Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
2
1
, S
S
- cena spot baryłki ropy odpowiednio obecna i w grudniu 2011
2
1
, F
F
- cena futures baryłki oleju odpowiednio obecna i w grudniu 2011
h – liczba kontraktów futures (szukana odpowiedź)
minimalizujemy wariancję ekspozycji czyli:
(
)
(
)
(
)
42000
2000000
2000000
42000
2000000
1
2
1
2
1
1
2
2
⋅
⋅
−
−
⋅
−
+
=
⋅
⋅
−
−
=
h
F
F
S
S
S
h
F
F
S
Y
1
S
jest stałe i
F
F
F
S
S
S
∆
=
−
∆
=
−
1
2
1
2
,
Minimalizujemy więc wariancję
42000
2000000
⋅
⋅
∆
−
∆
⋅
=
h
F
S
X
S
∆
- zmiana ceny spot ropy a wiemy, że
( )
2
2
2
1
2
2
1
170
31
,
0
31
,
0
var
31
,
0
var
⋅
=
=
∆
→
=
∆
S
S
S
S
Analogicznie:
( )
2
2
2
1
5
,
167
23
,
0
var
23
,
0
var
⋅
=
∆
→
=
∆
F
F
F
(
)
89
,
0
,
,
1
1
=
∆
∆
=
∆
∆
S
F
S
S
F
F
ρ
ρ
(
) (
)
( )
( )
170
31
,
0
5
,
167
23
,
0
89
,
0
var
var
,
,
cov
⋅
⋅
⋅
⋅
=
∆
∆
⋅
∆
∆
=
∆
∆
S
F
S
F
S
F
ρ
( )
( )
(
)
→
∆
∆
⋅
⋅
⋅
−
⋅
∆
+
∆
=
S
F
h
F
h
S
X
,
cov
42000
4000000
42000
var
var
2000000
var
2
2
2
(
)
( )
(
)
( )
=
∆
∆
∆
=
⋅
∆
∆
∆
=
→
F
S
F
F
S
F
h
var
42000
,
cov
2000000
42000
var
2
,
cov
4000000
min
58
42000
5
,
167
23
,
0
170
31
,
0
5
,
167
23
,
0
89
,
0
2000000
2
2
≈
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
Zadanie 2
R – stopa zwrotu
R
f
st
R
R
β
+
=
f
R - stopa wolna od ryzyka
R
st
- risk premium
Dla I portfela:
08135
,
0
031
,
0
85
,
0
055
,
0
=
⋅
+
=
R
(nie uwzględniamy dodatkowej premii)
Lub
(
)
0839
,
0
003
,
0
031
,
0
85
,
0
055
,
0
=
+
⋅
+
=
R
(uwzględniamy dodatkową premię za ryzyko)
Dla portfela II:
08084
,
0
038
,
0
68
,
0
055
,
0
=
⋅
+
=
R
Jak widać w obu przypadkach stopa zwrotu portfela I jest większa od stopy portfela II
Zadanie 3
i
p - prawdopodobieństwo wypłacalności w i-tym roku
konca
do
osc
wyplacaln
sie
utrzyma
ze
bienstwo
prawdopodo
-
1
32
,
0
75
,
0
85
,
0
9
,
0
25
,
0
85
,
0
9
,
0
15
,
0
9
,
0
1
,
0
4
3
2
1
5
4
3
2
1
p
p
p
p
p
p
p
p
p
−
−
−
−
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
=
055
,
1
150000
3
,
0
1
⋅
=
w
2
2
055
,
1
150000
3
,
0
055
,
1
150000
065
,
0
⋅
+
⋅
=
w
3
2
3
055
,
1
150000
3
,
0
055
,
1
150000
065
,
0
