Materiały do wykładu

Wykład 6

Literatura:

1. Metody aktuarialne; Kowalczyk, Poprawska, Ronka-Chmielowiec; WN PWN 2006,

2. Ubezpieczenia na życie; Skałba. WNT; 1999,

3. Matematyka w ubezpieczeniach na życie, Matłoka; 1997.

Składki w ubezpieczeniach na życie

Zobowiązania w ubezpieczeniach na życie wyróżniają się cechami:

1. Długoterminowością - od momentu zawarcia umowy, kalkulacji składki, do momentu wypłaty świadczeń często upływa kilkanaście, a nawet kilkadziesiąt lat;

2. Odłożeniem w czasie kupna usługi, od realizacji usługi;

3. Niemożnością bezpośredniego sprawdzenia jakości usługi, poleganie na dobrym „imieniu firmy”.

Składka ubezpieczeniowa składa się ze składki ubezpieczeniowej netto i z narzutu mającego pokryć koszty zawarcia umowy, prowadzenia ubezpieczenia, reklamy, zarobku firmy.

Przy równej składce składka ubezpieczeniowa netto skład się z dwóch części: składki ryzyka (risk premium) i składki oszczędnościowej (save premium).

Składka ryzyka służy do pokrycia ryzka śmierci w danym roku. Ta wielkość wraz z upływem czasu rośnie.

Składka oszczędnościowa gromadzona w postaci rezerwy matematycznej. Ta wielkość wraz z upływem czasu maleje.

Wielkość składki jest stała w całym okresie składkowym. Wielkość wypłat nie. Ta różnica wyrównywana jest rezerwą matematyczną.

Wpływ na wielkość składki mają trzy podstawowe czynniki:

1. Prawdopodobieństwo zrealizowania się śmierci,

2. Wielkość zysku osiągana z zainwestowanego kapitału (wielkość ta określana jest tzw. techniczną stopą procentową),

3. Koszty związane ze sprzedażą i prowadzeniem ubezpieczenia.

Na wielkość składki netto mają wpływ:

1. Rodzaj ubezpieczenia,

2. Wysokość sumy ubezpieczenia,

3. Długość okresu ubezpieczenia,

4. Długość okresu płacenia składki,

5. Częstotliwość płacenia składki.

Ubezpieczenia na życie są ubezpieczeniami długoterminowymi.

Część składki tworząca rezerwę matematyczną jest inwestowana. W długim okresie czasu stopa zwrotu z inwestycji jest zmienna. Stopa techniczna jest równa przewidywanej średniej wartości stopy zwrotu w tym okresie.

Elementy modelu demograficznego

Podstawą wszystkich rozważań w teorii ubezpieczeń na życie jest funkcja przeżycia s(x) - podaje ona prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek losowo wybrany z danej populacji noworodków dożyje x lat. Jeżeli przez F(x) oznaczymy dystrybuantę długości życia noworodka to zachodzi:

1 - F(x) = s(x).

Do obliczeń związanych z czasem trwania życia wygodne jest wprowadzenie następujących oznaczeń:

_np_x - prawdopodobieństwo przeżycia jeszcze n-lat przez noworodka, który dożył do wieku x-lat

_nq_x - prawdopodobieństwo nieprzeżycia jeszcze n-lat przez noworodka, który dożył do wieku x-lat

Oznaczenia:

p_x = ₁p_x

q_x = ₁q_x

Zachodzą związki:

_np_x + _nq_x = 1

_np_x = s(x+n) / s(x)

_nq_x = 1 - ( s(x+n) / s(x) )

Wprowadza się zmienne losowe: X - długość życia noworodka, T - czas dalszego życia x-latka:

T(x) = X - x , dla X ≥ x.

Tablice trwania życia

Tablice trwania życia pozwalają liczyć prawdopodobieństwa przeżycia i śmierci.

Pozwalają określać zmniejszanie się zbiorowości urodzonych w tym samym okresie.

Opracowywanie tablic umieralności jest bardzo kosztowne, długotrwałe, pracochłonne.

Firmy ubezpieczeniowe wykorzystują tablice populacyjne opracowywane i publikowane corocznie przez GUS.

Konstruuje się tablice kohortowe, wymagające informacji o zgonach osób z kohorty (urodzonych w tym samym okresie), aż do całkowitego wymarcia całej kohorty (wymarcia całej generacji).

Obserwacje kohortowe łatwo mogą być zaburzane wydarzeniami losowymi - wojną, klęskami żywiołowymi, epidemiami…

Konstruowane są też tablice przekrojowe (bieżące), podające poziom umieralności wszystkich ludzi (różnych generacji). Tutaj prawdopodobieństwa zgonu określa się na podstawie krótkich okresów czasu.

Podstawą do budowy tablic trwania życia są dokładne informacje dotyczące ludności według struktury płci, wieku, roczników urodzenia, miejsca zamieszkania, grup społecznych.

