Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie

1.1.

Badanie niejednorodności i niestajonarności serii czasowej przepływów

maksymalnych rocznych testem Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS)

Test Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS) [3] [4] [5]

jest ciągiem testów weryfikujących

dla kolejnych podserii {Q

max,1

, Q

max,2

,..., Q

max,k

}

k=2,...,N

i {Q

max,k+1

, Q

max,2

,..., Q

max,N

}

k=1,...,N-1

, N-

elementowej

serii przepływów maksymalnych rocznych {Q

max,1

, Q

max,2

,..., Q

max,N

} hipotezę H

o ich jednorod

ności, tzn. że przepływy te są niezależne i mają ten sam rozkład prawdopodo-

bieństwa. W przypadku odrzucenia hipotezy H

dla niektórych k, wykres przebiegu statystyk

testowych w zależności od czasu k pozwala ponadto zbadać postać niestacjonarności, np. w

postaci trendu lub tzw. punktu zmiany, tj. punktu, w którym trend zmienia kierunek.

Dla danej serii czasowej {Q

max,1

, Q

max,2

,..., Q

max,N

} test MKS wykonywany jest w dwu

etapach.

Etap 1.

Najpierw oblicza się liczbę n

(i = 2,...,N) wszystkich elementów podserii cza-

sowej {Q

max,1

, Q

max,2

,..., Q

max,i-1

} poprzedzających element Q

max,i

i jednocześnie mniejszych od

niego:

, 1

liczba elementów podserii {

,...

} mniejszych od

max

max i

−

(1.1)

Następnie liczby n

są sumowane i tworzona jest statystyka t

∑

(1.2)

Rozkład tej statystyki może być dla N ≥ 10 opisany rozkładem normalnym N(µ

) z para-

metrami równymi

(

k k

−

(1.3)

(

1)(2

k k

σ =

−

(1.4)

Dalej tworzona jest seria znormalizo

wanych wartości

−

(1.5)

stanowiąca progresywną postać statystyki testu MKS. Jeśli dla danego k i ustalonego poziomu
istotności α testu (zwykle przyjmuje się α = 0,05), absolutna wartość u

, |u

|, spełnia warunek

| > u

kryt

(

α), gdzie u

kryt

(

α) jest krytyczną wartością statystyki testowej (np. u

kryt

(0,05) = 1,96

dla testu dwustronnego), to hipoteza o niezależności od czasu i nieskorelowaniu podserii

max,1

, Q

max,2

,..., Q

max,k

}

jest odrzucana i przyjmuje się, że w okresie od 1 do k istnieje trend

monotoniczny.

Etap 2.

Postępowanie jest analogiczne jak w etapie 1, jednak dotyczy teraz serii cza-

sowej ustawionej w porządku odwróconym: {Q

max,N

, Q

max,N-1

,..., Q

max,1

}. Obliczana jest teraz

tzw.

regresywna postać

u′ znormalizowanej statystyki testu MKS:

′

−

′ =

′

(1.6)

gdzie:

t′ jest liczone podobnie do t

we wzorze (1.2):

i k

−

′

∑

(1.7)

a liczba

n′

jest teraz liczbą elementów podserii {Q

max,N

, Q

max,N -1

,…, Q

max, i+1

} mniejszych od

max i

, 1

liczba elementów podserii {

,...

} mniejszych od

max N

max i

−

′ =

(1.8)

Tak jak poprzednio, statystyka

t′

podlega rozkładowi normalnemu z parametrami:

(

)(

k N

′ =

−

− −

(1.9)

(

)(

1)(2(

) 5)

k N

σ ′ =

−

− −

− +

(1.10)

Jeśli seria danych pochodzi z jednej populacji i dane są niezależne od siebie, to wykresy u

u′

powinny oscylować wokół linii zerowej pozostając w obszarze (-u

kryt

(

α), u

kryt

(

α)). Mono-

tonicz

ny trend przepływów maksymalnych rocznych w całym okresie będzie widoczny na

wykresie u

u′ w postaci dwu równo

ległych rosnących lub malejących nieregularnych linii

wychodzących poza obszar (-u

kryt

(

α), u

kryt

(

α)), natomiast jeśli wykresy u

u′

przecinają się

powyżej u

kryt

(

α) lub poniżej -u

kryt

(

α), to istnieje podstawa do twierdzenia, że w roku (latach)

przecięcia nastąpiła zmiana trendu. Możliwe są też inne sytuacje przedstawione w przykła-
dach.

1.2.

Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie

przewyższenia

1.2.1. Rozkład Pearsona typu III

Maksymalne przepływy roczne Q

max,p

o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia p

(p = P(Q

max

≥ Q

max,p

)) oblicza się według wzoru opartego na rozkładzie Pearsona typu III:

( )

max p

∈

= +

(1.11)

gdzie:

∈ – dolne ograniczenie przepływów Q

max

: Q

max

≥

∈;

α – parametr skali;
λ – parametr kształtu;

(

λ) – zmienna standaryzowana.

Wartość ∈ jest estymowana metodą graficzną, parametry α, λ są estymowane metodą

największej wiarygodności.

1.2.1.1.

Utworzenie rozkładu empirycznego przepływów maksymalnych rocznych Qmax

i graficzna estymacja ich dolnego ograniczenia

∈

Czasową serię przepływów maksymalnych rocznych {Q

max,1

, Q

max,2

,..., Q

max,N

} należy

upo

rządkować w porządku malejącym: {Q

max,(1)

≥ Q

max,(2)

≥ ... ≥ Q

max,(N)

}. Dla każdej wartości

max,(i)

, i = 1, 2, ..., N

, obliczyć empiryczne prawdopodobieństwo przewyższenia p

dług

wzoru:

1, 2,...,

(1.12)

gdzie:

i – numer i-

tej najwyższej wartości, Q

max,(i)

, w upo

rządkowanej malejąco serii {Q

max,1

max,2

,..., Q

max,N

Uzyskane punkty (Q

max,(i)

, p

) umieścić na pearsonowskiej podziałce prawdopodobieństwa,

wyrównać odręcznie dolną część empirycznej krzywej aż do prawdopodobieństwa przewyż-

szenia p

= 100% i dla tego prawdopodobieństwa odczytać wartość ograniczenia dolnego ∈.

1.2.1.2. Estymacja parametrów

α i λ

rozkładu Pearsona, typ III, metodą największej

wiarygodności

Mając już znane ∈, obliczyć pomocniczą wartość A

(

)

max i





−









∑

∈

(1.13)

Obliczyć oszacowanie parametru λ:





≈













(1.14)

Obliczyć oszacowanie parametru α:

max i

−

∑

∈

(1.15)

Obliczone wartości ∈, λ i α określają jednoznacznie rozkład (1.11) przepływów maksymal-

nych w roku Q

max

1.2.1.3.

Obliczenie i wykreślenie teoretycznych wartości Q

max,p

przepływów maksymal-

nych rocznych dla zadanych

wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p

Sposób 1:

Korzystając z wartości t

(

λ) podanych w tabeli A1 (załącznik A) obliczyć za

pomocą wzoru (1.11) dla wybranych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p wartości
przepływu prawdopodobnego Q

max,p

Sposób 2:

Wartości przepływu prawdopodobnego Q

max,p

można obliczyć, korzystając np.

z funkcji ROZKŁAD.GAMMA.ODW arkusza kalkulacyjnego MS Excel:

(

)

ROZK

ŁAD.GAMMA.ODW 1

; ;1/

max p

= +

−

∈

λ α

(1.16)

gdzie:

p –

prawdopodobieństwo przewyższenia przez przepływ maksymalny roczny Q

max

war-

tości Q

max,p

, wyrażone liczbą niemianowaną.

1.2.1.4. Testowanie hipotezy H

(prawdziwy rozkład zmiennej Q

max

jest rozkładem

arsona typ III) za pomocą testu Kołmogorowa

Dla wszystkich wartości uporządkowanej malejąco serii danych przepływów maksymal-

nych rocznych obli

czyć wartość D

(

)

(

)

,( )

max

;

teor

max i

teor

max i





−









∈,α λ

(1.17)

gdzie:

teor

max,(i)

) –

teoretyczne prawdopodobieństwo przewyższenia wartości Q

max,(i)

: p

te-

max,(i)

) = P(Q

max

≥ Q

max,(i)

) ;

max,(i)

– i-

ta największa wartość uporządkowanej malejąco serii przepływów maksymal-

nych rocznych.

Obliczyć maksymalną wartość D

max

serii D

{ }

1,...,

max

max

(1.18)

Obliczyć wartość λ

Kol

statystyki testowej testu Kołmogorowa:

Kol

max

N D

⋅

(1.19)

Wielkość D

max

można też odczytać z utworzonych wykresów rozkładu teoretycznego i

rozkładu empirycznego.

Przyjmując poziom istotności testu, α

test

= 5%, porównać wartość λ

Kol

z wartością kry-

tyczną testu λ

kryt

(

test

=5%) = 1,36. Jeśli λ

Kol

< 1,36, nie ma podstaw do odrzucenia znalezio-

nego rozkładu; w przypadku przeciwnym należy poszukiwać innego rozkładu (logarytmicz-

no-normalnego lub Weibulla, (

rozdział 1.2.2.).

