Wykład 1

Materiały do wykładu

Wartość pieniądza w czasie.

Czynniki mające wpływ na zmienną wartość pieniądza w czasie:

1. Ryzyko

2. Preferowanie bieżącej konsumpcji

3. Możliwość inwestowania

Procent, odsetki, zapłata za używanie kapitału.

Zarobek z tytułu inwestycji finansowej.

K, K₀ - kapitał początkowy, kapitał.

K_t - wartość zakumulowana, kapitał końcowy, wartość przyszła kapitału.

O = (K_t - K₀) - procent, procent zarobiony w czasie inwestycji, odsetki, odsetki zarobione w czasie inwestycji, odsetki całkowite

Stopa procentowa - miernik sprawności inwestycji.

i = (K_t - K₀)/K₀ .

Stopa dyskontowa

d = (K_t - K₀)/K_t .

Funkcja akumulacji, wartość aktualna zainwestowanej jednostki - a(t) = a_t .

Funkcja wartości kapitału, wartość aktualna zainwestowanego kapitału - K(t) = K_t .

Efektywna stopa procentowa r

Kwota zarobiona przez jednostkę pieniędzy w jednostce czasu:

r = a(1) - a(0) = a(1) - 1,

czyli

a(1) = 1 + r

gdzie a(t) funkcja akumulacji, wartość w chwili t jednostki zainwestowanej w chwili 0.

Jednostka czasu - okres podstawowy.

Jeśli zamiast jednostki w chwili 0 inwestujemy kapitał K to wygodnie jest posługiwać się funkcją wartości kapitału w chwili t:

K(t) = K∙a(t)

W literaturze używa się również oznaczenie:

1. FV - future value - wartość przyszła,

2. PV - present value - wartość obecna.

Przy inwestycjach w których z góry ustala się wielkość płaconych (zarabianych) odsetek, stosuje się zazwyczaj jedną z dwóch reguł obliczania wartości zakumulowanej kapitału: regułę procentu prostego i regułę procentu złożonego.

Procent prosty

Funkcja akumulacji jest postaci:

a(t) = a(t,r) = 1+ r∙t

Funkcja wartości kapitału jest postaci:

K(t) = K(t,r) = K·(1+ rt) = K + K·r·t = K + O.

Odsetki całkowite:

O = K·r·t

Efektywna stopa procentowa:

r_ef = (K(t+1) - K(t)) / K(t)

r_ef = r

Cztery zadanie procentu prostego

K_t = K₀·(1+ rt).

Znane są trzy wielkości, wyznacz czwartą.

1. Wyznaczanie kapitału końcowego

K_t = K₀·(1+ rt).

2. Wyznaczanie kapitału początkowego

K₀ = K_t / (1+ rt).

3. Wyznaczanie efektywnej stopy procentowej

r = (K_t - K₀) / (K₀·t).

4. Wyznaczanie czasu trwania inwestycji

t = (K_t - K₀) / (K₀·r).

Reguła zaokrąglania liczb.

Dyskonto proste

Funkcja akumulacji ma postać:

a₀ = a_t ∙ (1- d∙t)

Uwaga: czas nie może być „duży”.

Współczynnik dyskontujący musi być dodatni.

Wartość obecna:

K₀ = K_t ∙ (1- d∙t)

gdzie d to stopa dyskontowa.

Wartość zakumulowana:

K_t = K₀ / (1- d∙t)

Dyskonto:

D = K_t - K₀

Równoważność stopy procentowej i stopy dyskontowej.

Uwaga:

w regule procentu prostego, dyskonta prostego, mówimy o równoważności przy ustalonym czasie t.

K₀ = K_t∙(1- d∙t) = K₀·(1+ r∙t) ∙ (1- d∙t)

(1+ r∙t) ∙ (1- d∙t) = 1

Stopa dyskonta prostego:

d = r / (1 + r∙t)

Stopa procentu prostego:

r = d / (1 - d∙t)

Procent złożony

Funkcja akumulacji jest postaci:

a(t) = a(t,r) = (1+ r)^t

Funkcja wartości kapitału jest postaci:

K(t) = K(t,r) = K·(1+ r)^t

Oznaczenie

Czynnik (1+r) nazywamy czynnikiem oprocentowującym.

