = (2
n
+ 5n).
Sprawd
ź
, które z tych ci
ą
gów s
ą
: 1.1) monotoniczne, 1.2)
ograniczone z góry, 1.3) ograniczone z dołu, 1.4) ograniczone ?
2. Dane s
ą
ci
ą
gi: (a
n
) =
n
1
, (b
n
) = (2n – 1), (c
n
) =
−
+
1
1
n
n
.
Wyznaczy
ć
ci
ą
gi:
n
a
1
,
n
b
1
,
n
c
1
.
Zbada
ć
monotoniczno
ść
i ograniczono
ść
ci
ą
gów danych oraz
ci
ą
gów wyznaczonych.
3. Dane s
ą
: 1.1) a
1
oraz d, 1.2) a
1
oraz q. Wyznaczy
ć
rozwi
ą
zania równa
ń
:
1.1) a
n+1
– a
n
= d, 1.2) a
n
= q * a
n-1
.
4. Dana jest funkcja:
4.1) f(x) = -3x + 1,
4.2) g(x) = x
2
,
4.3) h(x) =
n
1
,
4.4) k(x) =
+
−
1
1
x
x
oraz ci
ą
gi:
1) x
n
=
n
2
,
2) y
n
= -5
n
,
3) z
n
= (-1)
n
* n.
Wyznaczy
ć
ci
ą
gi warto
ś
ci funkcji
f(x
n
), f(y
n
), f(z
n
);
g(x
n
), g(y
n
), g(z
n
);
h(x
n
), h(y
n
), h(z
n
);
k(x
n
), k(y
n
), k(z
n
).
10
5. Sprawd
ź
,
Ŝ
e rozwi
ą
zaniem równania:
5.1) y
n+1
– 3y
n
= 0 jest ci
ą
g y
n
= A * 3
n
;
5.2) y
n+1
+ 2y
n
= 0 jest ci
ą
g y
n
= A * (-2)
n
;
5.3) y
n+1
+ 4y
n
= 0 z warunkiem y
1
= -10 jest ci
ą
g y
n
= 2,5 * (-4)
n
.
Uwaga.
A = const.
6. Sprawd
ź
,
Ŝ
e rozwi
ą
zaniem równania:
6.1) y
n+2
– y
n+1
– 6y
n
= 0 jest ci
ą
g y
n
= A * 2
n
– B * 3
n
,
6.2) y
n+2
– y
n+1
– 5y
n
= 0 jest ci
ą
g y
n
= A + b * 5
n
,
6.3) y
n+2
– 4y
n+1
+ 4y
n
= 0 jest ci
ą
g y
n
= (A +B
n
) * 2
n
,
gdzie A = const. oraz B = const.
Uwaga.
Równanie ró
Ŝ
nicowe rz
ę
du 2-go liniowe o współczynnikach stałych
ma posta
ć
:
a * y
n+2
+ b * y
n+1
+ c * y
n
= 0.
Równaniem charakterystycznym dla tego typu równania jest
równanie:
a *
λ
2
+ b *
λ
+ c = 0.
Wyznaczy
ć
rozwi
ą
zania równa
ń
charakterystycznych dla równa
ń
:
6.1), 6.2), 6.3).
11
GRANICE CI
Ą
GÓW LICZBOWYCH
1. Otoczenia
W zbiorze liczb rzeczywistych R otoczeniem liczby g o promieniu
ε
> 0 nazywamy zbiór (przedział)
Ot(g ;
ε
) = {x
∈
R; Ix – gI <
ε
} = (g -
ε
, g +
ε
).
W zbiorze liczb uogólnionych R = R
∪
{-
∞
, +
∞
} mo
Ŝ
emy ponadto
uwzgl
ę
dni
ć
otoczenia dla -
∞
oraz +
∞
.
Otoczeniem liczby -
∞
o promieniu b < 0 nazywamy zbiór
(przedział)
Ot(-
∞
, b) = {x
∈
R; x < b} = {-
∞
, b}.
Otoczeniem liczby +
∞
o promieniu a > 0 nazywamy zbiór
(przedział)
Ot(+
∞
, a) = {x
∈
R; x > a} = {a, +
∞
}.
