Egzamin dla Aktuariuszy z 8 kwietnia 2000 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
I. P( )
A =
7
,
0
= P( A ∩ B ∩ C) + , 0 49 b
o P
( A \ ( A ∩ B ∩ C)) = , 0 49
Z tego: P( A ∩ B ∩ C) = , 0 2
1 P( )
A P( B) P( C) = , 0 7 ⋅ ,
0 6 ⋅ 5
,
0
= ,
0 21 TAK
II TAK bo:
P( B) = 0 → P( A ∩ B ∩ C) = 0 = P( ) A ⋅ 0 ⋅ P( C) = 0
III NIE bo:
P( A ∩ C ∩ A ∩ B) = P( A ∩ B ∩ C) = P( A ∩ C) P( A ∩ B) = P( ) A P( C) P( )
A P( B) =
= 2
P ( )
A P( B) P( C) → nzl tylko gdy P(A)=1 lub 0
czyli odpowiedź (D) jest prawidłowa
Zadanie 2
Dla k=1 (c,b) (b,c) (b,b,c) (b,b,b,c) (b,b,b,b,c) (b,b,b,b,b,c)
13 12 11 10 9
Z tego: 2 + + + + = 1716
4 9 9 9 9
Dla k>1 kilka czarnych i biała
14 − k
10
ODP = 1716 + ∑ 4
= ... = 2
15
k =
15
2
5
5
Zadanie 3
X 1 = P( X ≤ t X + Y =
) t
M = M jednostajny na (0;M) bo X 2 = P( Y ≤ t X + Y =
) t
M = M
1
1
− ( M − x)
− x
1
1
e µ
e µ
+ =
( )
1
f ( X X + Y = M ) f ( X Y
M X ) f X
µ
µ
=
=
=
∫ LICZ
M
1
1
− ( M − x)
− x
M
1
1
∫ e µ
e µ
µ
µ
0
M −
M
t 1
t
2
dla t ∈ ;
0
P(min( X , Y ) ≤ t X + Y = M ) = 1− P( X ≥ t, M − X ≥ t) = 1− ∫
=
2
M
M
t
2
f =
M
M
M
2
2
2
2
ODP = ∫ 2
t
= t
M
M
6
=
=
=
M
M
M
4 M
4
24
0
0
Zadanie 4
P( t 10 t) 1
= ∫ P( t p) f ( p 10 t) 0
f (
P
t p f p
p
p
p 10 t )
(10 )
10
10
( )
10
=
=
=
= 11 p
1
∫ P(10 t p)
1
1
10
f ( p)
∫ p
11
0
0
1
1
ODP = ∫
11
p ⋅
10
11 p
=
12
p
= 11
12
12
0
0
Zadanie 5
1
X
∑
i
L =
ex
10
p −
µ
µ
∑ xi
ln L = −10 ln µ −
µ
∂ L
10
∑ xi −10 µ + ∑ x
= −
+
=
i = 0 → µ = x = 50
2
2
∂ µ
µ
µ
µ
100
−
L : P
= 100 = ( > 100) =
1
( X
)
µ
P Y
e
i
9
100
X
∑
−
1
i
L
exp
1 =
µ
i=
e
1
9
−
µ
µ
9
∑ Xi
100
ln L = −
− 9ln µ i=
− 1
1
µ
µ
9
10
∑ x
x
i
∑
∂
i
100
9
9 µ
x
i=
i=
∑ i 50⋅10
1
1
=
− +
=
−
= 0 → ˆ µ =
=
≈ 55 5
, 55...
2
2
2
2
∂ µ
µ
µ
µ
µ
µ
9
9
Zadanie 6
Y ≅ J (
)
1
,
0
i
min{ X =
−
+
i }
( θ θ min Y θ
2
1 )
{ i} 1
ma {
x X
=
−
+
i }
( θ θ max Y θ
2
1 )
{ i} 1
Z tego: corr(mi {
n X , max X
= corr min Y ,max Y
i }
{ i})
( { i}
{ i})
n
P(min ≤ t) = 1 − P(min ≥ t) = 1 − 1
( − t)
n 1
f
= n 1
(
t) −
−
min
n
P(max ≤ t) = t
1
−
f
= n
nt
max
x
y
n−
!
n ( y − x) 2
f min, max
=
d
l
a x < y
( n − 2)!