Czynnik v = 1/(1+r) nazywamy czynnikiem dyskontującym.

Odsetki całkowite

O = K_t - K₀ = K₀·( (1+ r)^t - 1)

Stopa procentowa

r = O / K₀

r = (1+ r)^t - 1

Efektywna stopa procentowa

r_ef = O₁ / K₀ = (K₁ - K₀) / K₀ = K₀·( (1+ r)¹ - 1) / K₀ =

r_ef = (1+ r) - 1 = r

Skąd wzięła się nazwa procent złożony?

Składanie odsetek do kapitału.

Cztery zadania procentu złożonego

K_t = K₀·(1+ r)^t.

Znane są trzy wielkości, wyznacz czwartą.

5. Wyznaczanie kapitału końcowego

K_t = K₀·(1+ r)^t.

6. Wyznaczanie kapitału początkowego

K₀ = K_t / (1+ r)^t.

7. Wyznaczanie efektywnej stopy procentowej

r = (K_t / K₀)^1/t - 1

8. Wyznaczanie czasu trwania inwestycji

t = (ln(K_t) - ln(K₀)) / ln(1+r).

Przykład 1

Kapitał 1.000 zł został zainwestowany przy efektywnej stopie procentowej r = 4%.

1. Oblicz wartość zakumulowaną kapitału po 1 roku.

2. Oblicz wartość zakumulowaną po 0,5 roku

3. Oblicz wartość zakumulowaną po 1,5 roku

Rozwiązanie

(Obliczenie robione według reguły procentu złożonego)

1. K(1) = 1.000 · (1 + 0,04)¹ = 1.040

2. K(0,5) = 1000 · (1 + 0,04)^0,5 = 1000 · 1,019803903 = 1019,80

3. K(1,5) = 1000 · (1 + 0,04)^1,5 = 1000 · 1,060596059 = 1060,60

Przykład 1a

Dane jak w przykładzie 1. Wykonaj obliczenia dla reguły procentu prostego.

Rozwiązanie

1. K(1) = 1.000 · (1 + 0,04·1) = 1.040

2. K(0,5) = 1000 · (1 + 0,04·0,5) = 1020

3. K(1,5) = 1000 · (1 + 0,04·1,5) = 1060

Porównanie na wykresie funkcji akumulacji dla procentu prostego i procentu złożonego.

W dalszych rozważaniach będzie pojawiał się głównie procent złożony.

Jeżeli pojawi się sformułowanie „procent” to oznaczać będzie „procent złożony”.

Jeżeli będziemy chcieli zająć się procentem prostym, to wyraźnie to napiszemy.

Nominalna stopa procentowa r^(m)

Odsetki są kapitalizowane m razy w roku.

Funkcja akumulacji jest postaci:

a(t) = (1+ (r/m))^tm

Funkcja wartości kapitału jest postaci:

K(t) = K (1+ (r/m))^tm

Przykład 2

Kapitał 1.000 zł został zainwestowany na 1 rok przy nominalnej stopie procentowej r⁽²⁾ = 4%.

1. Oblicz wartość zakumulowaną kapitału po 1 roku.

2. Oblicz wartość zakumulowaną po 0,5 roku

3. Oblicz wartość zakumulowaną po 1,5 roku

Rozwiązanie

1. K(1) = 1.000 · (1 + 0,04/2)² = 1.000 · 1,0404 = 1.040,40

2. K(0,5) = 1.000 · (1 + 0,04/2)¹ = 1.000 · 1,02 = 1.020

3. K(1,5) = 1.000 · (1 + 0,04/2)³ = 1.000 · 1,061208 = 1.061,21

Równoważne stopy procentowe

Dwie stopy procentowe r q są równoważne jeśli dla każdej chwili t kapitały zakumulowane w chwili t przy obu stopach procentowych są równe:

K(t,r) = K(t,q)

Uwaga: dla równoważności stóp procentowych (dla procentu złożonego) wystarczy równość funkcji akumulacji:

a(1,r) = a(1,q)

Przykład 3

Obliczyć efektywną stopę procentową r równoważną stopie procentowej r⁽²⁾ = 4%.

