Materiały do wykładu

Wykład 3

Dług - spłata

Spłata długu

Reguła

Wartość obecna długu = wartość obecna rat spłacających dług

Spłata długu przez amortyzację (amortization method)

Spłata długu równymi ratami płatnymi na koniec okresu.

W racie zmienia się cześć kapitałowa i cześć odsetkowa.

Ustalanie długu pozostałego do spłacenia

Dług zaciągnięty w chwili 0, spłacany do chwili T. Ustalamy wartość długu w chwili s, gdzie 0 ≤ s ≤ T. Spłacone już zostały raty (R₁ , t₁) … (R_k , t_k) . Pozostały do spłacenia raty (R_k+1 , t_k+1) … (R_n , t_n) , gdzie:

0 < t₁ < … < t_k < s < t_k+1< … t_n .

Musi zachodzić:

PV(raty spłacone, s) + PV(raty do zapłacenia, s) = PV(dług, s)

Czyli

PV(raty do zapłacenia, s) = PV(dług, s) - PV(raty spłacone, s)

Ustalenie wielkości raty przy spłacie długu przez amortyzację.

Korzystamy z reguły według której ustala się dług pozostały do spłacenia. Jako chwilę na którą wyliczamy pozostały dług przyjmujemy s = 0.

Musi zachodzić

PV(raty spłacone, s) + PV(raty do zapłacenia, s) = PV(dług, s)

Czyli

PV(0, 0) + PV(R·(renta jednostkowa), 0) = PV(dług, s)

R · a_n = Dług

R = Dług / a_n

Przykład 1

Pożyczamy kapitał K = 1.200 na okres n = 5 przy stopie r = 6%. Dług spłacamy równymi ratami na koniec okresu. Oblicz wielkość raty R.

Rozwiązanie

K = R · a_n skąd R = K / a_n .

PV(0,06; 5; -1 ) = a_n = (1 - 1/(1,06)⁵) / 0,06 = 4,212364

PMT(0,06; 5; -1200) = R = 1.200 / 4,212364 = 284,88

Przykład 2

W chwili s = 2,5 decydujemy się spłacić cały pozostały dług D. Ile musimy zapłacić.

Rozwiązanie

D = PV(R, 3-2,5) + PV(R, 4-2,5) + PV(R, 5-2,5)

D = R · (v^0,5 + v^1,5 + v^2,5)

D = 284,88 · ( 1/(1,06)^0,5 + 1/(1,06)^1,5 + 1/(1,06)^2,5)

D = 284,88 · (0,9711286 + 0,916307 + 0,864441)

D = 284,88 · 2,752034

D = 783,99

Schemat amortyzacji długu

Ustalanie wielkości kapitału i wielkości odsetek spłacanych w racie.

Schemat budujemy (ze względu na wygodę obliczeń) dla n rat w wysokości R = 1 płatnych na koniec okresu, a więc dla kwoty pożyczki równej a_n.

okres	rata R	zapłacone odsetki	spłacony kapitał	dług niespłacony
0				an
1	1	an · r = 1 - v^n	v^n	an-1
2	1	an-1 · r = 1 - v^n-1	v^n-1	an-2
…	…	…	…	…
t	1	an-(t-1) · r = 1 - v^n^-(t-^1^)	v^n^-(^t^-^1^)	an-t
…	…	…	…	…
n-1	1	a2 · r = 1 - v^2	v^2	a1
n	1	a1 · r = 1 - v	v	0
razem	n	n - an	an

Uwaga

Podany schemat jest dla R = 1, a więc dla kapitału kwoty pożyczki = a_n.

Jeżeli kwota pożyczki wynosi K, to wszystkie wielkości w tabeli schematu amortyzacji musimy pomnożyć przez (K/a_n).

Schemat amortyzacji długu.

W chwili t = 0 wielkość długu wynosi K, a więc rata spłaty długu przy n równych ratach wynosi R = (K/a_n).