1.2.1.5. Testowanie hipotezy H

(prawdziwy rozkład zmiennej Q

max

jest rozkładem

arsona typ III) za pomocą testu χ

Pearsona

Ustalić liczbę r przedziałów, na jakie trzeba będzie podzielić przedział (∈,∞) zmienności

zmiennej Q

max

. Aby test mógł być przeprowadzony, liczba r musi wynosić co najmniej 4 (r ≥

4) i powinna być taka, aby przeciętna liczba elementów serii wynosiła co najmniej 5 (N/r ≥
5). Następnie obliczyć wartości Q

χ,i

zmiennej Q

max

, które spełniają równość

)

1, 2,...,

max

−

(1.20)

i na tej podstawie utworzyć r przedziałów: (0, Q

χ,1

), [Q

χ,1,

χ,2

),...,[Q

χ,r-1,∞

). W każdym z tych

przedziałów znajduje się odpowiednio m

, i = 1, 2, ..., r, elementów serii czasowej {Q

max,1

max,2

,..., Q

max,N

Obliczyć wartość χ

statystyki testu

Pearsona:

(

/ )

N r

−

∑

(1.21)

korzystając z tabeli 1.1, porównać z wartością krytyczną χ

(

test

ν = r–3) dla pozio-

mu istotności testu α

test

= 5%.

Tabela 1.1. Kwantyle

(

test

=5%,

) rozkładu

(chi-kwadrat);

–

liczba stopni swobody

(5%,

ν) 3,841 5,991 7,815 9,488 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 19,68 21,03 22,36 23,68 25,0

Jeśli χ

(

test

), nie ma podst

aw do odrzucenia znalezionego rozkładu; w przypadku

przeciwnym należy poszukiwać innego rozkładu ((logarytmiczno-normalnego lub Weibulla,

(

rozdział 1.2.3).

1.2.1.6.

Obliczenie i wykreślenie górnej granicy

max p

jednostronnego

β% prz

edziału

ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych

rocznych Q

max,p

Wielkość

max p

oblicza się ze wzoru

(

)

max p

(1.22)

gdzie:

–

kwantyl rzędu β

w standaryzowanym rozkładzie normalnym; w tabeli

1.2

podane są

niektóre wartości (β

oznacza prawdopodobieństwa nieprzewyższenia).

Tabela 1.2

. Wartości kwantyla u

dla zadanego poziomu ufności

, %

0,994

1,282

1,645

2,326

(

)

max p

–

błąd oszacowania Q

max,p

obliczany ze wzoru:

(

)

( , )

max p

(1.23)

Wartości funkcji ϕ(p,λ) są podane w tabeli 1.3.

Tabela 1.3

. Wartości funkcji

(p,

) używanej we wzorze (1.23)

90%

80%

50%

20%

10%

0,1%

1,5

0,522

0,670

1,039

1,923

2,734

3,607

4,814

5,754

8,967

1,6

0,571

0,719

1,085

1,976

2,791

3,667

4,876

5,816

9,025

1,7

0,620

0,765

1,130

2,026

2,846

3,725

4,937

5,877

9,084

1,8

0,667

0,811

1,173

2,075

2,900

3,782

4,996

5,938

9,144

1,9

0,714

0,855

1,214

2,122

2,951

3,837

5,055

5,998

9,205

0,760

0,898

1,254

2,167

3,001

3,891

5,112

6,056

9,265

2,5

0,977

1,099

1,438

2,377

3,234

4,142

5,383

6,338

9,566

1,176

1,280

1,602

2,564

3,443

4,371

5,632

6,600

9,857

3,5

1,361

1,447

1,750

2,734

3,634

4,581

5,864

6,846

10,137

1,534

1,601

1,888

2,891

3,812

4,777

6,082

7,078

10,405

4,5

1,697

1,746

2,015

3,038

3,978

4,962

6,288

7,298

10,661

1,851

1,882

2,136

3,176

4,135

5,137

6,484

7,507

10,907

5,5

1,998

2,012

2,250

3,307

4,284

5,303

6,670

7,708

11,144

2,139

2,136

2,358

3,432

4,426

5,462

6,849

7,900

11,373

6,5

2,273

2,254

2,462

3,551

4,563

5,615

7,021

8,085

11,594

2,403

2,368

2,561

3,666

4,694

5,762

7,187

8,264

11,808

7,5

2,529

2,478

2,657

3,776

4,820

5,904

7,347

8,437

12,016

2,650

2,584

2,749

3,883

4,943

6,041

7,503

8,604

12,217

8,5

2,768

2,687

2,839

3,986

5,061

6,174

7,653

8,767

12,414

2,882

2,787

2,925

4,086

5,176

6,303

7,800

8,925

12,605

9,5

2,993

2,884

3,010

4,183

5,288

6,429

7,942

9,079

12,792

3,101

2,978

3,092

4,278

5,396

6,551

8,081

9,230

12,974

3,309

3,160

3,249

4,460

5,606

6,787

8,349

9,520

13,327

3,509

3,333

3,400

4,634

5,806

7,013

8,606

9,798

13,666

3,700

3,500

3,544

4,801

5,998

7,229

8,852

10,065

13,992

3,884

3,659

3,682

4,961

6,182

7,438

9,090

10,322

14,307

4,061

3,814

3,815

5,116

6,360

7,638

9,319

10,571

14,611

4,233

3,963

3,944

5,265

6,532

7,833

9,540

10,812

14,906

4,399

4,107

4,069

5,409

6,699

8,021

9,755

11,045

15,192

4,561

4,247

4,190

5,550

6,861

8,204

9,964

11,272

15,471

4,718

4,383

4,308

5,686

7,018

8,382

10,168

11,493

15,743

4,871

4,516

4,422

5,819

7,172

8,556

10,366

11,708

16,007

5,020

4,645

4,534

5,948

7,321

8,725

10,559

11,918

16,266

5,166

4,771

4,643

6,075

7,467

8,890

10,748

12,124

16,519

5,308

4,895

4,749

6,198

7,610

9,051

10,932

12,324

16,766

5,448

5,016

4,854

6,319

7,749

9,209

11,113

12,521

17,008

5,584

5,134

4,955

6,437

7,886

9,364

11,290

12,713

17,246

1.2.2.

Przykłady obliczeń

Przykład 1.1 (negatywny): Obliczyć przepływ maksymalny roczny o określonym prawdo-
podobieństwie przewyższenia rzeki Bóbr w przekroju wodowskazowym Bukówka (po-

wierzchnia zlewni: 57,76 km

, N = 41).

Badanie niejednorodności i niestajonarności serii czasowej

Podana niżej tabela 1.4 zawiera wartości przepływów maksymalnych rocznych rzeki Bóbr w

przekroju wodowskazowym B

ukówka oraz wartości wielkości związanych z testem MKS.

Tabela 1.4. Seria czasowa Q

max

i niektóre wielkości testu MKS. Numery w nawiasach w drugim wier-

szu tabel

i to numery odpowiednich równań

rok

max

′

(1.2

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.7)

(1.9)

(1.10)

(1.6)

1965

18,6

637

410

44,516

5,099

1966

13,2

0,5

-1

607

390

42,915

5,057

1967

22,1

1,5

0,957

0,522

582

370,5

41,333

5,117

1968

20,4

1,472

0,679

551

351,5

39,771

5,016

1969

23,0

2,041

1,470

522

333

38,230

4,944

1970

10,7

7,5

2,661

0,188

491

315

36,708

4,795

1971

27,8

10,5

3,329

1,051

469

297,5

35,208

4,871

1972

14,7

4,041

0,495

439

280,5

33,728

4,699

1973

8,62

4,796

-0,417

414

264

32,270

4,648

1974

15,9

22,5

5,590

-0,447

397

248

30,833

4,833

1975

22,1

27,5

6,423

-0,078

373

232,5

29,418

4,776

1976

16,6

7,292

-0,137

347

217,5

28,025

4,621

1977

27,8

8,196

0,488

323

203

26,655

4,502

1978

4,76

45,5

9,133

-0,274

298

189

25,308

4,307

1979

11,3

52,5

10,104

-0,643

291

175,5

23,984

4,816

1980

32,3

11,106

0,090

270

162,5

22,684

4,739

1981

32,3

12,138

0,659

247

150

21,409

4,531

1982

33,8

76,5

13,200

1,250

224

138

20,158

4,266

1983

21,7

103

85,5

14,292

1,224

201

126,5

18,932

3,935

1984

9,23

105

15,411

0,649

179

115,5

17,732

3,581

1985

14,3

111

105

16,558

0,362

161

105

16,558

3,382

1986

8,28

112

115,5

17,732

-0,197

141

15,411

2,985

1987

10,7

116

126,5

18,932

-0,555

126

85,5

14,292

2,834

1988

9,16

119

138

20,158

-0,943

108

76,5

13,200

2,386

1989

10,3

124

150

21,409

-1,214

12,138

1,977

1990

6,72

125

162,5

22,684

-1,653

11,106

1,441

1991

4,43

125

175,5

23,984

-2,106

52,5

10,104

1,138

1992

6,72

127

189

25,308

-2,450

45,5

9,133

1,588

1993

3,08

127

203

26,655

-2,851

8,196

1,220

1994

7,26

132

217,5

28,025

-3,051

7,292

2,057

1995

4,7

134

232,5

29,418

-3,348

27,5

6,423

1,635

1996

6,05

138

248

30,833

-3,568

22,5

5,590

2,236

1997

8,75

148

264

32,270

-3,595

4,796

2,085

1998

5,24

152

280,5

33,728

-3,810

4,041

1,485

1999

6,59

158

297,5

35,208

-3,962

10,5

3,329

1,352

2000

4,7

160

315

36,708

-4,222

7,5

2,661

0,564

2001

4,16

161

333

38,230

-4,499

2,041

0,490

2002

4,97

167

351,5

39,771

-4,639

1,472

0,679

2003

3,25

168

370,5

41,333

-4,899

1,5

0,957

0,522

2004

5,92

177

390

42,915

-4,963

0,5

2005

1,9

177

410

44,516

-5,234

Z powodu wymog

u, że zmienne u

i u

′

podlegają w przybliżeniu rozkładowi normal-

nemu dla liczebności podciągu nie mniejszej niż 10, podane w tablicy wartości u

i u

′

nadają

się do wykorzystania w teście MKS dla k = 10,...,N (zmienna u

) i dla k = 1,...,N–9 (zmienna

′). W tabeli 1.4

podano również wartości u

i u

′ dla k

spoza podanego wyżej zakresu nie

tylko z powodów ilustracyjnych ale też dlatego, że zwykle tworzony jest wykres dla k =

2,...,N (dla u

) i dla k = 1,...,N–1 (dla u

′

). Taki wykres znajduje się na rys. 1.2.

