Chemia - Zestaw nr 4. Granica i ciągłość funkcji.
Podstawowe znane granice: lim
x→0
sin x
x
= 1, lim
x→±∞
1 +
1
x
x
= e, lim
x→±∞
1 −
1
x
x
=
1
e
, lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e.
(Ogólnie, jeżeli lim
x→ x
0
g(x) = 0 i g(x) 6= x
0
w pewnym sąsiedztwie punktu x
0
, to lim
x→x
0
(1 + g(x))
1/g(x)
= e;
podobnie, jeżeli lim
x→x
0
g(x) = +∞ lub −∞ , to lim
x→x
0
(1 + 1/g(x))
g(x)
= e. Tutaj x
0
może być także równe ±∞.)
Gdy funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x
0
, to funkcję tę nazywamy ciągłą w punkcie
x
0
, jeżeli lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
).
Twierdzenie Weierstrassa. Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na przedziale domkniętym ha, bi, to jest na
tym przedziale ograniczona oraz przyjmuje (osiąga) w tym przedziale swoje kresy (dolny i górny).
Twierdzenie (własność) Darboux. Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym ha, bi oraz
liczba q jest zawarta pomiędzy f (a) i f (b), to istnieje taki punkt c ∈ ha, bi, że f (c) = q.
1) Naszkicować funkcje, o których wiadomo, że:
a)
lim
x→ − ∞
f (x) = 1, lim
x→ 1−
f (x) = ∞, lim
x→ 1+
f (x) = −∞, lim
x→ 2−
f (x) = 5, lim
x→ 2+
f (x) = −3, lim
x→ ∞
f (x) = −1.
b)
lim
x→ − ∞
f (x) = ∞, lim
x→ 1−
f (x) = 0, lim
x→ 1+
f (x) = ∞, lim
x→ 2−
f (x) = ∞, lim
x→ 2+
f (x) = −∞, lim
x→∞
f (x) = 1.
2) Policzyć (jeśli istnieją) granice:
a0) lim
x→2
x
3
− 3x
2
− x + 6
x
3
+ 2x
2
+ x − 18
;
a1) lim
x→0
√
x
2
+ 1 −
√
x + 1
1 −
√
x + 1
;
a2) lim
x→4
x +
√
x − 6
x − 5
√
x + 6
;
a) lim
x→−∞
(−3x
2
+ x − 2);
b) lim
x→0
tg 6x ctg 4x;
c’) lim
x→0
1 − cos x
x
2
;
c) lim
x→0
x
√
1 − cos x
;
d) lim
x→0
r sin 3x
x
+ 1;
e) lim
x→∞
x − 1
x + 1
x
;
f ) lim
x→∞
x(
√
x
2
+ 1 − x);
g) lim
x→0
tg x − sin x
x
3
;
h) lim
x→0
arc sin x
2x
;
i) lim
x→0
2x
tg 5x
;
j) lim
x→0
tg x
sin (x/2)
;
k) lim
x→0
ln(1 + x)
x
;
l) lim
x→0−
x2
1/x
;
m1) lim
x→0
x sin (1/x),
m2) lim
x→∞
x sin
1
x
,
m3) lim
x→0
x
2
sin (1/x)
sin x
;
n) lim
x→1
3x
4
− 4x
3
+ 1
(x − 1)
2
;
o) lim
x→6
√
x + 3 − 3
x − 6
;
p) lim
x→∞
x + 2
x − 3
2x
;
r) lim
x→∞
2x + 1
2x − 5
x
;
s) lim
x→∞
x − sin x
x − cos x
;
t) lim
x→∞
q
x +
p
x +
√
x
√
x + 1
;
u) lim
x→0+
v
u
u
t
1
x
+
s
1
x
+
r 1
x
−
v
u
u
t
1
x
−
s
1
x
+
r 1
x
;
v) lim
x→∞
x
2
− x + 1
x
2
+ x + 1
2x+3
;
w) lim
x→∞
x
2
+ x − 1
x
2
+ x − 2
x
2
+3x
;
x) lim
x→0
√
1 + sin x −
√
1 − sin x
x
;
x1) lim
x→0
√
2 + x −
√
2 − x
√
3 + 2x −
√
3 − 2x
;
x2) lim
x→∞
q
x
p
x +
√
x
√
2x + 1
;
y1) lim
x→∞
x (π/2 − arc tg x);
y2) lim
x→1
π/2 − arc sin x
x − 1
;
z) lim
x→∞
cos x
1 − cos
1
x
.
3) Zbadać ciągłość funkcji: a) f (x) =
7 − x
2
7 + x
2
x ≤ −1
3
4
+ 5 |x + 1|, −1 < x < 3
x
4
,
x ≥ 3
b) f (x) =
2
1/(x−2)
− 1
2
1/(x−2)
+ 1
, x 6= 2
1,
x = 2
c) f (x) =
x
3
+ 2x, x < −2
ax,
x ≥ −2
;
d) f (x) =
(
sin
1
x
, x 6= 0
0,
x = 0
;
e) f (x) =
sin
2
x
x
√
x
2
, x 6= 0
−1,
x = 0
;
f ) f (x) =
x
2
− 2x − 3
x(x − 1)(x − 3)
.
4) a) Wykazać, że równanie x
3
−3x−1 = 0 ma pierwiastek w przedziale h1, 2i. Ile jest takich pierwiastków?
1
