AKADEMIA GÓRNICZO- HUTNICZA im. Stanisława Staszica w Krakowie

Wydział Górnictwa i Geoinżynierii

PROJEKT Z PRZEDMIOTU:

„Metody obliczeniowe”

PROWADZĄCY: PROF. DR HAB. INŻ. JAN WALASZCZYK

TEMAT:

„Obliczenie „j,n-tego” (1,7) elementu macierzy sztywności płaskiego elementu kwadratowego dla płaskiego stanu odkształcenia (PSO).”

Budownictwo

Rok studiów: II, Grupa: 3

Rok akademicki: 2012/2013

Semestr: IV (letni)

Malicki Hubert

ZADANIE:

1. Celem zadania jest obliczenie 1,7 elementu macierzy sztywności płaskiego elementu kwadratowego dla płaskiego stanu odkształcenia ( PSO ).

Analizowany płaski element kwadratowy charakteryzuje się następującymi parametrami:

• Moduł Younga E

• Współczynnik Poissona ν

• Bok kwadratu a

• Grubość elementu H = const.

Macierz sprężystości [D] elementu kwadratowego dla płaskiego stanu odkształcenia ma następującą postać:

$$\left\lbrack D \right\rbrack = \ \frac{E\left( 1 - \mathbf{\nu} \right)}{\left( 1 + \mathbf{\nu} \right)\left( \mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\nu} \right)}\text{\ \ \ }\begin{bmatrix} 1 & \frac{\mathbf{\nu}}{(1 - \mathbf{\nu}\mathbf{)}} & 0 \\ \frac{\mathbf{\nu}}{(1 - \mathbf{\nu}\mathbf{)}} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{(1 - 2\mathbf{\nu}\mathbf{)}}{2(1 - \mathbf{\nu}\mathbf{)}} \\ \end{bmatrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$

Dla płaskiego elementu kwadratowego przyjęto następujący układ współrzędnych:

y

( 0, a ) ( a, a)

( 0, 0) ( a, 0)

x

2. W celu obliczenia elementu k_{1, 7} macierzy sztywności [K] płaskiego elementu kwadratowego konieczne jest określenie funkcji kształtu ( wpływu ), służącej do wyznaczenia funkcji odkształcenia ( podatności ) [B]. Macierz sztywności oblicza się z zależności:

[K] =  ∫_V[ B ]^T[D ][ B ]dv gdzie dv = H • dx • dy

Funkcje przemieszczenia oblicza się ze wzoru:

{f} =  [N]{δ}

$$\begin{Bmatrix} u\left( x,\ y \right) \\ v\left( x,\ y \right) \\ \end{Bmatrix} = \ \left\lbrack \begin{matrix} \begin{matrix} N_{1} & 0 & N_{2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & N_{3} & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & N_{1} & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} N_{2} & 0 & N_{3} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} N_{4} & 0 \\ 0 & N_{4} \\ \end{matrix} \right\rbrack\ \begin{Bmatrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{matrix} u_{1} \\ v_{1} \\ u_{2} \\ v_{2} \\ \end{matrix} \\ u_{3} \\ \end{matrix} \\ v_{3} \\ \end{matrix} \\ u_{4} \\ \end{matrix} \\ v_{4} \\ \end{Bmatrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$

Wyznacznik macierzy funkcji kształtu ( wpływu ) [ N ]:

$$\left\lbrack N \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} \begin{matrix} N_{1} & 0 & N_{2} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & N_{3} & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & N_{1} & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} N_{2} & 0 & N_{3} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} N_{4} & 0 \\ 0 & N_{4} \\ \end{matrix} \right\rbrack\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$

Przyjęto następującą funkcję kształtu:

N(x, y) =  ax + by + cxy + d

Współrzędne poszczególnych węzłów:

( x₁, y₁ ) = ( 0, 0) ( x₂, y₂ ) = ( a, 0 )