Rozwiązanie

a(1,r) = a(1,r⁽²⁾)

1 + r = (1 + r⁽²⁾/2 )²

r = (1 + r⁽²⁾/2 )² -1

r = 1,02² - 1 = 0,0404

r = 4,04%

Przykład 3a

Obliczyć nominalną stopę procentową r⁽²⁾ równoważną efektywnej stopie procentowej r = 4%.

Rozwiązanie

a(1,r⁽²⁾) = a(1,r)

(1 + r⁽²⁾/2 )² = 1 + r

1 + r⁽²⁾/2 = (1 + r)^0,5

r⁽²⁾/2 = (1 + r)^0,5 - 1

r⁽²⁾ = 2 · [(1 + r)^0,5 - 1]

r⁽²⁾ = 2 · [(1,04)^0,5 - 1]

r⁽²⁾ = 2 · [1,019803903 - 1]

r⁽²⁾ = 2 · 0,019803903

r⁽²⁾ = 0,039607805

r⁽²⁾ = 3,96%

Przykład 4

Obliczyć efektywną stopę procentową r równoważną stopie procentowej r^(m) .

Rozwiązanie

a(1,r) = a(1,r^(m))

1 + r = (1 + r^(m)/m )^m

r = (1 + r^(m)/m )^m -1

Przykład 4a

Obliczyć nominalną stopę procentową r^(m) równoważną efektywnej stopie procentowej r.

Rozwiązanie

a(1,r^(m)) = a(1,r)

(1 + r^(m)/m )^m = 1 + r

1 + r^(m)/m = (1 + r) ^1/m

r^(m)/m = (1 + r) ^1/m - 1

r^(m) = m · [(1 + r) ^1/m - 1]

Przykład 5

Bank A i bank B oferują lokaty oprocentowane na 10%.

Bank A stosuje roczna kapitalizacje odsetek.

Bank B stosuje kwartalną kapitalizację odsetek.

Oblicz wartość zakumulowaną 1000 zainwestowanych w każdym z tych banków na 5 lat.

Oblicz efektywną stopę procentową obu banków.

Rozwiązanie:

Bank A:

K(5) = 1000 (1+0,1)⁵ = 1000 · 1,61051 = 1610,51

Efektywna stopa procentowa to 10%

Bank B:

K(5) = 1000 (1+0,025)²⁰ = 1000 · 1,63861644 = 1638,62

1 + r = 1,025⁴

r = 0,103812891

r = 10,38%

Intensywność oprocentowania

Przy kapitalizowaniu odsetek w sposób ciągły posługujemy się intensywnością oprocentowania δ.

a(t) = a(t,δ) = exp(δt)

Przykład 6

Bank C oferuje lokaty oprocentowane w sposób ciągły (z ciągła kapitalizacją odsetek) przy intensywności oprocentowania δ = 10%.

Oblicz wartość zakumulowaną 1000 zainwestowanych w tym banku na 5 lat.

Oblicz efektywną stopę procentową stosowaną w tym banku.

Rozwiązanie

Wartość zakumulowana:

K(5) = 1000 · exp(5 · 0,1)

K(5) = 1000 · 1,648721271

K(5) = 1648,72

Równoważna efektywna stopa procentowa:

a(1,r) = a(1,δ)

1 + r = exp(0,1)

r = 1,105170918 - 1

r = 0,105170918

r = 10,52%

Wartość obecna - PV ­- present value.

W chwili t w przyszłości dostaniemy kwotę K.

Jaka jest obecna wartość tej kwoty przy stopie procentowej r.

Odpowiedź

PV(K, t, r) = K / (1+r)^t

Jest to taka kwota, która obecnie zainwestowana przy stopie procentowej r, w chwili t dała by wartość zakumulowaną K.

Przykład 7

Jaka jest wartość obecna kapitału 10.000 za 4 lata, przy efektywnej stopie procentowej r = 8%.

Odpowiedź

PV(10.000; 4; 8%) = 10.000 / 1,08⁴

PV = 10.000 / 1,36048896

PV = 7350,30

Przykład 8

Inwestujemy kapitał 7.350,30 . Stopa procentowa inwestycji wynosi r = 8% .

Oblicz wartość zakumulowaną kapitału po 4 latach.

Odpowiedź

FV = FV(7350,30; 4; 8%) = K(4) = 7350,30 ·1,08⁴

FV = 7350,30 ·1,36048896

FV = 10.000,00

Przykład 9

Jaka jest wartość obecna kapitału 10.000 za 4 lata, przy nominalnej stopie procentowej r⁽⁴⁾ = 8%.