055
,
1
150000
065
,
0
⋅
+
⋅
+
⋅
=
w
4
3
2
4
055
,
1
150000
3
,
0
055
,
1
150000
065
,
0
055
,
1
150000
065
,
0
055
,
1
150000
065
,
0
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
w
4
4
3
2
5
055
,
1
150000
055
,
1
1
055
,
1
1
055
,
1
1
055
,
1
1
150000
065
,
0
+
+
+
+
⋅
=
w
93816
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
≈
+
+
+
+
=
w
p
w
p
w
p
w
p
w
p
ODP
Zadanie 4
Gdy
(
)
+
=
→
≅
2
2
2
1
exp
,
σ
σ
w
Ee
w
N
X
X
Przy braku arbitrażu:
( )
(
)
09
,
0
;
0
3
,
0
bo
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
0
(
005
,
0
045
,
0
05
,
0
3
,
0
05
,
0
05
,
0
N
Z
e
A
e
e
A
e
E
A
e
ES
e
S
Z
≅
=
=
=
=
−
−
−
−
Z
e
e
S
S
e
S
A
3
,
0
005
,
0
005
,
0
)
0
(
)
1
(
)
0
(
)
1
(
=
→
=
→
( )
=
=
=
=
−
−
−
05
,
0
6
,
0
01
,
0
05
,
0
2
6
,
0
01
,
0
2
05
,
0
2
2
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
1
(
e
e
E
e
e
S
e
e
S
E
e
S
S
E
ODP
Z
Z
(
)
14
,
0
05
,
0
36
,
0
5
,
0
01
,
0
36
,
0
;
0
6
,
0
e
e
e
e
N
Z
=
=
≅
=
−
⋅
Zadanie 5
st(AA) – stan, że na początku roku 2 rating A i na początku roku 3 rating A
st(AB), st(BA), st(BB) – analogicznie
BB
BA
AB
AA
p
p
p
p
,
,
,
- odpowiednie prawdopodobieństwa
BB
BA
AB
AA
w
w
w
w
,
,
,
- odpowiednie wartości obligacji
49
,
0
7
,
0
2
=
=
AA
p
21
,
0
3
,
0
7
,
0
=
⋅
=
AB
p
(
)
[
]
(
)
[
]
1
1
1
1
07
,
1
...
07
,
0
05
,
1
...
05
,
0
−
−
−
−
+
+
+
+
+
+
+
=
B
B
A
A
n
n
B
B
n
n
A
A
v
v
v
N
c
v
v
v
N
c
M
(
)
(
)
(
)
→
−
+
−
+
+
+
=
−
⋅
−
A
A
n
A
n
A
v
n
v
n
v
v
I
II
1
05
,
1
1
...
2
05
,
0
9161
,
0
9161
,
0
168
,
9
:
3
2
(
)
(
)
(
)
1
1
2
1
05
,
1
1
...
2
05
,
0
168
,
8
9161
,
0
−
−
−
+
−
+
+
+
=
⋅
→
A
A
n
A
n
A
v
n
v
n
v
v
v
Analogicznie:
(
)
(
)
(
)
1
1
2
1
07
,
1
1
...
2
07
,
0
0736
,
1
611
,
6
:
−
−
−
+
−
+
+
+
=
⋅
−
B
B
n
B
n
B
v
n
v
n
v
v
v
v
III
IV
v
x
v
x
L
A
A
0736
,
1
611
,
6
0736
,
1
1
168
,
8
9161
,
0
9161
,
0
⋅
−
+
⋅
=
z I:
(
)
1
1
05
,
1
...
1
05
,
0
9161
,
0
−
−
+
+
+
=
A
A
n
n
v
v
v
(
)
05
,
0
9161
,
0
05
,
1
...
05
,
0
1
1
−
=
+
+
+
→
−
−
v
v
v
v
A
A
n
n
Z III:
(
)
1
1
07
,
1
...
1
07
,
0
0736
,
1
−
−
+
+
+
=
B
B
n
n
v
v
v
(
)
07
,
0
0736
,
1
07
,
1
...