Ustalanie wielkości kapitału i wielkości odsetek spłacanych w racie.

okres	rata R	zapłacone odsetki	spłacony kapitał	dług niespłacony
0				K
1	K/an	K/an · (an · r) = K/an · (1 - v^n)	K/an · v^n	K/an · an-1
2	K/an	K/an · (an-1 · r) = K/an · (1 - v^n-1)	K/an · v^n-1	K/an · an-2
…	…	…	…	…
t	K/an	K/an · (a n-(t-1) · r) = K/an · (1 - v^n-(t-1))	K/an · v^n-(t-1)	K/an · an-t
…	…	…	…	…
n-1	K/an	K/an · (a2 · r) = K/an · (1 - v^2)	K/an · v^2	K/an · a1
n	K/an	K/an · (a1 · r) = K/an · (1 - v)	K/an · v	0
razem	n· K/an	K/an · (n - an) = n· K/an - K	K

okres	rata R	zapłacone odsetki	spłacony kapitał	dług niespłacony
0				K
1	R	R · (an · r) = R · (1 - v^n)	R · v^n	R · an-1
2	R	R · (an-1 · r) = R · (1 - v^n-1)	R · v^n-1	R · an-2
…	…	…	…	…
t	R	R · (a n-(t-1) · r) = R · (1 - v^n-(t-1))	R · v^n-(t-1)	R · an-t
…	…	…	…	…
n-1	R	R · (a2 · r) = R · (1 - v^2)	R · v^2	R · a1
n	R	R · (a1 · r) = K/an · (1 - v)	R · v	0
razem	n· R	R · (n - an) = n· R - K	K

Przykład 3

Podać schemat amortyzacji dla kwoty K = 1.000 pożyczonej na n = 4 lata przy stopie procentowej r = 8%.

Rozwiązanie

rok	rata R	zapłacone odsetki	spłacony kapitał	dług niespłacony
0				1.000,00
1	301,92	80,00	221,92	778,08
2	301,92	62,25	239,67	538,40
3	301,92	43,07	258,85	279,56
4	301,92	22,36	279,56	0,00
razem	1.207,68	207,68	1.000,00

Obliczenia

v = 1/1,08; a₄ = (1- 1,08^-4)/0,08 = 3,312127

R = K / a_n ; R = 1.000 / 3,312127 = 301,92

Spłata długu przez fundusz amortyzacyjny (sinking funds)

Pożyczkodawca żąda odsetek za cały pożyczony kapitał co okres ( co rok na koniec roku) przy stopie procentowej r.

Pożyczony kapitał ma być spłacony jednorazowo w ostatnim okresie.

Pożyczkodawca żąda byśmy co okres gromadzili kapitał na specjalnym funduszu.

Fundusz jest oprocentowany q procent. Zazwyczaj q < r. My płacimy więcej za odsetki niż zarabiamy gromadząc kapitał.

Przykład 4

Schemat spłaty długu przez fundusz amortyzacyjny (sinking funds) dla p=q.

Dług K = 1.000 ;

oprocentowanie długu p = 8% ;

oprocentowanie w funduszu q = 8%.

Rata wpłaty na fundusz to R = (K / s_n) , gdyż ma zachodzić: R·s_n = K.

Ponieważ s_n = (1,08⁴ - 1) / 0,08 = 4,506112 .

Więc R = 1000 / 4,506112 = 221,92

Zaś R_ods = 1000 · 0,08 = 80,00 (rata odsetkowa).

rok	Płacone odsetki	wpłata do funduszu	cała rata	Odsetki zarobione w funduszu	Kapitał w funduszu	Dług netto
0						1.000,00
1	80,00	221,92	301,92	0	221,92	778,08
2	80,00	221,92	301,92	17,75	461,60	538,40
3	80,00	221,92	301,92	36,93	720,44	279,56
4	80,00	221,92	301,92	57,64	1.000,00	0,00

Przykład 5

Schemat spłaty długu przez fundusz amortyzacyjny (sinking funds) dla p > q.

Dług K = 1.000 ; oprocentowanie długu p = 8% ; oprocentowanie w funduszu q = 6%.

Rata wpłaty na fundusz to R_fund = (K / s_n,q) , gdyż ma zachodzić: R_fund · s_n,q = K.

Odsetki roczne to R_ods = K · r .

Ponieważ s_n,q = (1,06⁴ - 1) / 0,06 = 4,374616 .

Więc R_fund = 1000 / 4, 374616 = 228,59 .

Zaś R_ods = 1000 · 0,08 = 80,00 .

rok	Płacone odsetki Rods	wpłata do funduszu Rfund	cała rata R	Odsetki zarobione w funduszu	Kapitał w funduszu	Dług netto
0						1.000,00
1	80,00	228,59	308,59	0	228,59	771,41
2	80,00	228,59	308,59	13,72	470,90	529,10
3	80,00	228,59	308,59	28,25	727,74	272,26
4	80,00	228,59	308,59	43,66	1.000,00	0,00

Wewnętrzna stopa zwrot IRR

Dane są przepływy finansowe P = {(K₀ , t₀), (K₁ , t₁), … , (K_n , t_n)}. Stopa procentowa i nazywa się wewnętrzną stopą zwrotu dla tych przepływów jeśli zachodzi równość:

PV((K₀ , t₀); i; s) + PV((K₁ , t₁); i; s) + … + PV((K_n , t_n); i; s) = 0

Zazwyczaj w rozważaniach przyjmujemy s = 0. Często zamiast i piszemy IRR.

