EKONOMETRIA - WYKŁADY.

Wykład z dnia 28.04.2012 r.

W przypadku rozważanych przez nas modeli z jedną zmienną objaśniającą, współczynnik determinacji r² równy jest kwadratowi współczynnika korelacji między zmienną objaśnianą a objaśniającą.

Ten ostatni ma wzór:

gdzie:

- współczynnik korelacji Pearsona pomiędzy zmienną objaśnianą Y a zmienną objaśniającą X

- kowariancja zmiennych X i Y

- wariancja odpowiednich zmiennych X i Y

gdzie:

- odchylenia standardowe odpowiednio zmiennych X i zmiennych Y

Podnosząc ostatni wzór do kwadratu mamy że

Nie można jednoznacznie określić co to jest wysoki współczynnik determinacji.

Dla modeli których parametry estymowane są na podstawie szeregów czasowych często R² są rzędu 0,9 ≤ R² ≤95 .

W przypadku danych przekrojowych czasowych i przekrojowych estymowane w praktyce R² są znacznie niższe współczynniki determinacji.

R² może być obliczony zawsze bez względu na postać modelu i zastosowaną metodę estymacji jednakże interpretacje w kategoriach wariancji objaśnianej i nieobjaśnianej oraz własności są zachowane tylko przy spełnieniu trzech warunków:

1. Prawdziwa relacja między zmienną X a zmienną Y populacji generalnej musi być liniowa wówczas bowiem R² daje informację ile procent zmienności zmiennej Y zostało objaśnione przez liniową funkcję zmiennej objaśniającej.

2. Parametry muszą być estymowane metodą najmniejszych kwadratów. Wykorzystanie innej metody powoduje iż R² może przybrać dowolną wartość rzeczywistą co znacznie komplikuje interpretacje wyniku.

3. Model musi zawierać wyraz wolny w przeciwnym przypadku 1 ≤ R² <
   

Przykłady funkcji nieliniowej sprowadzonych do postaci liniowej względem parametrów.

1. Funkcja potęgowa.

Postać liniowa względem parametrów daje:

2. Funkcja wykładnicza.

Postać liniowa względem parametrów daje:

3. Funkcja wykładnicza z odwrotnością.

Postać liniowa względem parametrów daje:

4. Funkcja potęgowo - wykładnicza.

Postać liniowa względem parametrów daje:

5. Funkcja potęgowo - wykładnicza z odwrotnością.

Postać liniowa względem parametrów daje:

6. Parabola logarytmiczna.

Postać liniowa względem parametrów daje:

7. Hiperbola.

Postać liniowa względem parametrów daje:

Warto wyznaczyć również standardowy błąd szacunku modelu a także średnie błędy parametry szacunku b₀, b₁.

Standardowy błąd szacunku modelu wyznaczany według modelu:

gdzie:

n - liczba obserwacji

k - liczba szacowanych parametrów , w naszym przypadku k = 2

Średnie błędy szacunku parametru wyznaczamy według wzoru:

Po oszacowaniu parametrów modelu należy sprawdzić czy opisana przez równanie zależność jest istotna.

Można się w tym celu posłużyć testem istotności t studenta korzystając ze wzoru:

Dla zbadania istotności zależności należy sprawdzić hipotezę zerową .

H₀ ; b₁ = 0

Wskazuje to że jest brak zależności między badanymi zmiennymi Y oraz X wobec hipotezy alternatywnej

H₁ ; b₁ ≠ 0

Jeżeli zachodzi zależność

Gdzie:

- spełnia warunek

- poziom istotności przyjmowanej zazwyczaj

- wartość graniczna odczytywana z odpowiednich tablic jeżeli
to odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej.

Interpretacja ekonomiczna parametrów modelu liniowego zależy od jednostki w których są wyrażone badane zmienne.

W naszym przypadku parametry strukturalne b₁ - mówi o tym o ile zwiększy się wartość zmiennej objaśnianej Y jeżeli X wzrośnie o jednostkę .

Obliczony błąd szacunku informuje że wzrost zmiennej Y mieści się w granicach b₁ - Sb₁ ≤ Y ≤ b₁ + Sb₁

Korelacja i regresja wielu zmiennych.

Uwzględniając wzajemny związek wielu zmiennych Y, X₁ , X₂ , … , X_k

Gdzie:

Y - zmienna zależna

X₁ , X₂ , X_k - zmiennymi niezależnymi

Problem korelacji i regresji można badać dwojako:

1. Wielorako - jeśli uwzględnimy oddziaływanie na zmienną zależną Y wszystkich zmiennych niezależnych X₁ , X₂ , X_k

W pierwszym przypadku oblicza się współczynnik korelacji wielorakiej i szacuje się model korelacji wielorakiej.

2. Cząstkowo, jeśli badamy współzależność tylko dla niektórych zmiennych eliminując wpływ pozostałych.

W drugim przypadku oblicza się współczynniki regresji cząstkowej , współczynniki korelacji cząstkowej.

Korelacja cząstkowa i wieloraka.

Jeżeli na pewną zmienną objaśnianą Y oddziałuje więcej niż jedna zmienna objaśniająca X , a interesuje nas ścisłość związków korelacyjnych jedynie między dwiema zmiennymi przy wyłączeniu wpływu innych zmiennych to wykorzystujemy miary ścisłości związku zwanym współczynnikiem korelacji cząstkowej oznaczamy je:

Pierwsze subskrypty oznaczają cechy między którymi poszukujemy korelacji , natomiast subskrypty po kropce oznaczają cechy które chcemy wyeliminować.

Do obliczenia współczynnika korelacji cząstkowej wygodnie jest posłużyć się rachunkiem macierzystym.

Współczynnik korelacji cząstkowej dowolnego rzędu obliczamy z ogólnego wzoru:

Gdzie:

P_ij - jest dopełnieniem algebraicznym macierzy P współczynnikiem korelacji po wszystkich łączonych do analizy zmiennych powstałym przez skreślenie i -tego wiersza i j - kolumny,

P_ii oraz P_jj - są odpowiednimi dopełnieniami algebraicznymi macierzy P powstałymi przez określenie jej i - tego wiersza i i - tej kolumny oraz jej j- tego wiersza i j - tej kolumny.

Jak wynika ze wzoru 1 do obliczania współczynnika korelacji cząstkowej niezbędna jest znajomość współczynnika korelacji całkowitej wszystkich rozpatrywanych zmiennych.

Współczynniki korelacji całkowitej są elementem:

Macierz P jest macierzą symetryczną tzn, że r_ij = r_ji .

Jeśli weźmiemy pod uwagę trzy zmienne to podstawą do obliczania współczynnika korelacji cząstkowej jest wówczas macierz P o wymiarach 3 x 3 .

---