Materiały do wykładu

Wykład 5

Dyskontowanie weksla

Weksel jest dokumentem stwierdzającym bezwarunkowe zobowiązanie do zapłaty.

Interesują nas dwa parametry weksla: wartość nominalna weksla oraz termin płatności.

Wartość aktualna weksla

Chcemy ustalić wartość aktualną weksla (wartość zdyskontowaną).

Wartość aktualna weksla wyznaczana jest według reguły dyskonta prostego.

Przyjmijmy oznaczenia:

W_N - wartość nominalna (suma wekslowa, kwota wekslowa);

W_A - wartość aktualna (wartość zdyskontowana);

d - stopa dyskontowa;

t - czas aktualizacji;

D - dyskonto (kwota dyskonta).

W_A = W_N · (1 - d·t)

D = W_N · d · t

W_A = W_N - D

Pamiętamy o wymogu zgodności jednostek.

W powyższym wzorze:

t - to czas wyrażany w latach;

d - to roczna stopa dyskontowa.

Czas dyskontowania najczęściej sami musimy wyznaczyć na podstawie daty wymagalności weksla i daty aktualizacji.

Do wyznaczania ilości dni może być stosowana reguła 30/360 lub reguła dokładna/365.

W zależności od stosowanej reguły wzory będą miały postać:

W_A = W_N · (1 - d · (dni/360) )

D = W_N · d · (dni/360)

lub

W_A = W_N · (1 - d · (dni/365) )

D = W_N · d · (dni/365)

Przykład 1

Dyskontujemy 14 grudnia 2008 weksel wymagany 15 kwietnia 2009 o wartości nominalnej 100.000 zł przy stopie dyskontowej d = 6,52%.

Oblicz wartość zdyskontowaną weksla i kwotę dyskonta według reguły 30/360.

Rozwiązanie

Ilość dni liczymy według reguły 30/360:

dni = (2009 - 2008)·360 + (4 - 12)·30 + (15 - 14)

dni = 360 - 240 + 1 = 121

Wartość zdyskontowaną liczymy według reguły dyskonta prostego:

W_A = 100.000 · (1 - 0,0652 · (121 / 360))

W_A = 97.808,56

Wartość dyskonta:

D = 100.000 · 0,0652 · (121 / 360)) = 2.191,44

D = W_N - W_A = 100.000 - 97.808,56 = 2.191,44

Ustalenie wartości nominalnej weksla

W chwili obecnej powstaje zobowiązanie płatnicze w wysokości K.

Jaka ma być wartość nominalna weksla wynikająca z odroczenia płatności.

W_N = K / (1 - d·t)

W praktyce bankowej często stosuje się wzór:

W_N = 360·K / (360 - d · dni)

Przykład 2

Weksel ma zabezpieczyć płatność 40.000zł odroczoną o 90 dni przy stopie dyskontowej d = 8,6%.

Oblicz wartość nominalną weksla.

Rozwiązanie

W_N = 40.000 /(1 - 0,086 · (90/360))

W_N = 40.000 /(1 - 0,086 · 0,25)

W_N = 40.000 /(1 - 0,0215)

W_N = 40.000 / 0,9785

W_N = 40.878,90

Równoważność weksli

Czasami zachodzi konieczność zastąpienia kilku weksli (portfela weksli) jednym, równoważnym wekslem.

Mówimy wtedy o odnowieniu zobowiązań.

Portfel weksli (W₁ , T₁), (W₂ , T₂), … , (W_N , T_N) zastąpić jednym wekslem (W_Z , T_Z).

Gdzie:

W₁, W₂,… , W_N, W_Z, - to wartości nominalne weksli;

T₁, T₂,… , T_N, T_Z, - to daty wymagalności weksli.

t₁, t₂,… , t_N, t_Z, - to czas do daty wymagalności weksli od daty T₀ .

Musi zachodzić równoważność weksli w chwili obecnej T₀ .

W_Z·(1-d·t_Z) = W₁·(1-d·t₁) + W₂·(1-d·t₂) + … + W_N·(1-d·t_N)

Skąd dostajemy:

W_Z = { W₁·(1-d·t₁) + W₂·(1-d·t₂) + … + W_N·(1-d·t_N) } / (1-d·t_Z)

Lub w postaci równoważnej

W_Z = { W₁·(360-d·dni₁) + W₂·(360-d·dni₂) + … + W_N·(360-d·dni_N) } / (360-d·dni_Z)

Przykład 3

W dniu 14 grudnia 2008 weksel o wartości nominalnej 12.000zł wymagalny 20 kwietnia 2009 chcemy zamienić wekslem wymagalnym 20 maja 2009, przy stopie dyskontowej d = 8,2%.