Uwaga

W ogólnym przypadku wewnętrzna stopa zwrotu nie musi istnieć, a nawet jeśli istnieje nie musi mieć sensu ekonomicznego.

IRR to rozwiązanie równania wielomianowego:

K₀ + K₁·v^t1 + K₂·v^t2 + … + K_n·v^tn = 0

Przykład 6

P = {(-2, 0) ; (3, 1) ; (-2, 2)}

i = IRR powinna spełniać:

-2 + 3v -2v² = 0

Aby to równanie kwadratowe miało rozwiązanie delta równania ( = b² -4ac) powinna być większa od zera.

W naszym przykładzie zachodzi:

 = 9 - 4·(-2)·(-2) = 9 - 16 = -7.

Czyli nie istnieje taka stopa procentowa.

Uwaga

W przypadku przepływów konwencjonalnych, czyli takich, że najpierw są tylko przepływy ujemne (inwestycje), a potem tylko przepływy dodatnie (zwroty z inwestycji) istnieje IRR.

Ocena inwestycji

Inwestycja jest opłacalna jeśli IRR jest większa od stopy procentowej r obowiązującej na rynku.

Przykład 7

Inwestycja opisana jest przepływami finansowymi P = {(-1000; 0); (200; 1); (400; 2); (400; 3); (400; 4)}.

Oceń inwestycję przy stopie zwrotu r = 6% .

Wyznacz IRR.

Oceń opłacalność inwestycji.

t	Kt	v^t·Kt		Kt / (1+IRR)^t
0	-1000	-1000,00		-1000,00		r =	6,00%
1	200	188,68		176,12		v =	0,943396
2	400	356,00		310,19
3	400	335,85		273,15		IRR =	13,56%
4	400	316,84		240,54
	PV =	197,36	PV =	0,00

Instrumenty finansowe

Jednym z kryteriów podziału instrumentów finansowych jest podział pod względem własnościowym.

Z tego punktu widzenia dzielimy instrumenty na te o charakterze własnościowym i na te o charakterze wierzytelnościowym.

Instrumenty wierzytelnościowe mają charakter długu (pożyczki).

Obligacje

Obligacja to papier wartościowy poświadczający wierzytelność, czyli zobowiązanie dłużne emitenta wobec jej właściciela na określoną sumę wraz z zobowiązaniem do wypłaty oprocentowania w ustalonych terminach. (Dębski „Rynek finansowy”) - papier wartościowy wierzytelnościowy.

Właściciel obligacji - obligatariusz.

Obligacje na okaziciela lub imienne.

Obligacja to instrument średnio lub długo terminowy umożliwiający korzystanie z pozabankowych funduszy.

Nazewnictwo

Wartość nominalna (face value) nominalna wartość udzielonej pożyczki przypisanej do obligacji.

Zazwyczaj okrągła kwota 1.000, 5.000 itp.

Termin wykupu (maturity) - termin zapadalności, okres od daty emisji do momentu w którym powinien nastąpić wykup wartości nominalnej, czyli zwrot zaciągniętej przez emitenta pożyczki.

Obligacje to papiery wartościowe przynoszące stały dochód.

Odsetki (kupony) są wypłacane obligatariuszowi regularnie w ustalonych terminach.

Wielkość odsetek jest obliczana w stosunku do wartości nominalnej, według ustalonej stałej lub zmiennej stopy procentowej, zapisanej w warunkach pożyczki.

W przypadku obligacji zerokuponowych odsetki nie są wypłacane.

Wycena obligacji

Wycena obligacji tuż po wypłaceniu odsetek (kuponu).

Oznaczenia

P - cena obligacji (price)

F - wartość nominalna (face value)

C - kwota wypłacana przy zwrocie obligacji (redemption value), zwykle C = F

r - stopa procentowa według której ustalana jest kwota odsetek czyli kupon (stopa kuponowa) (coupon rate)

Uwaga r jest efektywną stopą procentową dla okresu co jaki wypłacane są odsetki.

