Temat: Wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy na podstawie prawa Stokes’a

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia było badanie ruchu ciał spadających w ośrodku ciągłym oraz wyznaczanie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokes'a.

2. Zasada pomiaru:

Wyznaczanie współczynnika lepkości metodą Stokes'a posługujemy się szerokim szklanym naczyniem cylindrycznym wypełnionym badaną cieczą. Na powierzchni tego naczynia znajdują się dwa pierścienie. Za ich pomocą określamy drogę pomiarową kulki w cieczy. Suwmiarką mierzymy średnicę kulek. Wybraną kulkę puszczamy swobodnie tuż nad powierzchnią cieczy w ten sposób, aby jej tor w przybliżeniu pokrywał się z osią naczynia. Czas opadania kulki na drodze między dwoma pierścieniami mierzymy stoperem.

rys. Urządzenie do pomiaru współczynnika lepkości metodą Stokesa: 1 − ciecz, 2 − cylinder szklany, 3 − spadająca kulka, 4 − pierścienie, h − odległość między pierścieniami.

3. Wyniki pomiarów i obliczenia:

Pomiar średnicy kulek

kulka	mała	duża
d [mm]	3,1	4
	3,2	4
	3,1	3,9
	3	4,1
	3,1	4,2
	3,2	4,1
	3,2	4
	3	4
	3,1	3,9
	3,2	4
dśr [mm]	3,12	4,02

Obliczenia:

• obliczanie wartości średniej średnicy małej kulki:

• obliczanie wartości średniej średnicy dużej kulki:

Obliczanie średniego promienia kulek w mm

kulka	mała	duża
$$r = \frac{d}{2}$$ [mm]	1,55	2
	1,6	2
	1,55	1,95
	1,5	2,05
	1,55	2,1
	1,6	2,05
	1,6	2
	1,5	2
	1,55	1,95
	1,6	2
$$r_{sr}\frac{d_{sr}}{2}$$ [mm]	1,56	2,01

• obliczanie średniego błędu kwadratowego promienia małej kulki

• obliczanie średniego błędu kwadratowego promienia dużej kulki

Obliczanie średniej masy kulek

kulka	50 x mała	16 x duża
m [g]	6.53	4.06

Obliczenia:

$$m_{sr} = \frac{6.53g}{50} = 0,13\lbrack g\rbrack$$

$$m_{sr} = \frac{4,06g}{16} = 2,01\lbrack g\rbrack$$

Δm = 0,01 [g]

Pomiar drogi opadania kulek

h = 235 [mm]

Δh = 1 [mm]

Pomiary czasu opadania kulek

kulka	t	Δt	tśr
[−]	[s]	[s]	[s]
mała	3,46	0,09	3,42
	3,42
	3,27
	3,55
	3,45
	3,5
	3,28
	3,49
	3,44
	3,35
duża	2,43	0,09	2,31
	2,29
	2,2
	2,38
	2,19
	2,33
	2,36
	2,4
	2,25
	2,28

Obliczenia:

• obliczanie średniego czasu ruchu małej kulki:

• obliczanie średniego czasu ruchu dużej kulki:

• obliczanie średniego błędu kwadratowego czasu ruchu małej kulki:

• obliczanie średniego błędu kwadratowego czasu ruchu dużej kulki:

• obliczanie średniego współczynnika lepkości cieczy dla małej kulki:

$$\eta = \frac{\left( m - \frac{4}{3}\pi r^{3}\rho_{c} \right)g}{6\pi r\frac{h}{t}}$$

$$\eta = \frac{\left( 0,13g - \frac{4}{3}*3,14*\left( 1,56mm \right)^{3}*879kg/m3 \right)9.81\frac{m}{s^{2}}}{6*3,14*1,56mm*\frac{235mm}{3,42s}}$$

$$\eta = \frac{\left( 0,00013kg - \frac{4}{3}*3,14*\left( 0,00156m \right)^{3}*879\frac{\text{kg}}{m^{3}} \right)9.81\frac{m}{s^{2}}}{6*3,14*0,00156m*\frac{0,235m}{3,42s}}$$

η ≈ 5, 49

• obliczanie średniego współczynnika lepkości cieczy dla dużej kulki:

$$\eta = \frac{\left( m - \frac{4}{3}\pi r^{3}\rho_{c} \right)g}{6\pi r\frac{h}{t}}$$

$$\eta = \frac{\left( 2,01g - \frac{4}{3}*3,14*\left( 2,01mm \right)^{3}*879kg/m3 \right)9.81\frac{m}{s^{2}}}{6*3,14*2,01mm*\frac{235mm}{2,31s}}$$

$$\eta = \frac{\left( 0,00201kg - \frac{4}{3}*3,14*\left( 0,00201m \right)^{3}*879\frac{\text{kg}}{m^{3}} \right)9.81\frac{m}{s^{2}}}{6*3,14*0,00201m*\frac{0,235m}{2,31s}}$$