-6

-4

-2

1965

1970

1975

1980

1985

1990

1995

2000

2005

u'(t)

u(t)

1,96

-1,96

Qmax

Rys. 1.2. Wyniki testu MKS (statystyki u i u

′ z tab. 1.4

) wraz 95% przedziałem akceptacji hipotezy H

o jednorodności kolejnych podserii Q

max

(linie -1,96 i 1,96) oraz czasowym przebiegiem Q

max

(skala

wartości Q

max

nie podana).

Przebieg wartości statystyki testowej u

na rys. 1.2

pokazuje, że od początku okresu ob-

serwacji do mniej więcej środka dekady 1980–1990 wartości u

oscylują wokół zera, co

wskazuje na jednorodność (niezależność i brak trendu) kolejnych podciągów progresywnych.

W tym samym okresie u

′

podciągów regresywnych wykazuje bardzo wysokie aczkolwiek

zmniej

szające się z k wartości dodatnie, znacznie wychodzące ponad 1,96, co wskazuje na

silny trend malejący. Z punktu widzenia obszaru akceptacji hipotezy o jednorodności serii

czasowej Q

max

, oba ciągi, u

i u

′, przecho

dzą w dekadzie 1980-1990 na inne pozycje: u

jest

coraz bardziej mniejsze od -

1,96 wskazując tym zwiększającą się niejednorodność (coraz sil-

niejszy trend malejący), osiągając maksimum w roku 2005 (o wartości mnie więcej takiej

samej, jak u

′ dla k=1), natomiast u

′ powoli przesta

je być istotne (na poziomie istotności 5%).

Wszystko to sugeruje, że mniej więcej w 1985 roku nastąpiła istotna zmiana reżimu przepły-

wu Bobru na wodowskazie Bukówka, co jes

t też widoczne w dodanym na rys. 1.2. przebiegu

war

tości Q

max

. Wytłumaczeniem tej sugestii jest fakt, że w 1987 roku oddano do użytku

zbiornik Bukówka.

Powstałe zmiany są jednak tak duże, że należy stwierdzić niemożliwość obliczania prze-

pływów prawdopodobnych Q

max,p

Przykład 1.2 (pozytywny): Obliczyć przepływ maksymalny roczny o określonym prawdo-
podobieństwie przewyższenia rzeki Czarny w przekroju wodowskazowym Polana (po-

wierzchnia zlewni: 94,17 km2, N = 34).

Badanie niejednorodności i niestajonarności serii czasowej

Tabela 1.5

zawiera wartości serii czasowej przepływów maksymalnych rocznych rzeki Czar-

ny w przekroju wodowskazowym Polana oraz wartości wielkości związanych z testem MKS.

Tabela 1.5. Seria czasowa Q

max

w wodowskazie Czarny/Polana i niekt

óre wielkości testu MKS. Nume-

ry w nawiasach w drugiej lini

i to numery odpowiednich równań

rok

max

′

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.7)

(1.9)

(1.10)

(1.6)

1972

10,2

237

280,5

33,728

-1,290

1973

9,24

0,5

-1

232

264

32,270

-0,992

1974

58,8

1,5

0,957

0,522

229

248

30,833

-0,616

1975

8,23

1,472

-0,679

202

232,5

29,418

-1,037

1976

16,2

2,041

0,000

201

217,5

28,025

-0,589

1977

4,92

7,5

2,661

-0,939

195

203

26,655

-0,300

1978

26,8

10,5

3,329

-0,150

195

189

25,308

0,237

1979

25,1

4,041

0,247

181

175,5

23,984

0,229

1980

97,2

4,796

1,043

169

162,5

22,684

0,287

1981

23,5

22,5

5,590

0,984

145

150

21,409

-0,234

1982

22,3

27,5

6,423

0,856

135

138

20,158

-0,149

1983

21,1

7,292

0,686

126

126,5

18,932

-0,026

1984

59,9

8,196

1,220

118

115,5

17,732

0,141

1985

55,1

45,5

9,133

1,478

105

16,558

-0,362

1986

16,2

52,5

10,104

1,039

15,411

-0,844

1987

24,6

11,106

1,081

85,5

14,292

-0,595

1988

14,8

12,138

0,659

76,5

13,200

-0,492

1989

73,8

76,5

13,200

1,174

12,138

-0,165

1990

28,9

105

85,5

14,292

1,364

11,106

-0,810

1991

18,6

112

15,411

1,103

52,5

10,104

-0,841

1992

18,2

119

105

16,558

0,846

45,5

9,133

-0,712

1993

25,8

133

115,5

17,732

0,987

8,196

-0,488

1994

14,5

137

126,5

18,932

0,555

7,292

-0,274

1995

11,2

141

138

20,158

0,149

27,5

6,423

0,078

1996

54,5

160

150

21,409

0,467

22,5

5,590

0,626

1997

111

185

162,5

22,684

0,992

4,796

0,209

1998

35,1

204

175,5

23,984

1,188

4,041

-0,742

1999

224

189

25,308

1,383

10,5

3,329

-0,451

2000

245

203

26,655

1,576

7,5

2,661

-0,188

2001

45,4

266

217,5

28,025

1,731

2,041

-0,980

2002

8,9

268

232,5

29,418

1,207

1,472

-1,359

2003

9,72

272

248

30,833

0,778

1,5

0,957

-0,522

2004

57,4

299

264

32,270

1,085

0,5

2005

50,8

323

280,5

33,728

1,260

-3

-2

-1

1970

1975

1980

1985

1990

1995

2000

2005

u'(t)

u(t)

1,96

-1,96

Qmax

Rys. 1.3. Wyniki testu MKS (statystyki u i u

′ z tabeli 1.5

) wraz 95% przedziałem akceptacji hipotezy

o jednorodności kolejnych podciągów Q

max

(linie -1,96 i 1,96) oraz czasowym przebiegiem Q

max

(skala wartości Q

max

nie podana).

Wszystkie wartości (rys. 1.3) u i u′ zawierają się w przedziale (-1,96, 1,96), co oznacza,

że da żadnego podciągu (progresywnego i regresywnego) serii Q

max

nie ma

na poziomie istot-

ności 5% podstaw do odrzucenia hipotezy o jednorodności. Można więc przyjąć hipotezę, że

dane Q

max

z przekroju Czarny/Polana pochodzą z jednej populacji i są niezależne.

Można więc przystąpić do estymacji parametrów rozkładu Pearsona III typu.

2. Estymacja dolnego ograniczenia

∈ metodą graficzną

Stosując wzór (1.12) i podziałkę prawdopodobieństwa (załącznik) sporządzony został

wykres empirycznego prawdopodo

bieństwo przewyższenia, co ilustruje rys. 1.4.

Rys. 1.4.

Empiryczne prawdopodobieństwo przewyższenia (punkty) oraz graficzna estymacja dolnego

ograniczenia

∈

(linia zielona). Przyjęto przybliżenie

∈

≈ 0.

Przedłużenie dolnej części wykresu do linii 100% daje w przybliżeniu wartość

∈

= 0, Wartość

ta będzie stosowana w dalszych obliczeniach.

3. Estymacja parametrów

α i λ rozkładu Pearsona, typ III, metodą największej

wiary

godności

Obliczyć pomocniczą wartość A

(

)

ln(33,9121) - 3, 2456

0,2781

max i





−









∑

∈

Obliczyć wartość parametru λ:

4 0,2781

1,951

4 0,2781









≈

























Obliczyć wartość parametru α:

1,951

0,05754 [m /s]

33,9121 0

max i

−

∑

∈

4. Testowanie hipotezy H

(prawdziwy rozkład zmiennej Q

max

jest rozkładem

arsona typ III) za pomocą testu λ Kołmogorowa
Dla wszystkich wartości uporządkowanej malejąco serii danych Q

max,(i)

, i =1, 2,..., N =

34, obli

czyć wartość D

(wyniki zawiera tab. 1.6):

(

)

(

)

,( )

max

teor

max i

teor

max i





−









Obliczyć maksymalną wartość D

max

{ }

1,...,

max

0,1132

max

oraz wartość λ

Kol

statystyki testowej testu

λ Kołmogorowa:

34 0,1132

0, 6603

Kol

max

N D

⋅

Ponieważ wartość statystyki testowej λ

Kol

= 0,660 jest mniejsza od 5% wartości krytycz-

nej

= 1,36, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodo-

bieństwa przepływów maksymalnych Czarnej w przekroju Polana jest rozkład Pearsona typ

III z parametrami

∈ = 0, α = 0,0575, λ = 1,95.

Tabela 1.6 oraz rys. 1.7

ilustrują liczbowo i graficznie szczegóły obliczeń.