2. Definicje granicy sko
ń
czonej ci
ą
gu
Definicja Heinego
Mówimy,
Ŝ
e liczba g jest granic ci
ą
gu (a
n
) lub
Ŝ
e ci
ą
g (a
n
)
zmierza do granicy g, je
Ŝ
eli w ka
Ŝ
dym otoczeniu liczby g znajduj
ą
si
ę
prawie wszystkie wyrazy ci
ą
gu.
Termin prawie wszystkie oznacza wszystkie, z wyj
ą
tkiem
sko
ń
czonej liczby wyrazów.
Definicja Cauchy’ego
Mówimy,
Ŝ
e liczba g jest granic
ą
ci
ą
gu (a
n
) lub te
Ŝ
ci
ą
g (a
n
)
zmierza do granicy g, je
Ŝ
eli dla ka
Ŝ
dej, dowolnie małej liczby
ε
> 0
istnieje taki wska
ź
nik ci
ą
gu N(
ε
),
Ŝ
e dla wszystkich dalszych
12
wyrazów, tzn. dla wyrazów o wska
ź
nikach n > N(
ε
), zachodzi
nierówno
ść
Ia
n
– gI <
ε
.
Granic
ę
ci
ą
gu (a
n
) oznaczamy
n
n
a
∞
→
lim
(czyt.: limes a
n
przy n
zmierzaj
ą
cym do niesko
ń
czono
ś
ci).
Definicj
ę
Cauchy’ego granicy ci
ą
gu mo
Ŝ
emy zapisa
ć
symbolicznie w
sposób nast
ę
puj
ą
cy
(
)
g
a
n
n
=
∞
→
lim
⇔
(n > N(
ε
)
⇒
Ia
n
– gI <
ε
)
Stosujemy m. in. nast
ę
puj
ą
ce oznaczenia:
n
n
a
∞
→
lim
= g
(czyt.: granic
ą
ci
ą
gu (a
n
) jest liczba g; ci
ą
g (a
n
) ma granic
ę
g),
a
n
→
g
(czyt.: ci
ą
g zmierza do granicy g; ci
ą
g (a
n
) jest zbie
Ŝ
ny do g).
Przykład 2.1.
We
ź
my pod uwag
ę
ci
ą
g (a
n
) =
n
1
. Granic
ą
tego ci
ą
gu jest liczba
g = 0, bo dla dowolnego
ε
> 0 b
ę
dzie Ia
n
– 0I =
0
1
−
n
<
ε
dla n> N(
ε
).
St
ą
d otrzymujemy
n
1
<
ε
oraz n >
ε
1
.
Oznaczaj
ą
c przez N(
ε
) liczb
ę
naturaln
ą
bezpo
ś
rednio wi
ę
ksz
ą
od
ε
1
mamy,
Ŝ
e dla ka
Ŝ
dego
ε
> 0 istnieje N(
ε
)
≥
ε
1
takie,
Ŝ
e n > N(
ε
)
⇒
0
1
−
n
<
ε
.
Przyjmuj
ą
c np.
ε
= 0,01 otrzymujemy N(
ε
) = 101. Dla np.
ε
= 0,0001
b
ę
dzie N(
ε
) = 1001.
13
Ć
wiczenie 2.1.
Pokaza
ć
,
Ŝ
e ci
ą
g o wyrazach:
1)
)
1
(
+
=
n
n
a
n
ma granic
ę
a = 1;
2)
n
n
b
n
2
4
1
3
+
−
=
ma granic
ę
b =
2
3
;
3)
n
c
n
n
1
)
1
(
∗
−
=
ma granic
ę
c = 0.
Ci
ą
g, który ma granic
ę
nazywamy ci
ą
giem zbie
Ŝ
nym. Ci
ą
g który nie
ma granicy nazywamy ci
ą
giem rozbie
Ŝ
nym.
Przykład 2.2.
Ci
ą
gi o wyrazach
a
n
= (-1)
n
(-1, 1, -1, 1, -1, ...);
b
n
= 4 + (-1)
n
*n (3, 6, 1, 8, -1, 10, -3, ...) nie maj
ą
granic, a wi
ę
c
s
ą
ci
ą
gami rozbie
Ŝ
nymi.