( x₃, y₃ ) = ( a, a) ( x₄, y₄ ) = ( 0, a )

$$N_{1}\left( x,y \right) = \frac{- x}{a} - \frac{y}{a} + \frac{\text{xy}}{a^{2}} + 1$$

$$N_{2}\left( x,y \right) = \frac{x}{a} - \frac{\text{xy}}{a^{2}}$$

$$N_{3}\left( x,y \right) = \frac{\text{xy}}{a^{2}}$$

$$N_{4}\left( x,y \right) = \frac{y}{a} - \frac{\text{xy}}{a^{2}}$$

$$\left\lbrack N \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} \frac{- x}{a} - \frac{y}{a} + \frac{\text{xy}}{a^{2}} + 1 \\ 0 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} 0 \\ \frac{- x}{a} - \frac{y}{a} + \frac{\text{xy}}{a^{2}} + 1 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} \frac{x}{a} - \frac{\text{xy}}{a^{2}} \\ 0 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} 0 \\ \frac{x}{a} - \frac{\text{xy}}{a^{2}}\text{\ \ } \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} \frac{\text{xy}}{a^{2}} \\ 0 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} 0 \\ \frac{\text{xy}}{a^{2}} \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} \frac{y}{a} - \frac{\text{xy}}{a^{2}} \\ 0 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ }\begin{matrix} 0 \\ \frac{y}{a} - \frac{\text{xy}}{a^{2}} \\ \end{matrix} \right\rbrack$$

Wyznaczenie funkcji odkształcenia:

{ε} = [B]{δ}

$$\begin{Bmatrix} \varepsilon_{x} \\ \varepsilon_{y} \\ \gamma_{\text{xy}} \\ \end{Bmatrix} = \left\lbrack \begin{matrix} N_{1X} \\ 0 \\ N_{1Y} \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ N_{1Y} \\ N_{1X} \\ \end{matrix}\begin{matrix} N_{2X} \\ 0 \\ N_{2Y} \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ N_{2Y} \\ N_{2X} \\ \end{matrix}\begin{matrix} N_{3X} \\ 0 \\ N_{3Y} \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ N_{3Y} \\ N_{3X} \\ \end{matrix}\begin{matrix} N_{4X} \\ 0 \\ N_{4Y} \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ N_{4Y} \\ N_{4X} \\ \end{matrix} \right\rbrack\begin{Bmatrix} \begin{matrix} u_{1} \\ v_{1} \\ \end{matrix} \\ u_{2} \\ v_{2} \\ u_{3} \\ v_{3} \\ u_{4} \\ v_{4} \\ \end{Bmatrix}$$

$${N_{1X} = \frac{\partial N_{1}}{\partial x} = \frac{- 1}{a} + \frac{y}{a^{2}}}{N_{2X} = \frac{\partial N_{2}}{\partial x} = \frac{1}{a} - \frac{y}{a^{2}}}{N_{3X} = \frac{\partial N_{3}}{\partial x} = \frac{y}{a^{2}}}{N_{4X} = \frac{\partial N_{1}}{\partial x} = - \frac{y}{a^{2}}}$$	$${N_{1Y} = \frac{\partial N_{1}}{\partial y} = \frac{- 1}{a} + \frac{x}{a^{2}}}{N_{2Y} = \frac{\partial N_{2}}{\partial y} = - \frac{x}{a^{2}}}{N_{3Y} = \frac{\partial N_{3}}{\partial y} = \frac{x}{a^{2}}}{N_{4Y} = \frac{\partial N_{4}}{\partial y} = \frac{1}{a} - \frac{x}{a^{2}}}$$