Tabela 1.6

. Uporządkowana malejąco seria przepływów maksymalnych rocznych Czarna/Polana,

max(i)

, teoretyczne prawdopo

dobieństwa przewyższenia, p

teor

max(i)

oraz wartości pomocnicze do

obliczania D

(1.27), D

max

oraz

Ko l

(1.28)

max(i)

teor

max(i)

)

i/(N+1)

(i+1)/(N+1)

|i/(N+1) - p

te-

max

|(i+1)/(N+1) -

teor

max

111

0,0115

0,0286

0,0571

0,01707

0,04564

97,2

0,0228

0,0571

0,0857

0,03431

0,06288

73,8

0,0706

0,0857

0,1143

0,01510

0,04367

59,9

0,1342

0,1143

0,1429

0,01992

0,00865

0,01992

58,8

0,1410

0,1429

0,1714

0,00182

0,03039

57,4

0,1502

0,1714

0,2000

0,02124

0,04981

55,1

0,1664

0,2000

0,2286

0,03359

0,06217

54,5

0,1709

0,2286

0,2571

0,05768

0,08625

0,1908

0,2571

0,2857

0,06637

0,09494

50,8

0,2010

0,2857

0,3143

0,08467

0,11324

45,4

0,2535

0,3143

0,3429

0,06075

0,08932

0,2804

0,3429

0,3714

0,06241

0,09098

35,1

0,3865

0,3714

0,4000

0,01503

0,01354

0,01503

28,9

0,4896

0,4000

0,4286

0,08960

0,06102

0,08960

26,8

0,5285

0,4286

0,4571

0,09989

0,07132

0,09989

25,8

0,5476

0,4571

0,4857

0,09049

0,06192

0,09049

25,1

0,5613

0,4857

0,5143

0,07557

0,04700

0,07557

24,6

0,5712

0,5143

0,5429

0,05687

0,02830

0,05687

23,5

0,5932

0,5429

0,5714

0,05033

0,02176

0,05033

22,3

0,6177

0,5714

0,6000

0,04628

0,01770

0,04628

21,1

0,6427

0,6000

0,6286

0,04266

0,01409

0,04266

18,6

0,6958

0,6286

0,6571

0,06719

0,03862

0,06719

18,2

0,7044

0,6571

0,6857

0,04722

0,01865

0,04722

16,2

0,7475

0,6857

0,7143

0,06183

0,03326

0,06183

16,2

0,7475

0,7143

0,7429

0,03326

0,00468

0,03326

14,8

0,7777

0,7429

0,7714

0,03488

0,00631

0,03488

14,5

0,7842

0,7714

0,8000

0,01275

0,01582

11,2

0,8534

0,8000

0,8286

0,05339

0,02482

0,05339

10,2

0,8734

0,8286

0,8571

0,04480

0,01623

0,04480

9,72

0,8827

0,8571

0,8857

0,02558

0,00299

0,02558

9,24

0,8919

0,8857

0,9143

0,00618

0,02239

8,9

0,8983

0,9143

0,9429

0,01601

0,04458

8,23

0,9105

0,9429

0,9714

0,03233

0,06090

4,92

0,9630

0,9714

1,0000

0,00846

0,03703

max

0,11324

0.5

max

0,66032

Rys. 1.7

. Położenie wartości D

max

na podziałce prawdopodobieństwa

5. Testowanie hipotezy H

(prawdziwy rozkład zmiennej Q

max

jest rozkładem

Pearso

na typ III) za pomocą testu χ

Pearsona

Ustalić liczbę r przedziałów, na jakie będzie dzielony zakres zmienności zmiennej loso-

wej Q

max

. Ponieważ N = 34, a r powinno być nie mniejsze od 4 oraz N/r ≥ 5, przyjęto r = 4,

Tabela 1.7

. Wartości potrzebne do obliczenia statystyki testowej

p, %

,i-1

, Q

N/4

100

16,086

(0, 16,086)

8,5

28,328

[16,086, 28,328)

8,5

45,731

[28,328, 45,731)

8,5

∞

[45,731,

∞)

8,5

Szczegółowe obliczenia statystyki testowej χ

wyglądają następująco:

(

/ )

(9 8, 5)

(11 8, 5)

(4 8, 5)

(10 8, 5)

8, 5

3, 41

N r

−





−

+ −

−





∑

Przyjmując poziom istotności testu, α

test

= 5% dostajemy z tabeli (1.7)

wartość krytyczną

testu

(

test

=5%,

ν=r–

3=1) = 3,84, Wynik ten (3,41 < 3,84) oznacza, że nie ma pod-

staw do odrzuce

nia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodobieństwa przepływów mak-

symalnych rzeki Czarnej w przekroju wodow

skazowym Polana jest rozkład Pearsona typ III z

parametrami

∈ = 0, α = 0,0575, λ = 1,95.

Obliczenie i wykreślenie górnej granicy

max p

jednostronnego

β% przedziału ufności

dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Q

max,p

Obliczenie

max p

dla przyjętej wartości β = 84% (z tabeli 1.2) mamy u

= 0,994) wyma-

ga oblicze

nia wielkości σ(Q

max,p

) ze wzoru 1.23)

dla przyjętych wartości p prawdopodobień-

stwa prze

wyższenia a następnie wykorzystanie wzoru (1.22) na

max p

Aby obliczyć σ(Q

max,p

) należy skorzystać z tabeli 1.4, gdzie podane są wartości funkcji

ϕ(p,λ). Ponieważ znaleziona wartość λ = 1,95, konieczna jest interpolacja wartości funkcji
ϕ(p,λ=1,95). Tabela 1.8 zawiera niezbędne szczegóły oraz uzyskane wyniki, rys. 1.8 ilustruje
całościowo wykonane zadanie.

Tabela 1.8.

Interpolacja wartości

(p,

λ=1,95) na podstawie danych z tabeli

A1 (załącznik 1), obliczo-

ne wartości błędu kwantyla σ(Q

max,p

) i g

órna granica

max p

84% przedziału ufności kwantyla

max,p

90%

80%

50%

20%

10%

0,1%

1,9

0,714

0,855

1,214

2,122

2,951

3,837

5,055

5,998

9,205

0,76

0,898

1,254

2,167

3,001

3,891

5,112

6,056

9,265

1,95

0,737

0,8765

1,234

2,1445

2,976

3,864

5,0835

6,027

9,235

σ(Q

max,p

)

, m

2,197

2,613

3,678

6,392

8,870

11,517

15,152

17,964

27,526

max,p

, m

8,81

13,76

28,33

50,92

66,34

81,07

99,89

113,79

158,68

max p

, m

11,00

16,37

32,01

57,31

75,21

92,59

115,04

131,75

186,20

Rys. 1.8

. Finalna postać graficzna rozwiązywanego w przykładzie 2 zadania. Linia zielona oznacza

gór

ną granicę

max p

84% przedziału ufności kwantyla Q

max,p

1.2.3

. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie

prz

ewyższenia: rozkład logarytmiczno-normalny i rozkład Weibulla

Poniżej podane są podstawowe informacje pozwalające na obliczanie przepływów mak-

symalnych rocznych o zadanym prawdopodo

bieństwie przewyższenia Q

max,p

oraz prawdopo-

bieństwa przewyższenia p w przypadku uzasadnionej konieczności zastosowania innego

rozkładu niż rozkład Pearsona typ III, tj. rozkładu logarytmiczno-normalnego lub rozkładu
Weibulla. Pozostała część opisanej wyżej procedury: testy zgodności λ Kołmogorowa i χ

Pearsona stosują się również do tych rozkładów.

1.2.3.1.

Rozkład logarytmiczno-normalny

Maksymalny przepływ prawdopodobny Q

max,p

w trójparametrowym rozkładzie logaryt-

miczno-

normalnym oblicza się za pomocą wzoru:

max,

exp(

)

= +

µ + σ⋅

∈

(1.24)

gdzie:

∈ – dolne ograniczenie przepływów Q

max

: Q

max

≥

∈; wartość odczytana z wykresu jak w

przykładzie 2;
µ – parametr rozkładu obliczany metodą największej wiarygodności za pomocą następu-
jącego wzoru:

max,

ln(

)

−

∑

∈

(1.25)

σ – parametr rozkładu (odchylenie standardowe zmiennej ln(Q

max

–

∈)), obliczany me-

todą największej wiarygodności za pomocą następującego wzoru:

max,

ln(





−





∑

∈) µ

(1.26)

–

kwantyl rzędu p (p oznacza prawdopodobieństwo przewyższenia) w rozkładzie

standaryzowanym normalnym. Mo

żna skorzystać z tabeli 1.9 lub np. funkcji ROZ-

KŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-p) arkusza kalkulacyjnego MS Excel.

Tabela1.9

. Wartości kwantyla u

w rozkładzie standaryzowanym normalnym; p oznacza prawdopo-

dobieństwo przewyższenia. Przykład odczytu: u

0,053

= 1,61644. Dla p

> 0,5 stosować wzór: u

= -u

1-p

Przykład: u

0,947

= -u

0,053

= -1,61644.