W Polsce GUS opracowuje populacyjne tablice trwania życia w podziale na kobiety i mężczyzn oraz mieszkańców miast i wsi.

Punktem wyjścia przy budowie tablic trwania życia jest prawdopodobieństwo zgonu (dla x-latka), oszacowane na podstawie danych empirycznych.

Dane dotyczące zgonów zawarte w tablicach trwania życia dzielą się na trzy części:

1. Pierwsze pięć roczników (lata 0 - 4),

2. Roczniki 5 - 79,

3. Roczniki powyżej 79.

W tablicach trwania życia:

1. Liczba dożywających wieku x - l_x

2. Liczba zgonów x latków - d_x

3. Prawdopodobieństwo zgonu x latka - q_x

4. Prawdopodobieństwo przeżycia roku przez x latka - p_x

5. Przeciętne dalsze trwanie życia - e_x

6. Prawdopodobieństwo przeżycia n kolejnych lat przez x latka - _np_x

7. Prawdopodobieństwo nie przeżycia n kolejnych lat przez x latka - _nq_x

8. Prawdopodobieństwo, że x latek umrze między x+m, a x+m+n - _m|nq_x

9. Prawdopodobieństwo, że x latek umrze między x+m, a x+m+1 - _m|q_x

Zachodzi

d_x = l_x - l_x+1

d₀ + d₂ + … + d_w = l₀

q_x = d_x / l_x

p_x = 1 - q_x

_np_x = l_x+n / l_x

_nq_x = (l_x - l_x+n) / l_x

_m|nq_x = (l_x+m - l_x+m+n) / l_x = _mp_x - _m+np_x

_m|q_x = (l_x+m - l_x+m+1) / l_x = d_x+m / l_x

Przykład1

Wyznaczyć prawdopodobieństwo przeżycia kolejnego roku przez 35 letnią kobietę.

Rozwiązanie

Tablice

p₄₅ = 1 - q₃₅ = 1 - 0,00091 = 0,99909

Przykład 2

Wyznaczyć prawdopodobieństwo przeżycia kolejnych 35 lat przez mężczyznę 25 latka

Rozwiązanie

₃₅p₂₅ = l₂₅₊₃₅ / l₂₅ = l₆₀ / l₂₅ = 73602,38 / 96969,41 = 0,75902679

Przykład 3

Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że 35 letnia kobieta, umrze prze ukończeniem 80 lat zycia.

Rozwiązanie

₄₅q₃₅ = (l₃₅ - l₃₅₊₄₅) / l₃₅ = (l₃₅ - l₈₀) / l₃₅ = (97568,18 - 24644,27) / 97568,18

₄₅q₃₅ = 0,747414885

Przykład 4

Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że 57 letni mężczyzna umrze między 70 a 71 rokiem życia.

Rozwiązanie

_13|q₅₇ = (l₅₇₊₁₃ - l_57+13+1) / l₅₇ = d₅₇₊₁₃ / l₅₇ = d₇₀ / l₅₇ = 2593,1879 / 78426,91

_13|q₅₇ = 0,033065027

Przykład 5

Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że 57 letni kobieta umrze między 70 a 71 rokiem życia.

Rozwiązanie

_13|q₅₇ = (l₅₇₊₁₃ - l_57+13+1) / l₅₇ = d₅₇₊₁₃ / l₅₇ = d₇₀ / l₅₇ = 1952,6842 / 91224,19

_13|q₅₇ = 0,021405333

Przykład 6

Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że 30 letni kobieta umrze między 70 a 80 rokiem życia.

Rozwiązanie

_40|10q₃₀ = (l₃₀₊₄₀ - l_30+40+10) / l₃₀ = (l₇₀ - l₈₀) / l₃₀ = (76756,46 - 49080,73) / 97896,67

_40|10q₃₀ = 0,282703487

Najprostsze polisy ubezpieczeniowe

i - techniczna stopa procentowa

Z - wartość obecna świadczenia z polisy

E(Z) - wartość oczekiwana obecnej wartości świadczenia - składka jednorazowa netto

K - całkowita ilość lat przeżyta do chwili śmierci

Przyjmujemy dla uproszczenia, że wielkość sumy ubezpieczenia wynosi 1.

Ubezpieczenie bezterminowe na życie ze świadczeniem płatnym na koniec roku świadczenia.

Wypłata następuje po zgonie ubezpieczonego, na koniec roku.

Z = v^K+1

Składka jednorazowa netto wynosi:

A_x = E(Z) = E(v^K+1)

Ubezpieczenie terminowe ze świadczeniem płatnym na koniec roku śmierci, jeśli śmierć nastąpi przed upływem terminu.

Przyjmujemy, że termin wynosi n. Czas ubezpieczenia wynosi n. Jeśli ubezpieczony umrze w czasie ubezpieczenia wypłata następuje na koniec roku śmierci. Jeśli ubezpieczony nie umrze nie ma żadnej wypłaty.