Odpowiedź

PV = 10.000 / (1,02)¹⁶

PV = 10.000 / 1,372785705

PV = 7284,46

Przykład 10

Inwestujemy kapitał 7.284,46 . Stopa procentowa inwestycji wynosi r⁽⁴⁾ = 8% .

Oblicz wartość zakumulowaną kapitału po 4 latach.

Odpowiedź

FV = K(4) = 7284,46 ·1,02¹⁶

FV = 7284,46 ·1,372785705

FV = 10.000,00

Renta pewna

Ciąg płatności dokonywanych w równych odstępach czasu i równej wielkości.

Określenie

Wartość obecna renty jednostkowej pewnej płatnej z dołu przy stopie procentowej r:

a_n = a_{n r} = 1/(1+r) + 1/(1+r)² + … + 1/(1+r)ⁿ

a_n = v + v² + … + vⁿ

a_n = v(1-vⁿ)/(1-v)

a_n = (1-vⁿ)/r

Przykład 11

Jaka jest wartość obecna renty pewnej płatnej przez 6 lat z dołu przy stopie procentowej 5% i równej racie kapitałowej 5000.

Rozwiązanie

a₆ = (1 - 1/(1+0,05)⁶) / 0,05

a₆ = ( 1 - 1/1,340095641 ) / 0,05

a₆ = ( 1 - 0,746215396 ) / 0,05

a₆ = 0,253784603 / 0,05

a₆ = 5,075692067

Wartość obecna renty to 5000 · a₆ czyli

5000 · a₆ = 25.378,46

Określenie

Wartość przyszła renty jednostkowej pewnej płatnej z dołu przy stopie procentowej r:

s_n = s_{n r} = 1 + (1+r) + (1+r)² + … + (1+r)^n-1

s_n = (1 - (1+r)ⁿ)/(1 - (1+r) )

s_n = ( (1+r)ⁿ - 1) / r

Uwaga zachodzi:

s_n = (1+r)ⁿ · a_n

a_n = vⁿ · s_n

Przykład 12

Jaka jest wartość przyszła renty pewnej płatnej przez 6 lat z dołu przy stopie procentowej 5% i równej racie kapitałowej 5000.

Rozwiązanie

s₆ = ( (1+0,05)⁶ - 1) / 0,05

s₆ = ( 1,34009564 - 1) / 0,05

s₆ = 0,34009564 / 0,05

s₆ = 6,801912812

Wartość przyszła renty to 5000 · s₆ czyli

5000 · s₆ = 34.009,56

Przykład 13

Jaka jest wartość obecna kapitału 34.009,56 za 6 lat przy stopie procentowej 5%

Odpowiedź

PV = 34.009,56 / 1,05⁶

PV = 34.009,56 / 1,340095641

PV = 25.378,46

Przykład 14

Jaka jest wartość przyszła za 6 lat kapitału 25.378,46 przy stopie procentowej 5%

Odpowiedź

FV = 25.378,46 · 1,05⁶

FV = 25.378,46 · 1,340095641

FV = 34.009,56

Określenie

Wartość obecna renty jednostkowej pewnej płatnej z dołu m razy w roku (w wysokości 1/m przy każdej płatności) przy stopie procentowej r:

a_n^(m) = a_n^(m) _r = 1/m [1/(1+r)^1/m + 1/(1+r)^2/m + … + 1/(1+r)^nm/m ]

a_n^(m) = 1/m [v^1/m + v^2/m + … + v^nm/m ]

a_n^(m) = 1/m · v^1/m (1-vⁿ)/(1-v^1/m)

a_n^(m) = (1-vⁿ) / [m (v^1/m - 1)]

a_n^(m) = (1 - vⁿ) / r^(m)

Przykład 15

Jaka jest wartość obecna renty pewnej płatnej kwartalnie przez 6 lat z dołu przy efektywnej stopie procentowej r= 5% i rocznej racie kapitałowej 5000.