Wyznacz wartość nominalną odnowionego weksla.

Rozwiązanie

dni(1) = 360 + (4 - 12)·30 + (20 - 14) = 360 - 240 + 6 = 126

dni(Z) = 360 + (5 - 12)·30 + (20 - 14) = 360 - 210 + 6 = 156

W_Z = 12.000·(360 - 0,082·126) / (360 - 0,082·156)

W_Z = 12.000·(360 - 10,332) / (360 - 12,792)

W_Z = 12.000 · 349,668 / 347,208

W_Z = 12.000 · 1,007085

W_Z = 12.085,02

Odnowiony weksel powinien mieć wartość nominalną 12.085,02 zł.

Przykład 4

W dniu 14 grudnia 2008 chcemy zastąpić trzy weksle:

weksel o wartości nominalnej 16.000zł wymagalny 2 kwietnia 2009 ;

weksel o wartości nominalnej 8.000zł wymagalny 10 maja 2009 ;

weksel o wartości nominalnej 20.000zł wymagalny 15 czerwca 2009 ;

jednym wekslem wymagalnym 30 czerwca 2009, przy stopie dyskontowej d = 7,8%.

Wyznacz wartość nominalną odnowionego weksla.

Rozwiązanie

dni(1) = 360 + (4 - 12)·30 + (2 - 14) = 360 - 240 - 12 = 108

dni(1) = 360 + (5 - 12)·30 + (10 - 14) = 360 - 210 - 4 = 146

dni(1) = 360 + (6 - 12)·30 + (15 - 14) = 360 - 180 + 1 = 181

dni(Z) = 360 + (6 - 12)·30 + (30 - 14) = 360 - 180 + 16 = 196

W_Z = {16000·(360-0,078·108) + 8000·(360-0,078·146) + 20000·(360-0,078·181)}/(360-0,078·196)

W_Z = {16000·(360-8,424) + 8000·(360-11,388) + 20000·(360-14,118)}/(360-15,288)

W_Z = {16000·351,576 + 8000·348,612 + 20000·345,882} / 344,712

W_Z = {5625216,00 + 2788896,00 + 6917640,00} / 344,712

W_Z = 15331752,00 / 344,712

W_Z = 44.476,99 zł

Reguła bankowa oprocentowania

Banki zazwyczaj liczą oprocentowanie według następujących reguł:

1. Odsetki:

1. Całe lata liczone są według procentu złożonego;

2. Okres mniejszy niż rok liczony jest według procentu prostego;

2. Czas

1. Liczony jest według reguły 30/360.

Kwota K₀ została ulokowana w banku na czas t = n + u, gdzie n to liczba całkowita dodatnia, u liczba dodatnia z przedziału [0,1), przy stopie procentowej r.

Wartość zakumulowaną liczymy ze wzoru:

K_t = K₀ · (1 + r)ⁿ · (1 + r · u) .

Przykład 5

Oblicz wartość zakumulowaną i odsetki dla kwoty K = 10.000 zł ulokowanej w banku na czas t = 3,5 roku przy stopie procentowej r = 5,6%.

Rozwiązanie

K_t = 10.000 · (1 + 0,056)³ · (1 + 0,056 · 0,5)

K_t = 12105,56

Zmienna stopa procentowa

Wartość przyszła kapitału

W chwili t₀ = 0 jest kapitał K₀. Oblicz jego wartość w chwili T.

Na przedziale czasowym [0, T] obowiązująca stopa procentowa według której liczymy wartość zaktualizowaną (skumulowaną) zmienia się zgodnie ze schematem:

Podział przedziału czasowego:

0 = t₀ < t₁ < t₂ < … t_n = T

Na przedziale czasowym [t_i-1 , t_i] obowiązywała stopa procentowa r_i .

Wartość zakumulowana wynosi:

K_T = K₀ · (1 + r₁)^(t1-t0) · (1 + r₂)^(t2-t1) · (1 + r₃)^(t3-t2) · … · (1 + r_n)^{(tn - t(n-1))}

Przykład 6

Kapitał 2500 zł zainwestowano w chwili 0 przy stopie procentowej r₁ = 8,5%.

Oblicz wartość zakumulowaną kapitału w chwili T = 6.

W chwili t₁ = 2,6 stopa procentowa uległa zmianie i wynosiła r₂ = 8,1% aż do chwili t₂ = 4,5.

W chwili 4,5 stopa procentowa uległa zmianie na r₃ = 7,8%.