1
1
n+1 1
n
n
n
nu
n
E min = ∫ tn 1
( −
−1
t)
= 1− t = u = ∫ 1(−
−1
u) nu
=
1
u −
= 1−
=
n 1
n 1
n 1
0
0
+
+
+
0
1
n+1 1
n
nt
n
E max = ∫
−1
tnt
=
=
n 1
n 1
0
+
+
0
1 1
1 −
1 x
E(min⋅ max) = ∫ ∫
n−
xyn( n − )
1 ( y −
2
x)
dydx = y − x = t = ∫ ∫
n−
x( t + x) n( n −
2
)
1 t
dtdx =
0 x
0 0
1
x
n
n 1 −
−
1
1
n
n−1
= ∫
t
xt
x
x
x
xn( n −
1
(
)
1
(
)
)
1
+
= ∫
−
−
xn( n − )
1
+
= 1 − x = t =
n
n 1
n
n 1
0
− 0
0
−
1
n
n−1
n+1
n+2
n
n+1
n+2
= ∫
t
1
( − t t
t
t
t
t
t
1
( − t) n( n −
)
2
)
1
+
= n( n − )
1
−
+
−
+
=
n
n 1
n( n
)
1
n( n
2)
n( n
)
1
( n
)
1 ( n
)
1
( n
2)( n
)
1
0
−
+
+
−
+
−
+
−
1
1
1
2
1
n −1
n −
=
n
n
n( n −
1
2
)
1
−
+
−
+
=
−
+1−
+
=
n( n + )
1
n( n + 2)
n( n − )
1
( n + )
1 ( n − )
1
( n + 2)( n − )
1
n + 1
n + 2
n + 1
n + 2
− n −1
n − n + 1
1
=
+1+
=
n + 1
n + 2
n + 2
1
1
n+1
n+2 1
2
n
n
n
nu
u
n
n
E min = ∫ 2
t n 1
( −
−1
t)
= 1− t = u = ∫(1− 2 u + 2
u )
−1
nu
=
2
2
u −
+ n
= 1 −
+
=
n 1
n
2
n 1
n
2
0
0
+
+
+
+
0
2
n + 3 n + 2 − 2 2
n − 4
2
n + n + n
2
=
=
( n + )
1 ( n + 2)
( n + )
1 ( n + 2)
1
n+2 1
2
n
nt
n
E max = ∫ 2
−1
t nt
=
=
n
2
n
2
0
+
+
0
2
1
2 n + 2 − n − 2
n
var min =
−
=
=
( n + )
1 ( n + 2)
( n + )
1 2
( n + )
1 2 ( n + 2)
( n + )
1 2 ( n + 2)
2
n
n
( n + )
1 2
2
n − n ( n + 2)
3
n + 2 2
3
n + n − n − 2 2
n
n
var max =
−
=
=
=
n + 2
( n + )
1 2
( n + )
1 2 ( n + 2)
( n + )
1 2 ( n + 2)
( n + )
1 2 ( n + 2)
1
n
−
n + 2
( n + )
1 2
n 2 + 2 n + 1 − n 2 − 2 n ( n + ) 1 2 ( n + 2)
1
corr =
=
=
n
( n + )
1 2 ( n + 2)
n
n
( n + )
1 2 ( n + 2)
Zadanie 7
Dla pierwszej grupy:
2
1
1
1
2
1
P( Z = 1 = q
+ 1− q
= + q P Z = 0 = − q
i
) x
(
x )
x
( i
)
x
3
3
3
3
3
3
dla II grupy:
2
1
1
1
P( Z = 1 =
− q P Z = 0 = + q
i
)
x
( i
)
x
3
3
3
3
n
- ilość 1 dla I grupy = 100 Z
1
1
n
- ilość 1 dla II grupy = 100 Z
2
2
−
−
1
n
100
1
n
2
n
100
2
n
1 1
2 1
2 1
1 1
L = + q − q
− q + q
x
x
x
x
3
3
3
3
3
3
3
3
1 1
2
1
2
1
1
1
ln L = 100 Z ln
1