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,007

0,008

0,009

∞

3,09024

2,87815

2,74777

2,65209

2,57583

2,51213

2,45727

2,40892

2,36561

0,01

2,32634

2,29036

2,25713

2,22621

2,19728

2,17009

2,14441

2,12007

2,09693

2,07485

0,02

2,05375

2,03352

2,01409

1,99539

1,97737

1,95996

1,94314

1,92684

1,91103

1,89570

0,03

1,88079

1,86629

1,85218

1,83843

1,82501

1,81191

1,79912

1,78661

1,77438

1,76241

0,04

1,75069

1,73920

1,72793

1,71688

1,70604

1,69540

1,68494

1,67466

1,66456

1,65463

0,05

1,64485

1,63524

1,62576

1,61644

1,60725

1,59819

1,58927

1,58047

1,57179

1,56322

0,06

1,55477

1,54643

1,53820

1,53007

1,52203

1,51410

1,50626

1,49852

1,49085

1,48328

0,07

1,47579

1,46838

1,46106

1,45380

1,44663

1,43953

1,43250

1,42554

1,41865

1,41183

0,08

1,40507

1,39838

1,39175

1,38517

1,37866

1,37220

1,36581

1,35946

1,35317

1,34694

0,09

1,34075

1,33462

1,32854

1,32251

1,31652

1,31058

1,30469

1,29884

1,29303

1,28727

0,10

1,28155

1,27588

1,27024

1,26464

1,25908

1,25357

1,24809

1,24264

1,23724

1,23187

0,11

1,22653

1,22123

1,21596

1,21073

1,20553

1,20036

1,19522

1,19012

1,18504

1,18000

0,12

1,17499

1,17000

1,16505

1,16012

1,15522

1,15035

1,14550

1,14069

1,13590

1,13113

0,13

1,12639

1,12168

1,11699

1,11232

1,10768

1,10306

1,09847

1,09390

1,08935

1,08482

0,14

1,08032

1,07584

1,07138

1,06694

1,06252

1,05812

1,05375

1,04939

1,04505

1,04073

0,15

1,03643

1,03215

1,02789

1,02365

1,01943

1,01522

1,01104

1,00687

1,00271

0,99858

0,16

0,99446

0,99036

0,98627

0,98220

0,97815

0,97411

0,97009

0,96609

0,96210

0,95813

0,17

0,95416

0,95022

0,94629

0,94238

0,93848

0,93459

0,93072

0,92686

0,92301

0,91918

0,18

0,91537

0,91156

0,90777

0,90399

0,90023

0,89647

0,89273

0,88901

0,88529

0,88159

0,19

0,87790

0,87422

0,87055

0,86689

0,86325

0,85962

0,85600

0,85239

0,84879

0,84520

0,20

0,84162

0,83805

0,83450

0,83095

0,82742

0,82389

0,82038

0,81687

0,81338

0,80990

0,21

0,80642

0,80296

0,79950

0,79606

0,79262

0,78919

0,78577

0,78237

0,77897

0,77557

0,22

0,77219

0,76882

0,76546

0,76210

0,75875

0,75541

0,75208

0,74876

0,74545

0,74214

0,23

0,73885

0,73556

0,73228

0,72900

0,72574

0,72248

0,71923

0,71599

0,71275

0,70952

0,24

0,70630

0,70309

0,69988

0,69668

0,69349

0,69031

0,68713

0,68396

0,68080

0,67764

0,25

0,67449

0,67135

0,66821

0,66508

0,66196

0,65884

0,65573

0,65262

0,64952

0,64643

0,26

0,64334

0,64027

0,63719

0,63412

0,63106

0,62801

0,62496

0,62191

0,61887

0,61584

0,27

0,61281

0,60979

0,60678

0,60376

0,60076

0,59776

0,59477

0,59178

0,58879

0,58581

0,28

0,58284

0,57987

0,57691

0,57395

0,57100

0,56805

0,56511

0,56217

0,55924

0,55631

0,29

0,55338

0,55046

0,54755

0,54464

0,54174

0,53884

0,53594

0,53305

0,53016

0,52728

0,30

0,52440

0,52153

0,51866

0,51579

0,51293

0,51007

0,50722

0,50437

0,50153

0,49869

0,31

0,49585

0,49302

0,49019

0,48736

0,48454

0,48173

0,47891

0,47610

0,47330

0,47050

0,32

0,46770

0,46490

0,46211

0,45933

0,45654

0,45376

0,45099

0,44821

0,44544

0,44268

0,33

0,43991

0,43715

0,43440

0,43164

0,42889

0,42615

0,42341

0,42066

0,41793

0,41519

0,34

0,41246

0,40974

0,40701

0,40429

0,40157

0,39886

0,39614

0,39343

0,39073

0,38802

0,35

0,38532

0,38262

0,37993

0,37723

0,37454

0,37186

0,36917

0,36649

0,36381

0,36113

0,36

0,35846

0,35579

0,35312

0,35045

0,34779

0,34513

0,34247

0,33981

0,33716

0,33450

0,37

0,33185

0,32921

0,32656

0,32392

0,32128

0,31864

0,31600

0,31337

0,31074

0,30811

0,38

0,30548

0,30285

0,30023

0,29761

0,29499

0,29238

0,28976

0,28715

0,28454

0,28193

0,39

0,27932

0,27671

0,27411

0,27151

0,26891

0,26631

0,26371

0,26112

0,25853

0,25594

0,40

0,25335

0,25076

0,24817

0,24559

0,24301

0,24043

0,23785

0,23527

0,23269

0,23012

0,41

0,22755

0,22497

0,22240

0,21983

0,21727

0,21470

0,21214

0,20957

0,20701

0,20445

0,42

0,20189

0,19934

0,19678

0,19422

0,19167

0,18912

0,18657

0,18402

0,18147

0,17892

0,43

0,17637

0,17383

0,17129

0,16874

0,16620

0,16366

0,16112

0,15858

0,15604

0,15350

0,44

0,15097

0,14843

0,14590

0,14337

0,14084

0,13830

0,13577

0,13324

0,13072

0,12819

0,45

0,12566

0,12314

0,12061

0,11809

0,11556

0,11304

0,11052

0,10799

0,10547

0,10295

0,46

0,10043

0,09791

0,09540

0,09288

0,09036

0,08784

0,08533

0,08281

0,08030

0,07778

0,47

0,07527

0,07276

0,07024

0,06773

0,06522

0,06271

0,06019

0,05768

0,05517

0,05266

0,48

0,05015

0,04764

0,04513

0,04263

0,04012

0,03761

0,03510

0,03259

0,03008

0,02758

0,49

0,02507

0,02256

0,02005

0,01755

0,01504

0,01253

0,01003

0,00752

0,00501

0,00251

0,50

Wielkość górnej granicy

max p

jednostronnego

β% przedziału ufności dla rzeczywistych

prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Q

max,p

w rozkładzie log-normalnym

z dwoma parametrami obliczanymi metodą największej wiarygodności oblicza się ze wzoru

[6]:

exp

max p













(1.27)

gdzie:

max,p

–

kwantyl rzędu p

obliczany wzorem (1.24);

–

kwantyl rzędu β

w standaryzowanym rozkładzie normalnym; w tabeli A3 (załącznik

podane są niektóre wartości (β oznacza prawdopodobieństwo nieprzewyższenia);

–

kwantyl rzędu p

w standaryzowanym rozkładzie normalnym; można skorzystać z

tabeli 1.9. lub np. funkcji ROZ

KŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-p) arkusza kalkulacyj-

nego MS Excel.

σ – odchylenie standardowe zmiennej ln(Q

max

–

∈) obliczane wzorem (1.26).

Teoretyczne prawdopodobieństwo P(Q

max

≥ x)

przewyższenia wartości x przez przepływ

max

w trójparametrowym rozkładzie logarytmiczno-normalnym oblicza się za pomocą wzo-

ru:

max

ln(

)

) 1

−

− µ





≥

= − Φ







∈

(1.28)

gdzie:

Φ(u

) jest dystrybuantą

(prawdopodobieństwem nieprzewyższenia)

standaryzowanego roz-

kładu normalnego; do jej obliczenia można skorzystać np. z arkusza kalkulacyjnego

MS Excel:

Φ(u

) = ROZKŁAD.NORMALNY.S(u) lub skorzystać z tabeli 1.10.

Tabela 1.10

. Wartości dystrybuanty Φ(u) (prawdopodobieństwa nieprzewyższenia) standaryzowanego

roz

kładu normalnego dla u ≥ 0. Przykład odczytu: Φ(u=0.43) = 0,33360. Dla u < 0 stosować wzór:

Φ(u)= 1-Φ(-u

). Przykład: Φ(u=-0.43) = 1-Φ(u=0.43) = 1-0,333601 = 0.666399.