Fr - kwota wypłacanych odsetek (kupon)

p - stopa zwrotu, równa wewnętrznej stopie zwrot (IRR) z inwestycji wykonanej przez kupującego obligację.

Wartość obligacji w momencie emisji obligacji

P = Fr·a_n + C·vⁿ

Przykład 8

Wyznacz wartość (cenę) czteroletnich obligacji o wartości nominalnej F = 1.000 , oprocentowanej q = 8% rocznie z odsetkami (kuponami) płatnymi półrocznie, przy rynkowej stopie zwrotu p⁽²⁾ = 8%.

Rozwiązanie

Odsetki płacone są półrocznie czyli jest wypłacanych 8 kuponów.

Oprocentowanie q to oprocentowanie nominalne q = r⁽²⁾ = 8% .

Tak więc stopa procentowa r = 4% (stopa kuponowa).

Kupon wynosi więc Fr = 1.000 · 0,04 = 40 .

Zaś wartość:

P = 40 · (1 - 1,04^-8)/0,04 + 1.000 / 1,04⁸

P = 40·6,732745 + 1000·0,73069

P = 269,31 + 730,69

P = 1.000,00

Przykład 9

Wyznacz wartość (cenę) czteroletnich obligacji o wartości nominalnej F = 1.000 , oprocentowanej q = 8% rocznie z odsetkami (kuponami) płatnymi półrocznie, przy rynkowej stopie zwrotu p⁽²⁾ = 6%.

Rozwiązanie

Odsetki płacone są półrocznie czyli jest wypłacanych 8 kuponów.

Oprocentowanie q to oprocentowanie nominalne q = r⁽²⁾ = 8% .

Tak więc stopa procentowa r = 4% (stopa kuponowa).

Kupon wynosi więc Fr = 1.000 · 0,04 = 40 .

Zaś wartość:

P = 40 · (1 - 1,03^-8)/0,03 + 1.000 / 1,03⁸

P = 40·7,019692 + 1000·0,789409

P = 280,79 + 789,41

P = 1.070,20

Jeśli P > C (=F) to mówimy, że obligacja jest sprzedawana z premią. Kwotę P - C nazywamy premią.

Przykład 10

Wyznacz wartość (cenę) czteroletnich obligacji o wartości nominalnej F = 1.000 , oprocentowanej q = 8% rocznie z odsetkami (kuponami) płatnymi półrocznie, przy rynkowej stopie zwrotu p⁽²⁾ = 10%.

Rozwiązanie

Odsetki płacone są półrocznie czyli jest wypłacanych 8 kuponów.

Oprocentowanie q to oprocentowanie nominalne q = r⁽²⁾ = 8% .

Tak więc stopa procentowa r = 4% (stopa kuponowa).

Kupon wynosi więc Fr = 1.000 · 0,04 = 40 .

Zaś wartość:

P = 40 · (1 - 1,05^-8)/0,05 + 1.000 / 1,05⁸

P = 40·6,463213 + 1000·0,676839

P = 258,53 + 676,84

P = 935,38

Jeśli P < C (=F) to mówimy, że obligacja jest sprzedawana z dyskontem. Kwotę C - P nazywamy dyskontem.

Obligacje zerokuponowe

To obligacje bez kuponów (bez wypłacanych odsetek).

Obligacje zerokuponowe sprzedawane są poniżej ceny wykupu.

W obligacja zerokuponowych odsetki doliczane są do wartości nominalnej (ceny wykupu).

Przykład 11

Wyznacz wartość (cenę) czteroletnich obligacji zerokuponowych o wartości nominalnej F = 1.000 . Przy rynkowej stopie zwrotu (wymaganej stopie zwrotu) p = 6,8%.

Rozwiązanie

Odsetki nie są płacone, jedyna płatność to 1.000 za 4 okresy.

P = 1.000 / 1,068⁴

P = 1.000 / 1,301023

P = 768,63

Stopa dochodu w okresie do wykupu - YTM (yield to maturity)

Jeżeli cena obligacji jest ustalona (np. przez rynek) to możemy obliczyć stopę zwrotu, przy której ta cena została ustalona, czyli rozwiązać równanie:

P = Fr·a_n,p + C·v_pⁿ

Ze względu na stopę procentową p:

Tak wyznaczoną stopę procentową (stopę zwrotu) często oznaczamy YTM.

Zauważ analogię do IRR.

Przykład 12

Dana jest obligacja z dwuletnim terminem do wykupu, o wartości nominalnej F = 100, cenie P = 98,88 oprocentowana r = 4,2% rocznie.