Twierdzenie 2.1.
Ci
ą
g zbie
Ŝ
ny nie mo
Ŝ
e mie
ć
dwóch ró
Ŝ
nych granic.
Twierdzenie 2.2.
Ka
Ŝ
dy ci
ą
g zbie
Ŝ
ny jest ci
ą
giem ograniczonym.
Twierdzenie 2.3.
Ka
Ŝ
dy ci
ą
g rosn
ą
cy i ograniczony od góry (malej
ą
cy i ograniczony
od dołu) ma granic
ę
, czyli jest zbie
Ŝ
ny.
14
3. Działania na ci
ą
gach (twierdzenia o granicach ci
ą
gów)
Prawdziwe s
ą
nast
ę
puj
ą
ce twierdzenia.
Twierdzenie 3.1.
Je
Ŝ
eli
n
n
a
∞
→
lim
= a oraz
n
n
b
∞
→
lim
= b, to
(
)
n
n
n
b
a
+
∞
→
lim
= a + b,
(
)
n
n
n
b
a
−
∞
→
lim
=
a – b.
Twierdzenie 3.2.
Je
Ŝ
eli
n
n
a
∞
→
lim
= a,
n
n
b
∞
→
lim
= b i
λ
oraz
µ
s
ą
liczbami stałymi, to
(
)
n
n
n
b
a
∗
+
∗
∞
→
µ
λ
lim
=
λ
* a +
µ
* b.
Twierdzenie 3.3.
Je
Ŝ
eli
n
n
a
∞
→
lim
= a,
n
n
b
∞
→
lim
= b, to
(
)
n
n
n
b
a
∗
∞
→
lim
= a * b.
Twierdzenie 3.4.
Je
Ŝ
eli ci
ą
g (a
n
) jest ograniczony, za
ś
n
n
b
∞
→
lim
= 0, to
(
)
n
n
n
b
a
∗
∞
→
lim
= 0.
Twierdzenie 3.5.
Je
Ŝ
eli
n
n
a
∞
→
lim
= a,
n
n
b
∞
→
lim
= b, i ponadto b
n
≠
0 dla ka
Ŝ
dego n oraz b
≠
0,
to
(
)
n
n
n
b
a :
lim
∞
→
= a : b.
Przykład 3.1.
2
)
1
3
)(
1
2
(
lim
n
n
n
n
−
+
∞
→
=
−
∗
+
∞
→
n
n
n
n
n
1
3
1
2
lim
=
n
n
n
1
2
lim
+
∞
→
*
n
n
n
1
3
lim
−
∞
→
=
+
∞
→
n
n
1
2
lim
*
−
∞
→
n
n
1
3
lim
= 2 * 3 = 6.
15
Ć
wiczenie 3.1.
Zastosowa
ć
powy
Ŝ
sze twierdzenie do wyznaczenia granicy ci
ą
gu
...
5
2
2
3
lim
5
2
2
3
lim
=
+
−
=
+
−
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
...
)
2
)(
2
(
)
3
)(
2
(
lim
4
6
5
lim
2
2
=
+
−
−
−
=
−
+
−
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
n
n
n
...
6
5
4
3
lim
2
2
=
+
+
−
−
∞
→
n
n
n
n
n
4. Pewne twierdzenia o granicach ci
ą
gów
Twierdzenie 4.1.
Je
Ŝ
eli dal ci
ą
gów (a
n
), (b
n
), (c
n
) spełnione s
ą
warunki
1) a
n
≤
b
n
≤
c
n
dla ka
Ŝ
dego n lub a
n
< b
n
< c
n
dla ka
Ŝ
dego n;
2)
n
n
a
∞
→
lim
=
n
n
c
∞
→
lim
= g, to
n
n
b
∞
→
lim
= g.
Twierdzenie 4.2.
Je
Ŝ
eli a > 0, to
n
n
a
∞
→
lim
= 1.
Twierdzenie 4.3.
n
n
n
∞
→
lim
= 1.
Twierdzenie 4.4.
