METODY OBLICZENIOWE INFORMATYKI – LABORATORIUM

materiały pomocnicze

Ćwiczenie 5

Interpolacja.

ZAGADNIENIE INTERPOLACJI

Zagadnienie interpolacji może być sformułowane następująco: w pewnym przedziale

b

a,

danych

jest n+1 różnych punktów

n

x

x

x

,...,

,

1

0

- nazywanych węzłami interpolacji, oraz wartości

n

y

y

y

,...,

,

1

0

pewnej funkcji

)

(x

f

y

=

w tych punktach. Zadaniem interpolacji jest wyznaczenie

przybliżonych wartości funkcji w punktach nie będących węzłami interpolacji. W tym celu należy
znaleźć funkcję interpolującą

)

(x

F

y

=

, która w węzłach interpolacji przyjmuje takie same

wartości co funkcja

)

(x

f

y

=

(tzn. funkcję, której wykres przechodzi dokładnie przez zadane

punkty).

WIELOMIAN INTERPOLACYJNY LAGRANGE'A

Poszukujemy wielomianu stopnia n, który w n+1 danych punktach

n

x

x

x

,...,

,

1

0

przyjmuje zadane

wartości

n

y

y

y

,...,

,

1

0

. Wielomian Lagrange'a spełniający powyższy warunek ma postać:

∑

=

+

−

+

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

n

j

n

j

j

j

j

j

j

j

n

j

j

j

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

W

0

1

1

1

0

1

1

1

0

)

)...(

)(

)...(

)(

(

)

)...(

)(

)...(

)(

(

)

(

PROCEDURY ŚRODOWISKA MATLAB REALIZUJĄCE INTERPOLACJĘ

Standardowe procedury MATLAB-a realizują interpolację za pomocą następujących metod:

- interpolacja wielomianami pierwszego i trzeciego stopnia,
- interpolacja za pomocą funkcji sklejanych.

Funkcja Parametry

Działanie

interp1(x,y,xi,'metoda')

x, y – wektory określające
węzły interpolacji
xi – wektor punktów, dla
których obliczane są
wartości wielomianu
interpolującego
metoda – rodzaj interpolacji:

- linear (interpolacja

funkcją łamaną)

- spline (interpolacja

funkcjami
sklejanymi trzeciego
stopnia)

- cubic (interpolacja

wielomianami
trzeciego stopnia)

Interpolacja funkcji jednej
zmiennej

ZADANIA

Zad.1.
Napisać program w wybranym języku programowania obliczający wartość wielomianu Lagrange'a
stopnia n w dowolnym punkcie leżącym wewnątrz przedziału

n

x

x ,

0

i różnym od węzła, przy

zadanych węzłach interpolacji

n

x

x

x

,...,

,

1

0

oraz wartościach

n

y

y

y

,...,

,

1

0

funkcji w tych węzłach.

Wykorzystując napisany program obliczyć wartość wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a
stopnia 3 dla

0

=

x

. Wielomian interpolacyjny w punktach –2, 1, 2, 4 przyjmuje wartości 3, 1, -3, 8.

Zad. 2.
Porównać jakość dostępnych metod interpolacji w funkcji

interp1

środowiska MATLAB, na

przykładzie funkcji:

x

e

x

f

y

x

sin

2

)

(

25

.

0

−

=

=

. W przedziale 12

,

0

rozmieszczonych jest

równomiernie siedem węzłów interpolacji.

Zad. 3.
Dana jest funkcja schodkowa określona w wybranych punktach:







<

≤

<

≤

=

10

5

dla

5

5

0

dla

0

)

(

n

n

n

s

N

n

∈

Znaleźć wielomian interpolacyjny stopnia 10-go za pomocą funkcji

polyfit

środowiska

MATLAB. Porównać przebieg otrzymanego wielomianu z przebiegami wielomianów
aproksymujących otrzymanymi w zad. 3 ćwiczenia nr 2.