+ q 100 1 Z ln
q
100 Z ln
q
100 1 Z
ln
q
x
+
( − 1)
−
x
+
2
−
x
+
( − 2)
+
3
3
3
3
3
3
x
3
3
∂
100 Z
1
100
1
(1− Z 1)1 100 Z 1 100
2
(1− Z 2)1
1 1
2 1
=
−
−
+
= 0⋅
3
+ q
q
x
−
x
∂ q
1
1
3
2
1
3
2
1
3
1
1
3
3
3
3
3
x
+ q
q
q
q
x
−
x
−
x
+
x
3
3
3
3
3
3
3
3
(
100 Z + 100 −100 Z − q
Z
Z
q
x
−
−
+
+
x
=
1
2 ) 2
1
(100 100 100
1
2 ) 1
1
0
3
3
3
3
1 q
−
−
−
+
−
=
−
+
−
+
−
x (
1
2
100 Z
100 100 Z
100 100 Z
100 Z
100 100 Z
100 Z
100 Z
100 100 Z
2
1
1
2 )
(
1
2 )
( 1
2 )
3
3
3
200
100
−
q
x = −100 Z
+100 Z −
1
2
3
3
1
3
3
1 3
3
q
x =
+ Z
Z
1 −
2 →
; ;−
2
2
2
2 2
2
Zadanie 8
2
2
σ
2 σ
X
N
;
µ
X
N
;
µ
1 ≅
2 ≅
n
n
1
2
n 2
2
~
~
2
2
n
σ
σ
σ
1
2
2
2
X
E
=
µ
var X =
+
2
=
2
2
n
n
n
n
1
n
2
2
2
n
n
n
1 +
1 +
1 +
2
2
2
2
2
~
σ
X ≅ N
;
µ
n
n 1 + 2
2
n
n
n
n
n
1
2
1
1
2
2
~
n
2
1
~ 2
2
~
~ 2
2
~
~ 2
E∑( X
X
X
X
E
X
2 X
X
n X
5
,
0
X
2 X
X
n X
,
1 i −
) + ∑( 2, i − )
=
∑ ,1 i −
∑ ,1 i + 1
+
∑ 2, i −
∑ 2, i +
2
i=
2
1
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
1
n
2
n
n
1
=
2
~
~ 2
2
~
~ 2
2
2
2
E∑ X
2 n
X X
n X
5
,
0
X
n
X
X
5
,
0 n X
E
X
n σ
µ
,
1 i −
1
1 +
1
+
∑
2, i −
2
2 +
2
=
∑ ,1 i = 1( + )
i=1
i=1
i=1
n
n
2
2
+
E(
n X
X
~
2
n
2
X
X
= E
X
=
E X
+
E X X
1 )
1
1
2
1
1
( 21)
( 2 1)
n
n
n
2
2
2
n +
n +
n +
1
1
1
2
2
2
2
1
σ
X
E
=
n σ + n µ
=
+ µ
1
2 (
2
2
1
1
) 2
2
2
n
n
1
1
E( X X = EX EX = µ
2
1 )
2
2
1
2
~ 2
σ
2
EX
=
+ µ
n 2
n +
1
2
n
E∑2 2
X
n 2 σ
µ
2, i =
( 2
2
+ 2 )
i=1
n
n
2
2
E(
n X
X
~
n
2
2
2
σ
XX
E
X
µ
µ
2 )
1 1 +
2
2
1
2
2
=
2
=
+
+
n
n
n
2
2
2 n 2
n
n
n
1 +
1 +
1 +
2
2
2
n
2
2
2
2
S
E
= n ( 2
n
σ
2
σ
σ
µ
2 n
µ
µ
n
µ
1
+ 2 )
1
2
2
2
− 1
+
+
+ 1
+
+
c
n
n
n
n
2
1
n
n
n
1 +
1 +
2
1 + 2
2
2
2
n
2
2
2
+
n
σ
σ
5
,
0 n ( 2
2
2
2 σ
µ
n
µ
µ
5
,
0 n
µ
2
+ 2 )
1
2
2
2
− 2
+
+
+
2
+
=
n
n
n
n
2
2
2
n
n
n
1 +
1 +
1 + 2
2
2
2
n
2
=
2
2
n
n
n
σ n −
1
n
1
+
1
+
−
2
2
+
2
+
n
n
n
n
2
2
2
2
n
n
n
n
1 +
1 +
1 +
1 +
2
2
2
2
2
n
2
2
+ 2
µ n −
2 n
n n
n n
1
2
n
5