Ci
ą
g o wyrazach
n
n
+
1
1
jest rosn
ą
cy i ograniczony od góry, a wi
ę
c
jest ci
ą
giem zbie
Ŝ
nym.
n
n
n
+
∞
→
1
1
lim
= e = 2,71828... jest liczb
ą
niewymiern
ą
.
16
Ć
wiczenie 4.1.
Wyznaczy
ć
granice ci
ą
gów:
1)
)
3
(
lim
+
−
∞
→
n
n
n
;
2)
n
n
n
n
4
3
2
lim
+
+
∞
→
;
3)
(
)
n
n
n
n
2
7
5
4
lim
2
−
−
+
∞
→
;
4)
n
n
n
n
+
∞
→
1
lim
.
5. Granice niewła
ś
ciwe ci
ą
gów
Mówimy,
Ŝ
e ci
ą
g (a
n
) ma granic
ę
-
∞
, co zapisujemy
n
n
a
∞
→
lim
= -
∞
lub
a
n
→
-
∞
, je
Ŝ
eli dla ka
Ŝ
dej dowolnej liczby B < 0 mo
Ŝ
na dobra
ć
taki
wska
ź
nik N(B),
Ŝ
e dla wszystkich n >N(B) spełniona jest nierówno
ść
a
n
< B.
Mówimy,
Ŝ
e ci
ą
g (a
n
) ma granic
ę
+
∞
, co zapisujemy
n
n
a
∞
→
lim
= +
∞
lub a
n
→
+
∞
, je
Ŝ
eli dla ka
Ŝ
dej dowolnej liczby A > 0 mo
Ŝ
na dobra
ć
taki wska
ź
nik N(A),
Ŝ
e dla wszystkich n >N(A) spełniona jest
nierówno
ść
a
n
> A.
Przykłady
)
1
(
lim
2
+
∞
→
n
n
= +
∞
;
)
4
(
lim
n
n
−
∞
→
= -
∞
;
n
n
3
lim
∞
→
= +
∞
;
n
n
n
+
−
∞
→
1
1
lim
2
= -
∞
.
Twierdzenie 5.1.
Je
Ŝ
eli
−∞
=
∞
→
n
n
a
lim
lub
+∞
=
∞
→
n
n
a
lim
, to
n
n
a
1
lim
∞
→
= 0.
17
g
1
g
2
g
2
g
1
Twierdzenie 5.2.
Je
Ŝ
eli a
n
> 0 dla ka
Ŝ
dego n oraz
n
n
a
∞
→
lim
= 0, to
n
n
a
1
lim
∞
→
= +
∞
.
Je
Ŝ
eli a
n
< 0 dla ka
Ŝ
dego n oraz
n
n
a
∞
→
lim
= 0, to
n
n
a
1
lim
∞
→
= -
∞
.
W zbiorze liczb rzeczywistych uogólnionych
}
,
{
~
+∞
−∞
∪
=
R
R
mo
Ŝ
na
wyznaczy
ć
granice sumy, ró
Ŝ
nicy, iloczynu i ilorazu ci
ą
gów, które
maj
ą
granice sko
ń
czone lub granice niewła
ś
ciwe.
Poni
Ŝ
ej w tabelach zostan
ą
uwzgl
ę
dnione niektóre twierdzenia o
granicach ci
ą
gów.
Je
Ŝ
eli
n
n
a
∞
→
lim
= g
1
, gdzie g
1
= -
∞
, g
1
= a
∈
R, g
1
= +
∞
i
n
n
b
∞
→
lim
= g
2
,
gdzie g
2
= -
∞
, g
2
= b
∈
R, g
2
= +
∞
, to
(
)
n
n
n
b
a
+
∞
→
lim
= ?
-
∞
b
+
∞
-
∞
-
∞
-
∞
X
a
-
∞
a+b +
∞
+
∞
X +
∞
+
∞
(
)
n
n
n
b
a
−
∞
→
lim
= ?
-
∞
B
+
∞
-
∞
X
-
∞
-
∞
a
+
∞
a-b -
∞
+
∞
+
∞
+
∞
X
18
g
1
g
2
Je
Ŝ
eli
n
n
a
∞
→
lim
= g
1
, gdzie g
1
= -
∞
, g
1
= a
∈
R, g
1
= +
∞
i
n
n
b
∞
→
lim
= g
2
,
gdzie g
2
= -
∞
, g
2
= b
∈
R, g
2
= +
∞
, to
(
)
n
n
n
b
a
∗
∞
→
lim
= ?