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,0 0,50000

0,49601

0,49202

0,48803

0,48405

0,48006

0,47608

0,47210

0,46812

0,46414

0,1 0,46017

0,45620

0,45224

0,44828

0,44433

0,44038

0,43644

0,43251

0,42858

0,42465

0,2 0,42074

0,41683

0,41294

0,40905

0,40517

0,40129

0,39743

0,39358

0,38974

0,38591

0,3 0,38209

0,37828

0,37448

0,37070

0,36693

0,36317

0,35942

0,35569

0,35197

0,34827

0,4 0,34458

0,34090

0,33724

0,33360

0,32997

0,32636

0,32276

0,31918

0,31561

0,31207

0,5 0,30854

0,30503

0,30153

0,29806

0,29460

0,29116

0,28774

0,28434

0,28096

0,27760

0,6 0,27425

0,27093

0,26763

0,26435

0,26109

0,25785

0,25463

0,25143

0,24825

0,24510

0,7 0,24196

0,23885

0,23576

0,23270

0,22965

0,22663

0,22363

0,22065

0,21770

0,21476

0,8 0,21186

0,20897

0,20611

0,20327

0,20045

0,19766

0,19489

0,19215

0,18943

0,18673

0,9 0,18406

0,18141

0,17879

0,17619

0,17361

0,17106

0,16853

0,16602

0,16354

0,16109

1,0 0,15866

0,15625

0,15386

0,15151

0,14917

0,14686

0,14457

0,14231

0,14007

0,13786

1,1 0,13567

0,13350

0,13136

0,12924

0,12714

0,12507

0,12302

0,12100

0,11900

0,11702

1,2 0,11507

0,11314

0,11123

0,10935

0,10749

0,10565

0,10383

0,10204

0,10027

0,09853

1,3 0,09680

0,09510

0,09342

0,09176

0,09012

0,08851

0,08692

0,08534

0,08379

0,08226

1,4 0,08076

0,07927

0,07780

0,07636

0,07493

0,07353

0,07215

0,07078

0,06944

0,06811

1,5 0,06681

0,06552

0,06426

0,06301

0,06178

0,06057

0,05938

0,05821

0,05705

0,05592

1,6 0,05480

0,05370

0,05262

0,05155

0,05050

0,04947

0,04846

0,04746

0,04648

0,04551

1,7 0,04457

0,04363

0,04272

0,04182

0,04093

0,04006

0,03920

0,03836

0,03754

0,03673

1,8 0,03593

0,03515

0,03438

0,03362

0,03288

0,03216

0,03144

0,03074

0,03005

0,02938

1,9 0,02872

0,02807

0,02743

0,02680

0,02619

0,02559

0,02500

0,02442

0,02385

0,02330

2,0 0,02275

0,02222

0,02169

0,02118

0,02068

0,02018

0,01970

0,01923

0,01876

0,01831

2,1 0,01786

0,01743

0,01700

0,01659

0,01618

0,01578

0,01539

0,01500

0,01463

0,01426

2,2 0,01390

0,01355

0,01321

0,01287

0,01255

0,01222

0,01191

0,01160

0,01130

0,01101

2,3 0,01072

0,01044

0,01017

0,00990

0,00964

0,00939

0,00914

0,00889

0,00866

0,00842

2,4 0,00820

0,00798

0,00776

0,00755

0,00734

0,00714

0,00695

0,00676

0,00657

0,00639

2,5 0,00621

0,00604

0,00587

0,00570

0,00554

0,00539

0,00523

0,00508

0,00494

0,00480

2,6 0,00466

0,00453

0,00440

0,00427

0,00415

0,00402

0,00391

0,00379

0,00368

0,00357

2,7 0,00347

0,00336

0,00326

0,00317

0,00307

0,00298

0,00289

0,00280

0,00272

0,00264

2,8 0,00256

0,00248

0,00240

0,00233

0,00226

0,00219

0,00212

0,00205

0,00199

0,00193

2,9 0,00187

0,00181

0,00175

0,00169

0,00164

0,00159

0,00154

0,00149

0,00144

0,00139

3,0 0,00135

0,00131

0,00126

0,00122

0,00118

0,00114

0,00111

0,00107

0,00104

0,00100

3,1 0,00097

0,00094

0,00090

0,00087

0,00084

0,00082

0,00079

0,00076

0,00074

0,00071

3,2 0,00069

0,00066

0,00064

0,00062

0,00060

0,00058

0,00056

0,00054

0,00052

0,00050

3,3 0,00048

0,00047

0,00045

0,00043

0,00042

0,00040

0,00039

0,00038

0,00036

0,00035

3,4 0,00034

0,00032

0,00031

0,00030

0,00029

0,00028

0,00027

0,00026

0,00025

0,00024

3,5 0,00023

0,00022

0,00021

0,00020

0,00019

0,00018

0,00017

3,6 0,00016

0,00015

0,00014

0,00013

0,00012

0,00011

3,7 0,00011

0,00010

0,00009

0,00008

1.2.3.2.

Rozkład Weibulla

Maksymalny przepływ prawdopodobny Q

max,p

w trójparametrowym rozkładzie We-

ibulla obli

cza się za pomocą wzoru:

[

]

max,

ln( )

= +

−

∈

(1.30)

gdzie:

∈ – dolne ograniczenie przepływów Q

max

: Q

max

≥

∈; wartość odczytana z wykresu jak w

przykładzie 2;

β – parametr kształtu rozkładu, β > 0; obliczany metodą największej wiarygodności przez

rozwiązania następującego równania (∈ znane):

max,

(

) ln(

)

ln(

)

(

)

−

∑

∈

(1.31)

α – parametr skali rozkładu, α > 0; obliczany metodą największej wiarygodności za po-

mocą następującego wzoru (∈ i β znane):

max,

(

)

−





−









∑

∈

(1.32)

Prawdopodobieństwo P(Q

max

≥ x)

przewyższenia wartości x przez przepływ Q

max

w trój-

arametrowym rozkładzie Weibulla oblicza się za pomocą wzoru:

[

]

(

)

max

)

exp

(

)

≥

− α −

∈

(1.33)

Wielkość górnej granicy

max p

jednostronnego

β% przedziału ufności dla rzeczywistych

prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Q

max,p

oblicza się ze wzoru

(

)

max p

(1.34)

gdzie:

–

kwantyl rzędu β

w standaryzowanym rozkładzie normalnym; w tabeli A3 (załącznik

podane są niektóre wartości.

σ(Q

max,p

) – asymptotyczne odchylenie standardowe kwantyla Q

max,p

rozkładzie We-

ibulla z dwoma parametrami obliczanymi metodą największej wiarygodności [1], ob-

liczane wzorem:

(

)

[

]

(2) ln( ln )

(

/ 6)

max p

′

−

(1.35)

Prawdopodobieństwo P(Q

max

≥ x)

przewyższenia wartości x przez przepływ Q

max

w trój-

parametrowym rozkładzie Weibulla oblicza się za pomocą wzoru:

[

]

(

)

max

)

exp

(

)

≥

− α −

∈

(1.36)

2. Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym

– krót

ki ciąg przepływów maksymalnych rocznych

W przypadku krótkich ciągów przepływów maksymalnych rocznych, gdy ich liczebność

jest mniejsza od 30 ciąg należy uzupełnić wykorzystując obserwacje z przekroju wodowska-
zowego położonego w zlewni o podobnych warunkach formowania się odpływów wezbra-
niowych. Do przeniesienia informacji należy zastosować metodę regresyjną.

2.1. Metoda regresyjna

Metoda

uzupełniania informacji hydrologicznej powinna być oparta na równaniu regresji

pomiędzy przepływami w przekrojach wodowskazowych o podobnym reżimie hydrologicz-

nym

z długą serią obserwacyjną (kontrolowane przez IMGW), a przepływami w przekroju

kontrolowanym posiadającym krótki ciąg obserwacyjny. W oparciu o przepływy synchro-
niczne w obydwu przekrojach należy określić funkcję regresji.

Do określenia funkcji korelacyjnej należy przyjąć kryterium w postaci minimalnej warto-

ści sumy kwadratów różnic pomiędzy wartościami obliczonymi z równania, które najlepiej
opisuje zależność występującą pomiędzy przepływami w dwóch przekrojach w odniesieniu
do wartości pomierzonych:

( )

[

]

min

→

−

∑

(2.1)

gdzie

( )

- funkcja regresji,

Q -

przepływ w przekroju wodowskazowym w m

-1

- pr

zepływ w przekroju niekontrolowanym w m

-1

Funkcja regresji powinna odzwierciedlać charakter zależności, jaki występuje między

przepływami w analizowanych przekrojach. W zdecydowanej większości przypadków zaob-
serwowano liniową zależność pomiędzy przepływami, zatem można przyjąć, że regresję opi-

suje równanie liniowe w postaci:

( )

(2.2)

gdzie: a, b –

współczynniki równania.

Na etapie estymacji parametrów równania n

ależy określić w każdym przekroju współ-

czynniki a i b

poszukując funkcji

, a równanie 4.2 przyj

muje postać:

(

)

[

]

min

→

−

∑

(2.3)

Ponieważ suma kwadratów odchyleń wartości obliczonych i pomierzonych musi

zgodnie z równaniem (2

.3) przyjmować wartości minimalne, to zagadnienie estymacji spro-

wadza się do poszukiwania minimum funkcji względem parametrów a i b, współczynników

regresji liniowej.

Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia minimum funkcji jest rozwiązanie

układu równań normalnych:

∑

⋅

(2.4)

∑

Rozwiązując układ równań (2.4) otrzymuje się dwa równania, z których oblicza się

wspó

łczynniki:

( )

∑

−





























−

(2.5)

oraz

−

(2.6)

Gdzie

Q -

średnia wartość przepływu w przekroju niekontrolowanym w m

-1

Q -

średnia

wartość przepływu w przekroju wodowskazowym w m

-1

Klasyczną miarą zmienności jest wariancja, która utożsamiana jest ze zróżnicowaniem

zbiorowości wokół wartości średniej. Jest to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń po-
mierzonych wartości przepływów od średniej arytmetycznej, w zbiorze wyrażona wzorem:

(

)

∑

−

(2.7)

Liczba określająca zależność liniową między przepływami w przekroju niekontrolowa-

nym i w przekroju w

odowskazowym cieku analoga jest kowariancja określona wzorem:





























−

∑

(2.8)

Przy założeniu liniowej regresji, oblicza się współczynnik korelacji wyrażony wzorem:

⋅

(2.9)

gdzie:

kowariancja przepływów w odpowiednich przekrojach wodowskazowych,

wariancja przepływów w odpowiednich przekrojach wodowskazowych.

Miarą dopasowania modelu do synchronicznych pomiarów przepływu jest współczynnik

determinacji

, u

, który przyjmuje wartości z przedziału [0, 1]. Adekwatność modelu jest

tym lepsze im większa jest wartość r

Dla oceny istotności regresji w zbiorze wartości synchronicznych przepływów pomierzo-

nych w przekroju wodowskazowym cieku analoga Q

i przekroju niekontrolowanym Q

prze-

testowano hipotezy H

: B

= 0 oraz alternatywną H

: B

≠ 0.

Jeżeli b jest oceną parametru B, równanie populacji ma postać:

(2.10)

Dla weryfikacji hipotezy

należy obliczyć statystykę t o rozkładzie t-Studenta:

−

(2.11)

Warian

cja odchylenia od krzywej regresji ma postać:

−

⋅

−

(2.12)

Błąd współczynnika regresji oblicza się ze wzoru:

(2.13

Dla liczby stopni swobody określonej wzorem v = n – k – 1 należy obliczyć wartość kry-

tyczną testu na poziomie istotności α = 0,05.

Przykład 2.1. Określić równanie regresji do przeniesienia przepływów maksymalnych rocz-

nych z przekroju wodowskazowego Rajcza na rzece Sole

(długi ciąg obserwacyjny) do prze-

kroju wodowskazowego Cięcina na Sole (krótki ciąg obserwacyjny) i obliczyć krzywe praw-
dopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych. Wartości obserwowanych przepły-

wów zestawiono w tabeli.