07
,
0
1
1
−
=
+
+
+
→
−
−
v
v
v
v
B
B
n
n
−
−
+
−
=
07
,
0
0736
,
1
0736
,
1
1
05
,
0
9161
,
0
9161
,
0
v
x
v
x
M
A
A
(
)
(
)
−
−
+
−
⋅
⋅
−
+
⋅
=
0736
,
1
07
,
0
06
,
1
1
9161
,
0
05
,
0
06
,
1
06
,
1
611
,
6
1
06
,
1
168
,
8
579
,
7
A
A
A
A
A
x
x
x
x
x
=
−
+
−
−
−
0736
,
1
07
,
0
06
,
1
579
,
7
0736
,
1
07
,
0
06
,
1
9161
,
0
05
,
0
06
,
1
579
,
7
A
x
(
)
611
,
6
06
,
1
611
,
6
06
,
1
06
,
1
168
,
8
⋅
+
⋅
−
⋅
=
A
x
(
)
611
,
6
168
,
8
06
,
1
9161
,
0
05
,
0
0736
,
1
07
,
0
579
,
7
0736
,
1
07
,
0
06
,
1
579
,
7
611
,
6
06
,
1
−
−
−
−
−
⋅
=
A
x
6
,
0
9161
,
0
0736
,
1
1
0736
,
1
1
9161
,
0
≈
−
=
−
=
=
A
A
A
A
B
B
A
A
x
x
x
x
N
c
N
c
ODP
Zadanie 8
Odsetki spłacone w I półroczu:
13000
400000
2
065
,
0
)
1
(
=
⋅
=
OD
Kredyt po roku
6
12
065
,
0
1
400000
)
1
(
+
=
K
12
/
065
,
0
;
360
)
1
(
Xa
K
=
Kredyt po 120 ratach:
12
/
065
,
0
;
240
12
/
065
,
0
;
360
12
/
065
,
0
;
240
)
1
(
)
2
(
)
2
(
a
a
K
K
Xa
K
=
→
=
Raty zapłacone w 2 okresie:
12
065
,
0
12
065
,
0
1
1
1
12
065
,
0
1
400000
)
1
(
120
120
)
2
(
360
6
12
/
065
,
0
;
360
+
−
+
=
=
=
X
a
K
X
OD
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
60
2
)
1
(
1
)
60
(
...
)
1
(
1
)
2
(
1
1
)
(
)
2
(
i
A
X
i
A
X
i
A
X
K
12
065
,
0
gdzie
)
1
(
1
99
,
0
)
60
(
...
)
1
(
1
99
,
0
)
60
(
)
1
(
1
99
,
0
)
60
(
120
60
62
2
61
=
+
+
+
+
+
+
+
+
⋅
+
+
i
i
A
X
i
A
X
i
A
X
( )
(
)
A
X
i
i
i
Ia
A
Xa
K
B
i
i
60
1
99
,
0
1
1
99
,
0
1
)
1
(
99
,
0
)
2
(
60
61
;
60
;
60
+
+
−
+
−
+
+
+
=
4
4
4
3
4
4
4
2
1
B
Ia
BX
Xa
K
A
60
)
(
)
2
(
12
/
065
,
0
;
60
12
/
065
,
0
;
60
+
−
−
=
→
99
,
0
1
99
,
0
1
99
,
0
)
60
(
60
2
60
1
60
)
3
(
60
−
−
+
+
⋅
+
+
=
A
X
A
X
OD
6000
400000
015
,
0
)
4
(
=
⋅
=
OD
411000
400000
)
4
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(
≈
−
+
+
+
=
OD
OD
OD
OD
ODP
Zadanie 9
K(i) – pozostały kredyt w i
05
,
1
1
=
v
+
+
+
+
+
+
+
=
6
2
)
19
(
...
)
15
(
)
14
(
)
14
(
v
X
R
v
X
R
v
X
R
K
16
8
7
)
9
(
...
)
17
(
)
18
(
v
X
R
v
X
R
v
X
R
+
+
+
+
+
+
+
15
7
6
5
2
)
9
(
...
)
17
(
)
18
(
)
19
(
...
)
16
(
)
15
(
)
15
(
v
X
R
v
X
R
v
X
R
v
X
R
v
X
R
v
X
R
K
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
(
)
X
R
K
K
X
R
K
K
X
R
ODP
14
)
15
(
)
14
(
1
14
)
15
(
)
14
(
14
+
−
−
=
+
−
−
+
=
16
15
7
6
5
2
)
9
(
...
...
)
15
(
)
14
(
v
X
R
Xv
Xv
Xv
Xv
Xv
Xv
K
K
+
+
+
+
+
+
−
−
−
−
=
−
=
+
−
−
−
+
+
−
−
−
=
X
R
v
v
Xv
v
X
R
v
v
Xv
ODP
14
1
1
)
9
(
1
1
1
5
16
10
6