-
∞
-
∞
< b <
0
b =
0
0 < b <
+
∞
+
∞
-
∞
+
∞
+
∞
X
-
∞
-
∞
-
∞
< a <
0
+
∞
a * b > 0
0
a * b < 0 -
∞
a = 0
X
0
0
0
X
0 < b <
+
∞
-
∞
a * b < 0
0
a * b > 0 +
∞
+
∞
-
∞
-
∞
X
+
∞
+
∞
Je
Ŝ
eli
n
n
a
∞
→
lim
= g
1
, gdzie g
1
= -
∞
, g
1
= a
∈
R, g
1
= +
∞
i
n
n
b
∞
→
lim
= g
2
,
gdzie g
2
= -
∞
, g
2
= b
∈
R, g
2
= +
∞
, i ponadto b
n
≠
0 dla ka
Ŝ
dego n
oraz b
≠
0, to
(
)
n
n
n
b
a :
lim
∞
→
= ?
19
g
1
g
2
-
∞
-
∞
< b <
0
0 < b <
+
∞
+
∞
-
∞
X
+
∞
-
∞
X
-
∞
< a <
0
0 a : b > 0 a : b < 0
0
a = 0
X
0
0
X
0 < b <
+
∞
0 a : b < 0 a : b > 0
0
+
∞
X
-
∞
+
∞
X
Przykład 5.1.
2
lim n
n
∞
→
= +
∞
,
)
(
lim
n
n
−
∞
→
= -
∞
, wtedy
(
)
n
n
n
−
∞
→
2
lim
nie istnieje;
(
)
n
n
n
+
∞
→
2
lim
=
+
∞
;
(
)
( )
3
2
lim
)
(
lim
n
n
n
n
n
−
=
−
∗
∞
→
∞
→
= -
∞
;
(
)
( )
n
n
n
n
n
−
=
−
∞
→
∞
→
lim
)
(
:
lim
2
= -
∞
.
Ć
wiczenie 5.1.
Dane s
ą
ci
ą
gi o wyrazach
1) a
n
=
n
1
, b
n
= 1 – 2n; 2) a
n
= n + 1, b
n
= 3 – n.
Wyznaczy
ć
granice ci
ą
gów danych oraz granice ci
ą
gów o wyrazach:
a
n
+
b
n
; a
n
– b
n
; a
n
* b
n
; a
n
: b
n
.
20
6. Szeregi niesko
ń
czone
Szeregiem
niesko
ń
czonym
nazywamy
wyra
Ŝ
enie
(sum
ę
niealgebraiczn
ą
; sum
ę
niesko
ń
czon
ą
)
a
1
+ a
2
+ ... + a
n
+ ... lub
∑
∞
=
1
n
n
a
.
Ci
ą
giem sum cz
ęś
ciowych tego szeregu, jest ci
ą
g (s
n
), gdzie s
1
=
a
1
, s
n
=
∑
=
n
i
i
a
1
.
Je
Ŝ
eli ci
ą
g sum cz
ęś
ciowych (s
n
) jest zbie
Ŝ
ny, to szereg nazywamy
zbie
Ŝ
nym, a granic
ę
s =
∑
=
∞
→
∞
→
=
n
i
i
n
n
n
a
s
1
lim
lim
nazywamy sum
ą
szeregu
niesko
ń
czonego.
Je
Ŝ
eli ci
ą
g sum cz
ęś
ciowych (s
n
) jest rozbie
Ŝ
ny (nie ma granicy)
lub ma granic
ę
-
∞
albo +
∞
, to szereg nazywamy rozbie
Ŝ
nym.
Szereg
∑
∞
=
1
n
n
a
nazywamy bezwzgl
ę
dnie zbie
Ŝ
nym, je
Ŝ
eli jest zbie
Ŝ
ny
oraz szereg
∑
∞
=
1
n
n
a
jest zbie
Ŝ
ny.
Ć
wiczenie 6.1.