Odsetki są płacone co roku.

Oblicz stopę dochodu w okresie do wykupu (YTM).

Rozwiązanie

Należy rozwiązać równanie kwadratowe ze względu na p:

P = Fr / (1+p) + (Fr+F) / (1+p)²

P·(1+p)² - Fr·(1+p) - (Fr+F) = 0

Niech x = 1+p.

98,88·x² - 4,2·x - 104,2 = 0

Zachodzi:

 = (-4,2)² - 4·98,88·(-104,2) = 41.230,82

^0,5 = 203,0537

Rozwiązujemy równanie kwadratowe, uwzględniając pierwiastki mające sens ekonomiczny:

x = (-b ± ^0,5) / 2a

(1+p) = (4,2 + 203,0537) / (2·98,88)

1+p = 1,048006

p = 4,80%

Odpowiedź:

Stopa dochodu w okresie do wykupu YTM = 4,80%.

Przykład 13

Dana jest trzyletnia obligacja zerokuponowa o wartości nominalnej F = 100, cenie P = 87,63.

Oblicz stopę dochodu w okresie do wykupu (YTM).

Rozwiązanie

Należy rozwiązać równanie ze względu na r:

P·(1+r)ⁿ = F

r = (F / P)^1/n -1

r = (100 / 87,63)^1/3 - 1

r = 1,14116^1/3 - 1

r = 0,00450

r = 4,50%

Odpowiedź:

Stopa dochodu w okresie do wykupu YTM = 4,50%.

Jaką przyjąć strategię kupna obligacji

Jeśli wartość obligacji jest większa niż cena obligacji - należy je kupić.

Jeśli wartość obligacji jest mniejsza niż cena obligacji - należy je sprzedać.

Jeśli stopa dochodu w okresie do wykupu jest większa od wymaganej przez nas - należy je kupić.

Jeśli stopa dochodu w okresie do wykupu jest mniejsza od wymaganej przez nas - należy je sprzedać.

Pytanie

Jak wyznaczana jest wymagana stopa zwrotu?

Odpowiedź

Na rynku są ci którzy oferują kapitał do pożyczki (kredytodawcy) i ci którzy chcą kapitał pożyczyć (kredytobiorcy).

Ustala się cena (stopa procentowa) pożyczki za pożyczkę (inwestycję) bez ryzyka.

Ta cena to realna stopa procentowa r_r .

Jeśli na rynku występuje inflacja w wysokości r_i . to nominalna stopa procentowa r określona jest wzorem:

1 + r = (1 + r_r)( 1 + r_i)

Tak więc nominalna stopa procentowa r wynosi:

r = r_r+ r_i + r_r·r_i

Przy niskiej inflacji, często opuszczamy składnik r_r·r_i

r = r_r+ r_i

Dodatkowo wymagana jest premia za płynność r_pp i premia za ryzyko r_pr .Tak więc końcowa wymagana stop zwrot to:

r = r_r+ r_i + r_pp + r_pr

Przykład 14

Oblicz wymaganą stopę zwrotu, czynnik oprocentowującym czynnik dyskontujacy jeśli:

inwestycja pozbawiona ryzyka daję 3,1%,

spodziewana inflacja to 1,25%,

premia za płynność to 0,22%

premia za ryzyko 5,55%.

Odpowiedź

R = 3,1% + 1,25% + 0,22% + 5,55% = 10,12%

Czas trwania obligacji - duration (Macaulay - 1938)

Czas trwania D obligacji określamy wzorem:

Gdzie:

D - czas trwania;

P - wartość (cena);

YTM - stopa dochodu w okresie do wykupu;

C_t - płatność w chwili t.

Przykład 15

Oblicz czas trwania czteroletnich obligacji o wartości nominalnej 100, oprocentowanych 4,20% z odsetkami płatnymi rocznie.

Stopa dochodu w okresie do wykupu obligacji wynosi YTM = 3,50%.

Rozwiązanie

P = 4,2 / 1,035 + 4,2 / 1,035² + 4,2 / 1,035³ + 104,2 / 1,035⁴

P = 4,0580 + 3,9207 + 3,7882 + 90,8043

P = 102,5712

P = 102,57

D = [ 1·4,2 / 1,035 + 2·4,2 / 1,035² + 3·4,2 / 1,035³ + 4·104,2 / 1,035⁴ ] / 102,5712

D = 3,7679

Czas trwania (duration) tych obligacji D = 3,77.

MatFinUb W3.doc Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa

P. Zaremba 10/10

---