,
0 n
5
,
0 n
1
−
1 2
+ 1 +
2 −
1 2
−
+
2
n
n
n
n
2
2
2
2
n
n
n
n
1 +
1 +
1 +
1 +
2
2
2
2
2
2
2
2
n n
n n
n n
n
n
n
n n
1 2
n +
− 2 2
2
1 2
1 2
2
2
2
1 2
n − n n + n +
+
+
− n n −
+
+
1
1
1 2
1
1 2
przy 2
2
2
2
4
2
4
2
µ :
= 0
n 2
n +
1
2
1
1
1
c =
=
=
n
n
n + n −
2
2
1
1
2
n +
1
n 1
2
2
n −
+ n −
n + n −
1
2
1
2
n
n
n
2
2
2
n +
n +
n +
1
1
1
2
2
2
Zadanie 9
∞
1
1
P ( X
k )
f
>
=
0
∫
=
1
( + x)2
1 + k
k
f
P
1 > c = α
f 0
f 0
P
f
+ x > c = α P f
+ x ≥ c = α równość dla każdego k f 0 (
1
(
)2
1
) 1 f( 1( )2
1
) 2
P ( X > k)
2
= P ( X > k)
1
f
f 0
1
P ( X > k) =
1
f
2
1 + k
1
P ( X ≤ k) = 1 −
1
f
2
1
( + k)
2
f
=
1
f
3
1
( + x)
jak skonstruujemy test najmocniejszy np. dla α =
1 K = { X < }
1 − błąd?
Ale chyba jest błąd bo twierdzenie: że dla najmocniejszego testu β > α chyba że P = P
0
1
2
α > α → α > 1 niemożliwe więc P = P
0
1
Zadanie 10
P(
2
a ≤ χ ≤ b) = 9
,
0
5 2
χ ≅ N ( n − ;
1 2 n − 2)
2
χ − n − 1
P − 9
,
1 6 ≤
≤ 9
,
1 6 = 9
,
0 5
2 n − 2
( n −
2
2
χ =
)
1 S
S = 1
∑( X
i − X )2
2
2
σ
n − 1
∑( Xi − X )2 − n+1
∑
σ
( Xi − X )2
2
∑ Xi − X
2
(
)2
− 9
,
1 6 ≤
≤ 9
,
1 6 →
≥ σ ≥
2 n − 2
n −1 − 9
,
1 6 2 n − 2
9
,
1 6 2 n − 2 + n −1
∑( X − X
∑
−
i
)2
( X X
i
)2
−
n −1 − 9
,
1 6 2 n − 2
n −1 + 9
,
1 6 2 n − 2
R =
2
2 σ
2
2
σ ( n − )
1
σ ( n − )
1
ER =
−
1
=
n −1 − 9
,
1 6 2 n − 2
n −1 + 9
,
1 6 2 n − 2
2
2 σ
1 ( n − )
1 ( n −1+ 9
,
1 6 2 n − 2 )− ( n − )
1 ( n −1− 9
,
1 6 2 n − 2 ) 1
( n −
9
,
3
)
1
2 2 n − 2
=
=
= ,
0 01
2
( n − )
1 2 − 9
,
1 62 (2 n − 2)
2
( n − )
1 2 − 9
,
1 62 (2 n − 2)
9
,
3 2( n − )
1
2 n − 2
n −
,
0 02 =
=
( n − )
1 ( n −1− 2 ⋅ 9
,
1 6 )
9
,
3 2 2
2 (. )2
.
2
n − ,
8 6832
2
9
,
3 2 (2 n − 2)
2
2
2
2
,
0 0004 =
,
0 0004 n − ,
0 00694656 n + ,
8 6832 ⋅ ,
0 0004 = 9
,
3 2 ⋅ 2 n − 2 ⋅ 9
,
3 2
2
( n − ,
8 6832)
2
,
0 0004 n − (
2
,
0 00694656 + 9
,
3 2 ⋅ 2)
2
2
n + ,
8 6832 ⋅ ,
0 0004 − 2 ⋅ 9
,
3 2
Z tego: n < o
0 dpada n ≈ 75000
1
2