Wyznaczy
ć
sum
ę
szeregu
∑
∞
=
+
1
)
1
(
1
n
n
n
Ć
wiczenie 6.2.
Wykaza
ć
,
Ŝ
e szereg
∑
∞
=
1
n
n
jest szeregiem zbie
Ŝ
nym.
We
ź
my pod uwag
ę
ci
ą
g geometryczny a
n
= a
1
* q
n-1
. Mo
Ŝ
emy
skonstruowa
ć
szereg geometryczny a
1
+ a
1
* q + a
1
* q
2
+ ... + a
1
*
q
n-1
+ ... = a
1
∑
∞
=
−
1
1
n
n
q
.
21
Twierdzenie 6.1.
Je
Ŝ
eli IqI < 1, to
n
n
q
∞
→
lim
= 0 i szereg geometryczny jest zbie
Ŝ
ny, a
jego suma
s =
q
a
a
a
s
n
i
i
n
n
n
−
=
=
∑
=
∞
→
∞
→
1
lim
lim
1
1
1
Ć
wiczenie 6.3.
Nast
ę
puj
ą
ce ułamki dziesi
ę
tne okresowe zamieni
ć
na ułamki zwykłe
1) 0,5(18);
2) 0,(476);
3) 0,12(3);
4) 0,(6)
22
GRANICE CI
Ą
GÓW
Zestaw
ć
wicze
ń
1.
Dane s
ą
ci
ą
gi (a
n
) =
+
−
+
1
1
3
n
n
, (b
n
) =
( )
∗
−
n
n
1
1
. Dla jakich n
spełnione s
ą
nast
ę
puj
ą
ce nierówno
ś
ci Ia
n
- 3I <
ε
, Ib
n
- 0I <
ε
,
gdy:
ε
= 0,1;
ε
= 0,5;
ε
= 0,0001;
ε
= 0,127?
Poda
ć
interpretacje geometryczn
ą
powy
Ŝ
szych nierówno
ś
ci oraz ich
rozwi
ą
za
ń
.
2.
Wyznaczy
ć
granice ci
ą
gów: a
n
= 3 +
1
1
+
−
n
n
; b
n
= (-1)
n
*
n
1
; u
n
=
n
n
5
6
3
4
−
−
; v
n
=
n
1
+ 3
-n
.
3.
Wyznaczy
ć
granice ci
ą
gów: u
n
=
2
6
2
2
−
−
−
+
n
n
n
n
; v
n
=
)
2
)(
1
(
3
4
2
+
+
−
n
n
n
;
w
n
=
2
3
4
3
2
2
+
−
−
−
n
n
n
n
.
4.
Wyznaczy
ć
granice ci
ą
gów: a
n
=
n
n
−
+
2
; b
n
=
3
+
−
n
n
.
5.
Dane s
ą
ci
ą
gi: 5.1) a
n
=
n
n
4
+
, b
n
=
2
2
3
n
n
+
; 5.2) a
n
=
1
1
+
−
n
n
,
b
n
=
n
n 1
2
+
. Porówna
ć
wyrazy ci
ą
gów a
n
i b
n
. Wyznaczy
ć
n
n
a
∞
→
lim
,
n
n
b
∞
→
lim
i porówna
ć
wyznaczone granice.
6.
Wyznaczy
ć
granice ci
ą
gów: u
n
= 5
n
+ 6
n
+ 7
n
, v
n
=
2
...
2
1
n
n
+
+
+
.
7.
Wiedz
ą
c,
Ŝ
e
n
n
n
+
∞
→
1
1
lim
= e
≈
2,7182818I..., wyznaczy
ć
n
n
n
a
+
∞
→
1
lim
,
gdy a = const.,
n
n
n
n
+
∞
→
1
lim
.
23
8.
Dane s
ą
ci
ą
gi: 8.1) a
n
=
n
1
, b
n
= (-1)
n
; 8.2) a
n
=
1
3
1
+
−
n
n
, b
n
=
1
2
4
−
−
n
n
.
Wyznaczy
ć
granice tych ci
ą
gów (o ile istniej
ą
). Wyznaczy
ć
granice ci
ą
gów: a
n
+ b
n
; a
n
– b
n
; a
n
* b
n
; a
n
: b
n
.
