ZARZĄDZANIE KAPITAŁEM I RYNKI FINANSOWE – WYKŁADY
19.12.2013
1. W celu dywersyfikacji ryzyka akcjonariusze mogą tworzyć portfele akcyjne, w skład których wchodzą akcje różnych spółek. W portfelach inwestycyjnych najistotniejszym parametrem jest współczynnik korelacji pomiędzy stopami zwrotu z akcji wchodzącej w skład portfela. Dla portfela dwuskładnikowego współczynnik korelacji jest obliczany w sposób następujący:
a) Dla danych bazujących na prawdopodobieństwie:
$$Pij = \frac{\sum_{k = 1}^{n}{p_{k}*\left( d_{\text{ik}} - d_{i} \right)*(d_{\text{jk}} - d_{j})}}{S_{i}*S_{j}}$$
pk – prawdopodobieństwo k-tej sytuacji rynkowej,
dik, djk - prawdopodobieństwo stopy zwrotu w kolejnych sytuacjach rynkowych,
di, dj - średnie oczekiwane stopy zwrotu,
Si, Sj - odchylenia standardowe stóp zwrotu.
b) Dla danych bazujących na notowaniach historycznych:
$$Pij = \frac{\sum_{t = 1}^{n}{\left( d_{\text{it}} - d_{i} \right)*(d_{\text{jt}} - d_{j})}}{\left( n - 1 \right)*\ S_{i}*S_{j}}$$
dit, djt - historyczne stopy zwrotu w kolejnych okresach,
di, dj - średnie historyczne stopy zwrotu,
Si, Sj - odchylenia standardowe stóp zwrotu.
2. Współczynnik korelacji liniowej przyjmuje wartości z przedziału <-1,1>. Ujemny współczynnik oznacza, że stopy zwrotu zachowują się przeciwnie to znaczy jeżeli jedna rośnie to druga maleje i odwrotnie. Przy współczynniku dodatnim wzrost jednej stopy oznacza wzrost drugiej i odwrotnie.
Wartość bezwzględna współczynnika zmienności określa też siłę zależności:
- Dla przedziału od 0 do 0,3 – zależność niewyraźna,
- Dla wartości od 0,3 do 0,5 – zależność średnia,
- Dla wartości powyżej 0,5 – zależność silna.
Przykład 1.
Oblicz współczynnik korelacji dla akcji A i B jeżeli dla akcji A oczekiwane stopy zwrotu wynoszą:
- W okresie wzrostu 5%,
- W czasie stagnacji 3%,
- W czasie recesji -4%.
Dla akcji odpowiednio 3%, 2%, 1%. Prawdopodobieństwo recesji szacuje się na 0,3, wzrostu na 0,2, a stagnacji na 0,5.
A B
p1 = 0,2 d1 = 5% d1 = 3%
p2 = 0,5 d2 = 3% d2 = 2%
p3 = 0,3 d3 = -4% d3 = 1%
$$d = \sum_{i = 1}^{n}{d_{i}*p_{i}}$$
dA = 0,2*5% + 0,5*3% + 0,3*(-4%) = 1,3%
dB = 0,2*3% + 0,5*2% + 0,3*1% = 1,9%
$$S = \sqrt{V} = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n}{p_{i}*{*(d_{i} - d)}^{2}}}$$
$$SA = \sqrt{0,2*{(5\% - 1,3\%)}^{2} + 0,5*{(3\% - 1,3\%)}^{2} + 0,3*{( - 4\% - 1,3\%)}^{2}\ } = 3,55\%$$
$$SB = \sqrt{0,2*{(3\% - 1,9\%)}^{2} + 0,5*{(2\% - 1,9\%)}^{2} + 0,3*{(1\% - 1,9\%)}^{2}\ } = 0,7\%$$
$$Pij = \frac{\sum_{k = 1}^{n}{p_{k}*\left( d_{\text{ik}} - d_{i} \right)*(d_{\text{jk}} - d_{j})}}{S_{i}*S_{j}}$$
$Pij = \frac{0,2*\left( 5 - 1,3 \right)*\left( 3 - 1,9 \right) + 0,5*\left( 3 - 1,3 \right)*\left( 2 - 1,9 \right) + 0,3*\left( - 4 - 1,3 \right)*(1 - 1,9)}{3,55*0,7}$ = 0,94
Odp. Akcje A i B są silnie skorelowane dodatnio co oznacza, że wzrost stopy zwrotu akcji A wywołuje prawie taki sam wzrost stopy zwrotu akcji B (to samo dotyczy spadku).