[K] = H • ∬₀^a[B]^T[D][B]dxdy

$$\left\lbrack B \right\rbrack^{T}\left\lbrack D \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack = = \left\lbrack \begin{matrix} \begin{matrix} N_{1X} \\ \frac{\nu N_{1Y}}{1 - \nu} \\ \end{matrix} \\ \text{\ \ \ \ \ N}_{2X}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \frac{\nu N_{2Y}}{1 - \nu} \\ N_{3X} \\ \frac{\nu N_{3Y}}{1 - \nu} \\ N_{4X} \\ \frac{\nu N_{4Y}}{1 - \nu} \\ \end{matrix}\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{\nu N_{1X}}{1 - \nu} \\ N_{1Y} \\ \end{matrix} \\ \frac{\nu N_{2X}}{1 - \nu}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ } \\ N_{2Y} \\ \frac{\nu N_{3X}}{1 - \nu} \\ N_{3Y} \\ \frac{\nu N_{4X}}{1 - \nu} \\ N_{4Y} \\ \end{matrix}\begin{matrix} \begin{matrix} N_{1Y}\frac{1 - 2\nu}{2(1 - \nu)} \\ N_{1X}\frac{1 - 2\nu}{2(1 - \nu)} \\ \end{matrix} \\ N_{2Y}\frac{1 - 2\nu}{2(1 - \nu)} \\ N_{2X}\frac{1 - 2\nu}{2(1 - \nu)} \\ N_{3Y}\frac{1 - 2\nu}{2(1 - \nu)} \\ N_{3X}\frac{1 - 2\nu}{2(1 - \nu)} \\ N_{4Y}\frac{1 - 2\nu}{2(1 - \nu)} \\ N_{4X}\frac{1 - 2\nu}{2(1 - \nu)} \\ \end{matrix} \right\rbrack\frac{E(1 - \nu)}{\left( 1 + \nu \right)(1 - 2\nu)}\left\lbrack \begin{matrix} N_{1X} \\ 0 \\ N_{1Y} \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ N_{1Y} \\ N_{1X} \\ \end{matrix}\begin{matrix} N_{2X} \\ 0 \\ N_{2Y} \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ N_{2Y} \\ N_{2X} \\ \end{matrix}\begin{matrix} N_{3X} \\ 0 \\ N_{3Y} \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ N_{3Y} \\ N_{3X} \\ \end{matrix}\begin{matrix} N_{4X} \\ 0 \\ N_{4Y} \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ N_{4Y} \\ N_{4X} \\ \end{matrix} \right\rbrack$$

Wyznaczenie elementu a_1,7 macierzy powstałej przez pomnożenie [B]^T[D][B]:

$$\left\lbrack B \right\rbrack T\left\lbrack D \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack = \int_{0}^{a}{\int_{0}^{a}{\left( \left( \frac{- 1}{a}\ \ + \ \ \frac{y}{a^{2}} \right)\ \left( \frac{- y}{\alpha^{2}} \right)\ + \ \left( \frac{1 - 2\nu}{2\left( 1\ - \ \nu \right)} \right)\ \left( \frac{1}{\alpha} - \ \ \frac{x}{a^{2}} \right)\ \left( \frac{- 1}{a}\ \ + \ \frac{x}{a^{2}} \right) \right)\left( \frac{E\left( 1\ - \ \nu \right)}{\left( 1\ + \ \nu \right)\left( 1\ - \ 2\ \nu \right)} \right)\text{dx}}\text{dy}}$$

$$\left\lbrack B \right\rbrack T\left\lbrack D \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack = \frac{\text{Eν}}{3\left( 2\nu\ - \ 1 \right)\left( \nu\ + \ 1 \right)}$$

$$\left\lbrack \mathbf{K} \right\rbrack\mathbf{=}\mathbf{H}\mathbf{\bullet}\iint_{\mathbf{0}}^{\mathbf{a}}{\left\lbrack \mathbf{B} \right\rbrack^{\mathbf{T}}\left\lbrack \mathbf{D} \right\rbrack\left\lbrack \mathbf{B} \right\rbrack{\mathbf{\text{dx}}\mathbf{\text{dy}}\mathbf{= \ }}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{\text{HEν}}}{\mathbf{3}\left( \mathbf{2}\mathbf{\nu}\ \mathbf{-}\ \mathbf{1} \right)\left( \mathbf{\nu}\ \mathbf{+}\ \mathbf{1} \right)}$$