Z = v^K+1 gdy K = 0, 1, … , (n-1)

0 gdy K ≥ n

Ubezpieczenie na dożycie

Wypłata następuje jeśli ubezpieczony x latek przeżyje jeszcze n lat. Wypłata następuje na koniec n tego roku.

Jeśli ubezpieczony nie dożyje, nie ma żadnej wypłaty.

Z = 0 gdy K < n

vⁿ gdy K ≥ n

Ubezpieczenie na życie i dożycie

Jeśli ubezpieczony x latek umrze przed terminem n wypłata następuje na koniec roku śmierci.

Jeśli ubezpieczony dożyje n lat, wypłata następuje na koniec n tego roku.

Z = v^K+1 gdy K = 0, 1, … , (n-1)

vⁿ gdy K ≥ n

Przykład 7

Oblicz jednorazową składkę netto w 3 letnim ubezpieczeniu na życie dla 40 letniego mężczyzny, przy technicznej stopie procentowej 5% i sumie ubezpieczenia 30.000 zł

Rozwiązanie

Najpierw policzymy dla sumy ubezpieczenia 1, potem wynik przemnożymy przez 30.000.

= (1/1,05)(l₄₀ / l₄₀)(d₄₀ / l₄₀) + (1/1,05)²(l₄₁ / l₄₀)(d₄₁ / l₄₁) +(1/1,05)³(l₄₂ / l₄₀)(d₄₂ / l₄₂) =

=

Przykład 8

Oblicz jednorazową składkę netto w 3 letnim ubezpieczeniu na dożycie dla 40 letniego mężczyzny, przy technicznej stopie procentowej 5% i sumie ubezpieczenia 30.000 zł

Rozwiązanie

Najpierw policzymy dla sumy ubezpieczenia 1, potem wynik przemnożymy przez 30.000.

= (1/1,05)³ (l₄₃ / l₄₀) =

Przykład 9

Oblicz jednorazową składkę netto w 3 letnim ubezpieczeniu na życie i dożycie dla 40 letniego mężczyzny, przy technicznej stopie procentowej 5% i sumie ubezpieczenia 30.000 zł

Rozwiązanie

Najpierw policzymy dla sumy ubezpieczenia 1, potem wynik przemnożymy przez 30.000.

=

Renty życiowe

Renta życiowa bezterminowa

Wypłata w wysokości 1 płatna z góry dopóki żyje ubezpieczony.

Y = 1 + v¹ + v² + … + v^K

a^.._x = E(Y) = 1 + v¹ ₁p_x + v² ₂p_x + … + v^k_kp_x + …

Renta życiowa czasowa n-letnia

Wypłata w wysokości 1 płatna z góry dopóki żyje ubezpieczony lecz nie dłużej niż n lat.

Y = 1 + v¹ + v² + … + v^{min(K , n-1)}

a^.._{x : n|} = E(Y) = 1 + v¹ ₁p_x + v² ₂p_x + … + vⁿ_np_x

Renta życiowa bezterminowa odroczona

Wypłata w wysokości 1 płatna z góry n lat po zawarciu ubezpieczenia, dopóki żyje ubezpieczony.

Przez pierwszych n lat nie ma wypłat.

Y = 0 jeśli K = 0, 1, 2, … (n-1)

Y = vⁿ + vⁿ⁺¹ + v ⁿ⁺² + … + v ^n+K jesli K > n

_n|a^.._x = E(Y) = a^.._{x + n} · vⁿ · _np_x

Funkcje komutacyjne

Zachodzą wzory :

a^.._x = N_x / D_x

a^.._{x : n|} = (N_x - N_x+n) / D_x

_n|a^.._x = N_x+m / D_x

Przykład 10

Wyznacz składkę jednorazową netto dla 15 letniego ubezpieczenia na wypadek śmierci dla 35 letniej kobiety, przy technicznej stopie procentowej 5%, i sumie ubezpieczenia 30.000 zł.

Rozwiązanie

Najpierw policzymy dla sumy ubezpieczenia 1, potem wynik przemnożymy przez 30.000.

= (2579,29 - 2229,25) / 17688,16 = 350,04 / 17688,16 = 0,019789509

Składka jednorazowa netto wynosi:

30.000 · 0, 019789509 = 593,69 zł

Przykład 11

Wyznacz składkę jednorazową netto dla 30 letniego mężczyzny w ubezpieczeniu na życie, przy technicznej stopie procentowej 5%, i sumie ubezpieczenia 40.000 zł.

Rozwiązanie

Najpierw policzymy dla sumy ubezpieczenia 1, potem wynik przemnożymy przez 40.000.

A₃₀ = M₃₀ / D₃₀ =

MatFinUb W6.doc Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa

P. Zaremba 7/7

---