Rozwiązanie

a₆⁽⁴⁾ = (1 - 1/(1+0,05)⁶) / r⁽⁴⁾

Ponieważ:

(1 + r⁽⁴⁾/4)⁴ = 1 + r

r⁽⁴⁾ = 4 [ (1+r)^1/4 - 1]

r⁽⁴⁾ = 4 [ (1,05)^1/4 - 1]

r⁽⁴⁾ = 4 [ 1,012272234 - 1]

r⁽⁴⁾ = 4 · 0,012272234

r⁽⁴⁾ = 0,049088937

a₆⁽⁴⁾ = ( 1 - 1/1,340095641 ) / 0,049088937

a₆⁽⁴⁾ = ( 1 - 0,746215396 ) / 0,049088937

a₆⁽⁴⁾ = 0,253784603 / 0,049088937

a₆⁽⁴⁾ = 5,169893987

Wartość obecna renty to 5000 · a₆⁽⁴⁾ czyli:

5000 · a₆⁽⁴⁾ = 25.849,47

Określenie

Wartość przyszła renty jednostkowej pewnej płatnej z dołu m razy w roku (w wysokości 1/m przy każdej płatności) przy stopie procentowej r:

s_n^(m) = s_n^(m) _r = 1/m [1 + (1+r)^1/m + (1+r)^2/m + … + (1+r)^(nm-1)/m ]

s_n^(m) = ( (1+r)ⁿ - 1) / r^(m)

Uwaga zachodzi:

s_n^(m) = (1+r)ⁿ · a_n^(m)

a_n^(m) = vⁿ · s_n^(m)

Przykład 16

Jaka jest wartość przyszła renty pewnej płatnej kwartalnie przez 6 lat z dołu przy efektywnej stopie procentowej r= 5% i rocznej racie kapitałowej 5000.

Rozwiązanie

s₆⁽⁴⁾ = ( (1+0,05)⁶ - 1) / r⁽⁴⁾

r⁽⁴⁾ = 0,049088937

s₆⁽⁴⁾ = ( 1,34009564 - 1) / 0, 049088937

s₆⁽⁴⁾ = 0,34009564 / 0, 049088937

s₆⁽⁴⁾ = 6,928152395

Wartość przyszła renty to 5000 · s₆⁽⁴⁾ czyli

5000 · s₆⁽⁴⁾ = 34.640,76

Określenie

Wartość obecna renty nieskończonej jednostkowej pewnej płatnej z dołu przy stopie procentowej r:

a_∞ = a_{∞ r} = 1/(1+r) + 1/(1+r)² + … + 1/(1+r)ⁿ + …

a_∞ = v + v² + … + vⁿ + …

a_∞ = v /(1-v)

a_∞ = [1/(1+r)] / [ 1 - 1/(1+r) ]

a_∞ = 1 / [ (1+r) - 1 ]

a_∞ = 1/r

Przykład 17

Jaka jest wartość obecna renty pewnej nieskończonej płatnej z dołu przy stopie procentowej 5% i równej racie kapitałowej 5000.

Rozwiązanie - mamy obliczyć 5000·a_∞

5000·a_∞ = 5.000 / 0,05

5000·a_∞ = 100.000

Wartość obecna tej renty to 100.000,00 .

Określenie

Wartość obecna renty nieskończonej jednostkowej pewnej płatnej z dołu m razy w roku (w wysokości 1/m przy każdej płatności) przy stopie procentowej r :

a_∞^(m) = a_∞^(m) _r = (1/m) · [ 1/(1+r)^1/m + 1/(1+r)^2/m + … + 1/(1+r)^n/m + … ]

a_∞^(m) = (1/m) · [ v^1/m + v^2/m + … + v^n/m + … ]

a_∞^(m) = (1/m) · [ v^1/m /(1-v^1/m ) ]

a_∞^(m) = (1/m) · { [1/(1+r)^1/m ] / [ 1 - 1/(1+r)^1/m ] }

a_∞^(m) = 1 / m·[ (1 + r)^1/m - 1 ]

a_∞^(m) = 1/r^(m)

Przykład 18

Jaka jest wartość obecna renty pewnej nieskończonej płatnej kwartalnie z góry przy nominalnej stopie procentowej 4% i rocznej racie kapitałowej 5000.

Rozwiązanie - mamy obliczyć 5000·a_∞⁽⁴⁾

5000·a_∞⁽⁴⁾ = 5.000 / 0,04

5000·a_∞⁽⁴⁾ = 125.000

Wartość obecna tej renty to 125.000,00 .