3. Stopa zwrotu i ryzyko mogą być również obliczane dla całego portfela akcyjnego. Stopa zwrotu jest wyznaczana wówczas jako średnia ważona udziałami poszczególnych akcji w portfelu.
$$d = \sum_{i = 1}^{n}{w_{i}*d_{i}}$$
wi- udział poszczególnych akcji w portfelu,
di - średnia stopa zwrotu dla poszczególnych akcji.
Ryzyko portfela wyraża odchylenie standardowe obliczane następująco:
$$S = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n}{w_{i}^{2}*s_{i}^{2} + 2\sum_{i = 1}^{n - 1}{\sum_{j = i + 1}^{n}{w_{i}*w_{j}*S_{i}*S_{j}*pij}}}}$$
wi - udział akcji w portfelu,
Si, Sj – odchylenia standardowe poszczególnych akcji
pij – współczynnik korelacji.
Przykład 2.
Określ oczekiwaną stopę zwrotu oraz odchylenia standardowe dla portfela składającego się z akcji z poprzedniego przykładu. Inwestor posiada 60% akcji A i 40% B.
wA = 0,6 dA = 1,3
wB = 0,4 dB = 1,9
d = 0,6*1,3% + 0,4*1,9% = 1,54%
$$S = \sqrt{{0,6}^{2}*{3,55}^{2} + {0,4}^{2}*{0,7}^{2} + 2*0,6*0,4*3,55*0,7*0,94} = 2,40$$
Odp. Średnia oczekiwania stopa zwrotu z portfela wynosi 1,54% i może odchylać się o ± 2,4%.
4. W portfelu inwestycyjnym można również próbować określać wartość udziałów umożliwiającą minimalizację ryzyka inwestycyjnego. Wartość takiego udziału dla portfela dwuskładnikowego wynosi:
$$w_{1} = \frac{S_{2}^{2} - S_{1}*S_{2}*p_{12}}{S_{1}^{2} + S_{2}^{2} - {2S}_{1}*S_{2}*p_{12}}$$
w2 = 1 − w1
S1, S2 - odchylenia standardowe,
p12 - współczynnik korelacji.
Minimalny poziom ryzyka dla tego portfela wyznacza minimalne odchylenie standardowe:
$$S_{\min} = \sqrt{\frac{S_{1}^{2}*S_{2}^{2}*(1 - p_{12}^{2})}{S_{1}^{2} + S_{2}^{2} - {2S}_{1}*S_{2}*p_{12}}}$$
Przykład 3.
Określ udziały akcji A i B dające minimalne ryzyko portfela i oblicz te ryzyko jeżeli odchylenia standardowe wynoszą odpowiednio 1,2% i 0,8% a współczynnik korelacji 0,4%.
PAB = 0,4%
SA = 1,2%
SB = 0,8%
$$w_{A} = \frac{{0,8}^{2} - 1,2*0,8*0,4}{{1,2}^{2} + {0,8}^{2} - 2*1,2*0,8*0,4} = 19,51\%$$
$$S_{\min} = \sqrt{\frac{{1,2}^{2}*{0,8}^{2}*(1 - {0,4}^{2})}{1,2 + {0,8}^{2} - 2*1,2*0,8*0,4}} = 0,7221$$
wB = 80,49%
Odp. Aby zminimalizować ryzyko udział akcji A powinien wynosić 19,51% a udział akcji B 80,49%. Wówczas odchylenie charakteryzujące ten portfel jest najniższe i wynosi 0,7221.