Egzamin z Analizy Matematycznej
Kierunek Informatyka i Ekonometria
ZESTAW: 213
1. Wyznaczyć przedziały monotoniczności, ekstrema i asymptoty funkcji
$$f\left( x \right) = \frac{{3x}^{2} - 7x + 5}{x - 2}$$
określonej dla x ≠ 2
2. Zbadać ciągłość i różniczkowalność funkcji
$$f\left( x \right) = \left\{ \begin{matrix}
\frac{e^{- 2x} - 1 + 2x}{x^{2}} \\
2 \\
\end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ }\begin{matrix}
dla\ x \neq 0 \\
dla\ x = 0 \\
\end{matrix}$$
3. Wyznaczyć wielomian Taylora stopnia 2 funkcji $f\left( x \right) = \sqrt[3]{x}$ w punkcie x0 = 8 i za pomocą tego wielomianu obliczyć w przybliżeniu wartość $\sqrt[3]{9}$. Podać dokładność otrzymanego przybliżenia.
4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego osiami OX, OY i wykresem funkcji
$$f\left( x \right) = \frac{2}{x^{2} + 7x + 12}\ \ \ \ \ \ \ \ dla\ \ \ \ \ \ \ x > 0$$
5. Obliczyć całkowitą masę trójkąta ABC, gdzie A = (-4, 0), B = (0, 2), C = (4, 0).
Trójkąta niesie masę o gęstości f(x,y) = y2.
6. Wyznaczyć ekstrema funkcji
f(x,y) = x3 + 3xy2 − 15x − 12y
określonej na R2.
7. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji
f(x,y) = x3 − 6y2
na kuli x2 + y2 < 25
Uwaga. Zadanie 1 jest obowiązkowe. Z pozostałych zadań należy wybrać cztery. Za rozwiązanie każdego z zadań można uzyskać 10 punktów. Na ocenę dostateczną wystarczy uzyskać 29 pkt. w tym 24 pkt. z trzech zadań wybranych z obu części zestawu rozdzielonych pierwszą poziomą linią. Kolejność rozwiązywanych zadań jest dowolna. Należy wyraźnie rozdzielić rozwiązania poszczególnych zadań.