Tabe

la 2.1. Przepływy maksymalne roczne

Rok

Przepływ

Wod.

Cięcina

max

Przepływ

Wod.

Rajcza

max

/s]

1995

87,2

57,2

1994

81,9

39,8

1993

65,8

42,1

1992

44,8

25,5

1991

96,8

69,6

1990

129,0

50,3

1989

78,8

69,5

1988

50,4

70,7

1987

69,3

51,5

1986

75,5

50,0

1985

131,0

63,5

1984

90,0

58,8

1983

142,0

51,0

1982

196,0

97,5

1981

123,0

79,9

1980

133,0

1979

39,8

1978

52,8

1977

62,4

1976

42,5

1975

68,0

1974

65,6

1973

46,0

1972

126,0

1971

51,0

1970

233,0

1969

32,0

1968

108,0

1967

35,6

1966

42,3

1965

104,0

1964

39,7

1963

46,9

1962

57,8

1961

35,0

1960

116,0

1959

142,0

1958

50,0

1957

65,6

1956

34,9

1955

85,6

1954

29,8

1953

39,5

1952

85,6

1951

76,0

Obliczenie współczynników a i b równania regresji

( )

4067

−





























−

∑

198

−

Ostatecznie równanie regresji ma postać:

195

4065

Dla synchronicznych obserwacji

w przekroju wodwskazowym Rajcza i Cięcina na rzece

Sole

krzywą regresji pokazano na rys. 2.1.

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

250,0

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

Przepływy Q

/s]

pł

y Q

/s]

Qmax obserw.

Qmax oblicz.

Rys. 2.1. Równanie regresji do przeniesienia przepływów z przekroju wodowskazowego

Raj

cza do przekroju wodowskazowego Cięcina

Uzupełnione (obliczone równaniem regresji) wartości przepływów maksymalnych rocznych

zestawiono w tabeli 2.2.

Tabela 2.2. Przepływy maksymalne roczne obserwowane i uzupełnione

Rok

Przepływ

Wod.

Cięcina

max

Przepływ

Wod.

Rajcza

max

/s]

1995

87,2

57,2

1994

81,9

39,8

1993

65,8

42,1

1992

44,8

25,5

1991

96,8

69,6

1990

129,0

50,3

1989

78,8

69,5

1988

50,4

70,7

1987

69,3

51,5

1986

75,5

50,0

1985

131,0

63,5

1984

90,0

58,8

1983

142,0

51,0

1982

196,0

97,5

1981

123,0

79,9

1980

175,8

133,0

1979

99,1

39,8

1978

109,9

52,8

1977

119,5

62,4

1976

123,1

42,5

1975

121,3

68,0

1974

176,7

65,6

1973

119,5

46,0

1972

279,5

126,0

1971

138,1

51,0

1970

221,3

233,0

1969

83,2

32,0

1968

150,1

108,0

1967

96,6

35,6

1966

101,2

42,3

1965

157,0

104,0

1964

104,0

39,7

1963

118,3

46,9

1962

123,1

57,8

1961

82,9

35,0

1960

211,8

116,0

1959

105,1

142,0

1958

214,4

50,0

1957

165,6

65,6

1956

97,0

34,9

1955

174,1

85,6

1954

73,0

29,8

1953

106,8

39,5

1952

133,0

85,6

1951

112,3

76,0

Obliczone przepływy maksymalne roczne przedstawione w tabeli 2.3 porównano na rys.

2.2. z przepływami maksymalnymi o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla
długiego ciągu obserwacyjnego.

Tabela 2.3. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla

ciągu obserwowanego i obliczonego metoda regresji

Prawdop.

[%}

Ciąg

obserwow.

maxp%

/s]

Górna gr.

zedziału

ufności

maxp%

+ σ

/s]

Ciąg

obliczony

maxp%

/s]

Górna gr.

przedziału

ufności

maxp%

+ σ

/s]

0,1

350,275

398,17

358,313

403,31

0,5

289,844

326,11

301,388

335,52

263,305

294,63

276,356

305,87

199,791

219,92

216,325

235,37

171,144

186,68

189,17

203,91

153,791

166,76

172,686

185,01

141,102

152,33

160,611

171,30

130,978

140,92

150,961

160,44

122,471

131,41

142,839

151,39

115,071

123,22

135,765

143,56

108,471

115,97

129,444

136,63

102,467

109,42

123,685

130,37

96,916

103,42

118,351

124,61

91,712

113,341

86,769

108,573

82,015

103,977

77,384

99,489

72,805

95,039

68,197

90,545

63,443

85,888

58,339

80,858

52,384

74,934

100

40,32

62,37

100

150

200

250

300

350

400

450

0,1

100

Prawdopodobieństwo przewyższenia p [%]

pł

/s]

Qmaxp% - metoda regresyjna

Qmaxp% - wartości obserwowane

Rys. 2.2. K

rzywe prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdo-

podobieństwie przewyższenia, ciąg obserwowany (linia czerwona) i ciąg obliczony metodą regresji

(linia niebieska)

a, c

– parametry równania regresji wielokrotnej,

r –

liczba przyjętych do analizy wartości.

W praktyce często stosowana jest uproszczona postać równania (3.1) zakładająca, że

czynniki kształtujące odpływ w zlewni niekontrolowanej i kontrolowanej są w przybliżeniu

takie same (k

= 1), a wykładnik potęgi n jest zależny od rodzaju przepływu charakterystycz-

nego (dla przepływów maksymalnych n = 2/3).

Równanie (3

.1) przy założeniu, że odpływ jednostkowy jest taki sam w obydwu zlew-

niach ma wtedy po

stać:













(3.3)

Objaśnienia jak we wzorze 3.1.

łożenie to nie uwzględnia zmian zagospodarowania przestrzennego, które mogą

wpływać na warunki formowania się odpływu oraz zmienności przepływów w strefie prze-
pływów wysokich, gdy istotną rolę odgrywa nie tylko powierzchnia zasilania cieku, a spadki

terenu i szors

tkość terenu.

3.2. Metoda interpolacji

Metodę interpolacyjną stosuje się w przypadku, gdy przekrój niekontrolowany znajduje sie

pomiędzy przekrojami wodowskazowymi położonymi na tym samym cieku (rys. 3.4) powy-
żej (wodowskaz górny W

) i poniżej (wodowskaz dolny W

Przepływ maksymalny roczny w przekroju niekontrolowanym oblicza się ze wzoru:

(3.4)

gdzie: Q

–

przepływ w przekroju niekontrolowanym w m

/s,

–

przepływ w przekroju wodowskazowym górnym w m

/s,

–

przepływ w przekroju wodowskazowym dolnym w m

-1

– powierzchnia zlewni do przekroju niekontrolowanego w km

– powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego górnego w km

– powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego dolnego w km

(

)

−













−

Tabela 3.4. Przepływy maksymalne roczne

Rok

Przepływ

Wod.

Cięcina

max

Przepływ

Wod.

Rajcza

max

/s]

1995

87,2

57,2

1994

81,9

39,8

1993

65,8

42,1

1992

44,8

25,5

1991

96,8

69,6

1990

129

50,3

1989

78,8

69,5

1988

50,4

70,7

1987

69,3

51,5

1986

75,5

50,0

1985

131

63,5

1984

58,8

1983

142

51,0

1982

196

97,5

1981

123

79,9

1980

222,8

133,0

1979

66,7

39,8

1978

88,5

52,8

1977

104,5

62,4

1976

71,2

42,5

1975

113,9

68,0

1974

109,9

65,6

1973

77,1

46,0

1972

211,1

126,0

1971

85,4

51,0

1970

390,4

233,0

1969

53,6

32,0

1968

180,9

108,0

1967

59,6

35,6

1966

70,9

42,3

1965

174,2

104,0

1964

66,5

39,7

1963

78,6

46,9

1962

96,8

57,8

1961

58,6

35,0

1960

194,4

116,0

1959

237,9

142,0

1958

83,8

50,0

1957

109,9

65,6

1956

58,5

34,9

1955

143,4

85,6

1954

49,9

29,8

1953

66,2

39,5

1952

143,4

85,6

1951

127,3

76,0

bliczone przepływy maksymalne roczne przedstawione w tabeli 3.5 porównano na rys.

3.2. z przepływami maksymalnymi o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia z

prze

pływami dla długiego ciągu obserwacyjnego.

Tabela 3.5. Prz

epływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla

ciągu obserwowanego i obliczonego metoda analogii hydrologicznej

Prawdop.