9.
Dane s
ą
ci
ą
gi: 9.1) a
n
= 3 + n, b
n
= 1 – n; 9.2) a
n
=
1
1
−
n
, b
n
= 2
n
;
9.3) a
n
= -n
2
, b
n
=
n
1
. Wyznaczy
ć
granice danych ci
ą
gów oraz
granice ci
ą
gów: a
n
+ b
n
, a
n
– b
n
, a
n
* b
n
, a
n
: b
n
(o ile istniej
ą
).
10.
Zamieni
ć
ułamki dziesi
ę
tne okresowe na ułamki zwyczajne:
0,3(18); 0,(237); 0,124(3); 0,(45).
11.
Dany jest ci
ą
g a
n
= 2
-n
. Wyznaczy
ć
ci
ą
g s
n
= a
1
+ ... + a
n
=
∑
=
n
i
i
a
1
oraz granice
n
n
a
∞
→
lim
,
n
n
s
∞
→
lim
.
12.
Dany jest ci
ą
g a
n
=
)
1
(
1
+
n
n
. Wyznaczy
ć
ci
ą
g s
n
=
∑
=
n
i
i
a
1
.
Wyznaczy
ć
n
n
a
∞
→
lim
oraz
n
n
s
∞
→
lim
=
∑
∞
=
1
n
n
a
.
Wskazówka.
Mo
Ŝ
na wykorzysta
ć
warunek
)
1
(
1
+
n
n
=
n
1
–
1
1
−
n
.
24
GRANICE CI
Ą
GÓW
Zestaw
ć
wicze
ń
1. Które z wyrazów ci
ą
gu (a
n
) znajduj
ą
si
ę
w otoczeniu liczby g o
promieniu
ε
> 0:
Ot(g,
ε
) = {x
∈
R; Ia
n
– gI <
ε
}
1.1) a
n
=
1
1
+
n
, g = 0,
ε
= 0,1,
ε
= 0,003;
1.2) a
n
= (-1)
n
*
n
1
, g = 0,
ε
= 0,5,
ε
= 0,01;
1.3) a
n
= 2
-n
+ 5, g = 5,
ε
= 0,001,
ε
= 0,00002;
1.4) a
n
=
3
7
+
−
n
n
, g = 1,
ε
= 0,007,
ε
= 0,00014.
2. Wyznaczy
ć
granice ci
ą
gów (a
n
)
2.1) a
n
=
1
1
+
n
; 2.2) a
n
=
2
1
3
+
−
n
n
; 2.3) a
n
= 2
-n
+ 5.
3. Dane s
ą
ci
ą
gi (a
n
), (b
n
)
3.1) a
n
=
1
1
+
n
, b
n
=
1
1
2
−
−
n
n
;
3.2) a
n
= (-1)
n
* n, b
n
= (-1)
n
*
n
1
;
Wyznaczy
ć
, o ile istniej
ą
, granice ci
ą
gów (a
n
), (b
n
), (a
n
+ b
n
), (a
n
–
b
n
), (2a
n
– 3b
n
).
4. Uwzgl
ę
dniaj
ą
c dane z
ć
wiczenia 3 wyznaczy
ć
granice (o ile
istniej
ą
) ci
ą
gów (a
n
* b
n
), (a
n
: b
n
), (1 : b
n
).
25
5. Dane s
ą
funkcje: 5.1) x
→
y = f(x) = 3x + 1; 5.2) x
→
y = g(x) = x
2
– 1; 5.3) x
→
y = h(x) =
x
1
oraz ci
ą
gi (x
n
) =
+
−
1
3
n
n
, (y
n
) = ((-1)
n
*
n), (z
n
) = (3
n
). Wyznaczy
ć
o ile istniej
ą
1) granice ci
ą
gów (x
n
), (y
n
), (z
n
) oraz 2) granice ci
ą
gów
5.1) (f(x
n
)), (f(y
n
)), (f(z
n
)); 5.2) (g(x
n
)), (g(y
n
)), (g(z
n
));
5.3) (h(x
n
)), (h(y
n
)), (h(z
n
)).