Rozwiązanie

t0		t1		t2		t3 = T
0		2,6		4,5		6
2.500,00	8,5%		8,1%		7,8%

K_T = K₆ = 2500 · 1,085^2,6 · 1,081^(4,5-2,6) · 1,078^(6-4,5)

K₆ = 3.090,70 · 1,081^(4,5-2,6) · 1,078^(6-4,5)

K₆ = 3.583,65 · 1,078^(6-4,5)

K₆ = 4.011,02

t0		t1		t2		t3 = T
0		2,6		4,5		6
2.500,00	8,5%	3.090,70	8,1%	3.583,65	7,8%	4.011,02

Wartość obecna kapitału

W chwili T jest kapitał K_T. Oblicz jego wartość w chwili 0.

Na przedziale czasowym [0, T] obowiązująca stopa procentowa według której liczymy wartość zaktualizowaną (zdyskontowaną) zmienia się zgodnie ze schematem:

Podział przedziału czasowego:

0 = t₀ < t₁ < t₂ < … t_n = T

Na przedziale czasowym [t_i-1 , t_i] obowiązywała stopa procentowa r_i .

Wartość zdyskontowana wynosi:

K₀ = K_T · v^{(tn - t(n-1))} · v^{(t(n-1) - t(n-2))} · … · v^{(t2 - t1)} · v ^(t1-t0)

Przykład 7

W chwili T = 8,5 dany jest kapitał 8.000 zł.

Oblicz wartość zaktualizowaną (zdyskontowaną) kapitału na chwilę 0.

Historia zmian stóp procentowych na przedziale czasowym [0 ; 8,5] była następująca:

Od chwili 0 do chwili 3,1 stopa procentowa była równa 8,6%.

Od chwili 3,1 do chwili 5,8 stopa procentowa była równa 7,9%.

Od chwili 5,8 stopa procentowa była równa 9,1%.

Rozwiązanie

t0		t1		t2		t3 = T
0		3,1		5,8		8,5
	8,6%		7,9%		9,1%	8.000

K₀ = K_8,5 · v_0,091^{(8,5 - 5,8)} · v_0,079^{(5,8 - 3,1)} · v_0,086^3,1

K₀ = 8.000 · 1/1,091^{(8,5 - 5,8)} · 1/1,079^{(5,8 - 3,1)} · 1/1,086^3,1

K₀ = 6.323,58 · 1/1,079^{(5,8 - 3,1)} · 1/1,086^3,1

K₀ = 5.149,98 · 1/1,086^3,1

K₀ = 3.987,79

t0		t1		t2		t3 = T
0		3,1		5,8		8,5
3.987,79	8,6%	5.149,98	7,9%	6.323,58	9,1%	8.000,00

Wartość zaktualizowana strumienia kapitałów

Dany jest strumień kapitałów: (K₁ , t₁), (K₂ , t₂), …, (K_n , t_n).

Wiemy jakie były (są prognozowane) stopy procentowe oraz momenty zmian stóp: (r₁ , s₁) , (r₂ , s₂) , …, (r_k , s_k) .

Do chwili s₁ stopa procentowa r₁, na przedziale czasowym (s₁ , s₂) stopa procentowa r₂ , … , na przedziale czasowym (s_k-1 , s_k) stopa procentowa r_k .

Należy obliczyć wartość zaktualizowaną tego strumienia kapitałów na chwilę T.

Nanosimy wszystkie chwile czasowe na oś czasową.

Złożone zadanie aktualizacji strumienia kapitałów rozbijamy na pojedyncze zadania aktualizacji - kumulowania lub dyskontowania.

Przykład 8

Dany jest strumień kapitałów postaci (K , t):

(3000 , 1) , ( 1000 , 3) , (2000 , 6) , (4000 , 7)

Zmiany stóp procentowych opisuje ciąg postaci (r , t) - stopa procentowa r obowiązywała do chwili t:

(6,2% , 2) , (7,4% , 5) , (8,0% , 8) .

Oblicz wartość K_T zaktualizowaną tego strumienia kapitałów na chwilę T = 4.

1		2		3		4		5		6	7	8
3000				1000						2000	4000
	6,2%		7,4%						8,0%

K_T wartość zaktualizowana na chwilę 4 równa się:

K_T = 3000·1,062^(2-1)·1,074^(4-2) + 1000·1,074^(4-3) + 2000/{1,08^(6-5)·1,074^(5-4)} + 4000/{1,08^(7-5)·1,074^(5-4)}

K_T = 3000·1,062^(2-1)·1,074^(4-2) + 1000·1,074^(4-3) + 2000/{1,08^(6-5)·1,074^(5-4)} + 4000/{1,08^(7-5)·1,074^(5-4)}

K_T = 3.674,97 + 1.074,00 + 1.724,26 + 3.152,08

K_T = 9625,31

MatFinUb W5.doc Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa

P. Zaremba 7/7

---