Równoważność w czasie dwóch kwot pieniężnych (kapitałów).

Dwa kapitały: K w chwili t oraz P w chwili s są sobie równoważne w chwili T jeśli wartości obecne obu kapitałów wyliczone na chwilę T są sobie równe, czyli jeśli zachodzi:

PV(K) = PV(P)

PV(K,T) = PV(P,T)

Uwaga

W regule procentu złożonego, jeżeli dwa kapitały są sobie równoważne w chwili w chwili T przy stopie procentowej r to są sobie równoważne w każdej chwili przy stopie procentowej r.

W związku z tym mówimy o równoważności kapitału przy stopie procentowej r bez wymieniania chwili w której są one sobie równoważne.

Przykład 19

Rozważamy dwa kapitały: K = 5.000 w chwili t = 5, i P = 6.000 w chwili s = 8 przy stopie procentowej r = 8%. Czy są one sobie równoważne?

Rozwiązanie

Obliczymy wartość zaktualizowaną obu kapitałów na chwilę obecną (T=0).

PV(K) = 5.000 v⁵ = 5.000 / (1,08)⁵ = 5.000 / 1,46932801 = 3.402,92

PV(P) = 6.000 v⁸ = 6.000 / (1,08)⁸ = 6.000 / 1,85093021 = 3.241,61

Odpowiedź

Te kapitały nie są sobie równoważne przy stopie procentowej r = 8%. Przy tej stopie procentowej kapitał K = 5.000 w chwili t = 5 ma większą wartość niż kapitał P = 6.000 w chwili s = 8.

Przykład 20

Oblicz jaki kapitał K w chwili t = 3 jest równoważny kapitałowi W = 5.000 w chwili s = 9 przy stopie procentowej r = 5,2%.

Rozwiązanie

K = PV(W, s-t)

K = W·v^s-t

K = W / (1+r)^s-t

K = 5.000 / (1,052)^9-3

K = 5.000 / (1,052)⁶

K = 5.000 / 1,355484135

K = 3.668,72

Przykład 21

Oblicz jaki kapitał K w chwili t = 7 jest równoważny kapitałowi W = 8.000 w chwili s = 3 przy stopie procentowej r = 4,8%.

Rozwiązanie

K = PV(W, s-t)

K = W·v^s-t

K = W / (1+r)^s-t

K = 8.000 / (1,048)^3-7

K = 8.000 / (1,048)^-4

K = 8.000 · (1,048)⁴

K = 8.000 · 1,206271676

K = 9650,17

Strumień przepływów pieniężnych (kapitałowych)

To ciąg kapitałów w określonych momentach czasu: (K_i , t_i) , i = 1, 2, …m.

Równoważność dwóch strumieni przepływów finansowych (pieniężnych, kapitałowych).

Dane są dwa strumienie przepływów pieniężnych:

A = (K_i , t_i) , i = 1, 2, …m ,

B = (P_j , s_j) , j = 1, 2, … w .

Te dwa strumienie przepływów pieniężnych (kapitałowych) są równoważne przy stopie procentowej r, jeżeli wartości obecne obu strumieni pieniężnych są równe:

PV(A) = PV(B)

czyli

PV(K­₁) + PV(K­₂) + … + PV(K­_m) = PV(P­₁) + PV(P­₂) + … + PV(P­_w)

Przykład 22

Czy przy stopie procentowej r = 7,3% dwa strumienie przepływów kapitałowych:

A = (3.000 ; 1) , (2.000 ; 3) , (4.000 ; 5)

B = (1.000 ; 4) , (9.000 ; 8)

Są sobie równoważne.

Wartość długu niespłaconego

W każdej chwili musi zachodzić równość:

Wartość obecna długu = Wartość obecna wszystkich płatności

Wyznaczanie rat spłaty długu

Spłata długu równymi ratami.

Kapitał K ma być spłacony rentą pewną o n płatnościach z równą ratą R przy stopie procentowej r. Musi zachodzić równoważność pożyczanego kapitału K w chwili t = 0 oraz renty pewnej z ratą w wysokości R czyli:

K = R · a_n

Wyznaczanie wielkości raty R

MatFinUb W1.doc Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa

P. Zaremba 8/11

---