[%}

Ciąg

obserwow.

maxp%

/s]

Górna gr.

przedziału

ufności

maxp%

+ σ

/s]

Ciąg

obliczony

maxp%

/s]

Górna gr.

przedziału

ności

maxp%

+ σ

/s]

0,1

365,5

420,1

325,6

380,2

271,3

306,4

236,1

271,3

242,0

271,5

208,7

238,2

171,3

188,1

143,6

160,3

138,8

150,6

114,4

126,1

91,0

97,4

73,0

79,4

59,9

64,1

48,2

52,4

49,3

52,6

40,6

43,8

42,9

36,4

35,4

32,1

0,0

100,0

200,0

300,0

400,0

500,0

600,0

0,1

100

Prawdopodobieństwo przewyższenia p [%]

pł

ax p%

Rys. 3.2. Krzywe prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdo-

podobieństwie przewyższenia, ciąg obserwowany (linia niebieska) i ci obliczony metodą analogii hy-

drologicznej (linia czerwowna)

Tabela A1

. Wartości zmiennej standaryzowanej t

(

λ)

90%

80%

50%

40%

30%

25%

20%

10%

0.5%

0.1%

0.01%

1.5 0.5218 0.6704 1.0392 1.2261 1.4963 1.6824 1.9230 2.7342 3.6069 4.2743

4.8145

5.7539

6.7088

8.9668 12.2602

1.6 0.5713 0.7186 1.0853 1.2734 1.5457 1.7333 1.9755 2.7912 3.6669 4.3356

4.8764

5.8161

6.7705

9.0251 12.3099

1.7 0.6198 0.7654 1.1297 1.3188 1.5932 1.7821 2.0261 2.8463 3.7251 4.3954

4.9370

5.8775

6.8319

9.0844 12.3628

1.8 0.6675 0.8108 1.1725 1.3626 1.6389 1.8292 2.0748 2.8996 3.7817 4.4538

4.9964

5.9380

6.8928

9.1444 12.4182

1.9 0.7142 0.8551 1.2139 1.4049 1.6830 1.8746 2.1219 2.9512 3.8369 4.5109

5.0547

5.9977

6.9533

9.2047 12.4753

2.0 0.7601 0.8982 1.2539 1.4458 1.7257 1.9186 2.1675 3.0014 3.8907 4.5667

5.1118

6.0565

7.0131

9.2653 12.5339

2.5 0.9772 1.0991 1.4381 1.6336 1.9218 2.1208 2.3774 3.2340 4.1423 4.8297

5.3825

6.3379

7.3027

9.5659 12.8371

3.0 1.1765 1.2804 1.6018 1.8002 2.0958 2.3004 2.5641 3.4429 4.3706 5.0704

5.6320

6.6003

7.5758

9.8573 13.1433

3.5 1.3612 1.4467 1.7504 1.9514 2.2537 2.4636 2.7341 3.6342 4.5811 5.2936

5.8641

6.8462

7.8336

10.1369 13.4437

4.0 1.5340 1.6011 1.8875 2.0908 2.3994 2.6142 2.8912 3.8116 4.7775 5.5024

6.0820

7.0781

8.0778

10.4045 13.7355

4.5 1.6968 1.7458 2.0154 2.2208 2.5353 2.7547 3.0379 3.9780 4.9621 5.6992

6.2879

7.2980

8.3102

10.6610 14.0180

5.0 1.8511 1.8824 2.1357 2.3430 2.6631 2.8870 3.1760 4.1350 5.1369 5.8860

6.4835

7.5075

8.5321

10.9073 14.2912

5.5 1.9981 2.0121 2.2496 2.4587 2.7842 3.0123 3.3070 4.2841 5.3033 6.0641

6.6703

7.7078

8.7447

11.1443 14.5556

6.0 2.1386 2.1359 2.3580 2.5689 2.8994 3.1316 3.4317 4.4265 5.4623 6.2346

6.8492

7.9001

8.9491

11.3730 14.8118

6.5 2.2735 2.2544 2.4616 2.6742 3.0096 3.2457 3.5511 4.5629 5.6150 6.3983

7.0212

8.0852

9.1462

11.5940 15.0603

7.0 2.4033 2.3684 2.5611 2.7753 3.1154 3.3553 3.6658 4.6940 5.7619 6.5561

7.1870

8.2639

9.3365

11.8080 15.3017

7.5 2.5287 2.4782 2.6569 2.8725 3.2172 3.4609 3.7762 4.8204 5.9037 6.7084

7.3473

8.4367

9.5209

12.0157 15.5365

8.0 2.6499 2.5843 2.7493 2.9664 3.3156 3.5627 3.8828 4.9426 6.0409 6.8560

7.5026

8.6043

9.6997

12.2175 15.7652

8.5 2.7675 2.6871 2.8388 3.0573 3.4107 3.6613 3.9861 5.0610 6.1739 6.9990

7.6532

8.7670

9.8735

12.4139 15.9882

9.0 2.8817 2.7868 2.9255 3.1454 3.5029 3.7570 4.0862 5.1759 6.3031 7.1381

7.7996

8.9252

10.0426 12.6053 16.2059

9.5 2.9927 2.8837 3.0097 3.2309 3.5925 3.8498 4.1835 5.2876 6.4288 7.2734

7.9422

9.0794

10.2075 12.7920 16.4186

10 3.1009 2.9781 3.0916 3.3141 3.6797 3.9402 4.2781 5.3964 6.5512 7.4053

8.0812

9.2298

10.3683 12.9744 16.6266

11 3.3094 3.1598 3.2493 3.4742 3.8475 4.1142 4.4604 5.6059 6.7873 7.6597

8.3494

9.5201

10.6791 13.3273 17.0299

12 3.5087 3.3333 3.3997 3.6270 4.0075 4.2802 4.6344 5.8060 7.0128 7.9029

8.6060

9.7981

10.9769 13.6660 17.4176

13 3.6999 3.4995 3.5437 3.7732 4.1608 4.4392 4.8010 5.9978 7.2292 8.1364

8.8523

10.0651 11.2632 13.9920 17.7914

14 3.8838 3.6594 3.6820 3.9138 4.3081 4.5920 4.9612 6.1824 7.4375 8.3612

9.0896

10.3224 11.5391 14.3066 18.1526

15 4.0612 3.8135 3.8154 4.0492 4.4501 4.7393 5.1156 6.3603 7.6385 8.5782

9.3187

10.5710 11.8058 14.6109 18.5025

16 4.2329 3.9626 3.9443 4.1801 4.5873 4.8816 5.2649 6.5324 7.8329 8.7881

9.5404

10.8117 12.0641 14.9059 18.8421

Tabela A2. Kwantyle

(

test

) rozkładu χ

(chi-kwadrat),

ν - liczba stopni swobody,

test

= prawdopo

dobieństwo przewyższenia

test

0.10

0.05

0.025

0.01

2.706 3.841

5.024

6.635

4.605 5.991

7.378

9.210

6.251 7.815

9.348

11.34

7.779 9.488

11.14

13.28

9.236 11.07

12.83

15.09

10.64 12.59

14.45

16.81

12.02 14.07

16.01

18.48

13.36 15.51

17.53

20.09

14.68 16.92

19.02

21.67

15.99 18.31

20.48

23.21

17.28 19.68

21.92

24.73

18.55 21.03

23.34

26.22

19.81 22.36

24.74

27.69

21.06 23.68

26.12

29.14

22.31 25.00

27.49

30.58

Tabela A

3. Wartości kwantyla u

dla zadanego poziomu ufności β

β, %

0.994

1.282

1.645

2.326

Tabela A4

. Wartości funkcji ϕ(p,λ)

90%

80%

50%

20%

10%

0.1%

1.5

0.522

0.670

1.039

1.923

2.734

3.607

4.814

5.754

8.967

1.6

0.571

0.719

1.085

1.976

2.791

3.667

4.876

5.816

9.025

1.7

0.620

0.765

1.130

2.026

2.846

3.725

4.937

5.877

9.084

1.8

0.667

0.811

1.173

2.075

2.900

3.782

4.996

5.938

9.144

1.9

0.714

0.855

1.214

2.122

2.951

3.837

5.055

5.998

9.205

0.760

0.898

1.254

2.167

3.001

3.891

5.112

6.056

9.265

2.5

0.977

1.099

1.438

2.377

3.234

4.142

5.383

6.338

9.566

1.176

1.280

1.602

2.564

3.443

4.371

5.632

6.600

9.857

3.5

1.361

1.447

1.750

2.734

3.634

4.581

5.864

6.846

10.137

1.534

1.601

1.888

2.891

3.812

4.777

6.082

7.078

10.405

4.5

1.697

1.746

2.015

3.038

3.978

4.962

6.288

7.298

10.661

1.851

1.882

2.136

3.176

4.135

5.137

6.484

7.507

10.907

5.5

1.998

2.012

2.250

3.307

4.284

5.303

6.670

7.708

11.144

2.139

2.136

2.358

3.432

4.426

5.462

6.849

7.900

11.373

6.5

2.273

2.254

2.462

3.551

4.563

5.615

7.021

8.085

11.594

2.403

2.368

2.561

3.666

4.694

5.762

7.187

8.264

11.808

7.5

2.529

2.478

2.657

3.776

4.820

5.904

7.347

8.437

12.016

2.650

2.584

2.749

3.883

4.943

6.041

7.503

8.604

12.217

8.5

2.768

2.687

2.839

3.986

5.061

6.174

7.653

8.767

12.414

2.882

2.787

2.925

4.086

5.176

6.303

7.800

8.925

12.605

9.5

2.993

2.884

3.010

4.183

5.288

6.429

7.942

9.079

12.792

3.101

2.978

3.092

4.278

5.396

6.551

8.081

9.230

12.974

3.309

3.160

3.249

4.460

5.606

6.787

8.349

9.520

13.327

3.509

3.333

3.400

4.634

5.806

7.013

8.606

9.798

13.666

3.700

3.500

3.544

4.801

5.998

7.229

8.852

10.065 13.992

3.884

3.659

3.682

4.961

6.182

7.438

9.090

10.322 14.307

4.061

3.814

3.815

5.116

6.360

7.638

9.319

10.571 14.611

4.233

3.963

3.944

5.265

6.532

7.833

9.540

10.812 14.906

4.399

4.107

4.069

5.409

6.699

8.021

9.755

11.045 15.192

4.561

4.247

4.190

5.550

6.861

8.204

9.964

11.272 15.471

4.718

4.383

4.308

5.686

7.018

8.382

10.168 11.493 15.743

4.871

4.516

4.422

5.819

7.172

8.556

10.366 11.708 16.007

5.020

4.645

4.534

5.948

7.321

8.725

10.559 11.918 16.266

5.166

4.771

4.643

6.075

7.467

8.890

10.748 12.124 16.519

5.308

4.895

4.749

6.198

7.610

9.051

10.932 12.324 16.766

5.448

5.016

4.854

6.319

7.749

9.209

11.113 12.521 17.008

5.584

5.134

4.955

6.437

7.886

9.364

11.290 12.713 17.246

Document Outline