η ≈ 5, 04

• obliczanie względnego błędu współczynnika lepkości cieczy dla małej kulki:

$$\frac{\eta}{\eta} = \left( \frac{m}{m_{sr}} + \frac{t}{t_{sr}} + \frac{r}{r_{sr}} + \frac{h}{h} \right)100\%$$

$$\frac{\eta}{\eta} = \left( \frac{0,01}{0,13} + \frac{0,09}{3,42} + \frac{0,04}{1,56} + \frac{1}{235} \right)100\%$$

$$\frac{\eta}{\eta} = \left( 0,077 + 0,026 + 0,026 + 0,004 \right)100\%$$

$$\frac{\eta}{\eta} = 0,133*100\%$$

$$\frac{\eta}{\eta} = 13,3\%$$

• obliczanie względnego błędu współczynnika lepkości cieczy dla dużej kulki:

$$\frac{\eta}{\eta} = \left( \frac{m}{m_{sr}} + \frac{t}{t_{sr}} + \frac{r}{r_{sr}} + \frac{h}{h} \right)100\%$$

$$\frac{\eta}{\eta} = \left( \frac{0,01}{2,01} + \frac{0,09}{2,31} + \frac{0,03}{2,01} + \frac{1}{235} \right)100\%$$

$$\frac{\eta}{\eta} = \left( 0,005 + 0,038 + 0,015 + 0,004 \right)100\%$$

$$\frac{\eta}{\eta} = 0,062*100\%$$

$$\frac{\eta}{\eta} = 6,2\%$$

Tabela pomiarowa dla małej kulki

Lp.	d [m]	dśr [m]	rśr [m]	mc [kg]	mśr [kg]	h [m]	t [s]	tśr [s]	$$\rho_{c}\ \left\lbrack \frac{\text{kg}}{m^{3}} \right\rbrack$$	$$g\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$	η [Pa⋅s]
1	0,0031	0,00312	0,00156	0,00653	0,00013	0,235	3,46	3,42	879	9,81	5,49
2	0,0032						3,42
3	0,0031						3,27
4	0,003						3,55
5	0,0031						3,45
6	0,0032						3,5
7	0,0032						3,28
8	0,003						3,49
9	0,0031						3,44
10	0,0032						3,35

Tabela pomiarowa dla dużej kulki

Lp.	d [m]	dśr [m]	rśr [m]	mc [kg]	mśr [kg]	h [m]	t [s]	tśr [s]	$$\rho_{c}\ \left\lbrack \frac{\text{kg}}{m^{3}} \right\rbrack$$	$$g\ \left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$	η [Pa⋅s]
1	0,004	0,00402	0,00201	0,00406	0,00201	0,235	2,43	2,31	879	9,81	5,04
2	0,004						2,29
3	0,0039						2,2
4	0,0041						2,38
5	0,0042						2,19
6	0,0041						2,33
7	0,004						2,36
8	0,004						2,4
9	0,0039						2,25
10	0,004						2,28

4. Wnioski:

Przed przystąpieniem do wykonywania pomiarów zbadaliśmy parametry badanego zjawiska tzn. przy pomocy wagi elektronicznej dokonaliśmy pomiaru masy kulek. Dokonaliśmy także pomiaru ich średnicy przy użyciu suwmiarki. Pomiary średnicy wykonaliśmy kilkukrotnie w celu uzyskania większej dokładności pomiarów.

Na podstawie wyników obliczeń widać, że kulki o większej masie poruszają się z większą prędkością. Przy obliczaniu błędu największy udział mają błędy względne czasu spadania kulki w cylindrze. Błędy te można zmniejszyć stosując dokładniejsze urządzenia pomiarowe, np. fotokomórki przy pomiarze czasu spadania kulki, w ten sposób udałoby się nam ograniczyć wpływ czasu reakcji, który wnosi bardzo dużą różnice w pomiarach.

Tak duży błąd względny dla obu kulek spowodowany jest znaczną rozbieżnością w pomiarze spadania kul w cieczy. Różnica współczynnika lepkości dla obu kulek wynika z faktu, że ich powierzchnia nie jest idealnie gładka.

Obserwując opadanie kul w cieczy zauważamy, że działają na nie siły ciężkości, wyporu oraz oporu.