Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

X

Y

X

Y

X

Y

var( X − Y )

 1 − 1 + 2 − 2 + ... + 40 −



= var

40  = 1 40 var( X − Y ) =



40



1600

= ,

0 02 (

5 var X + var Y − 2 cov( X , Y )) = , 0 02 ( 2

2

2

5 σ + σ − 2 pσ )

2

2

= ,

0 05 σ − ,

0 05 pσ

X , Y - obserwacje gdzie obie współrzędne są znane

*

*

X −

- tylko X znane

−

Y

- tylko Y znane

var(

40

10

40

10

4

1

X − Y )

 X * ⋅ + X − ⋅

Y* ⋅

+ −

Y ⋅





= var

−

 = var ( X

* − Y* ) +

( X− − − Y) =





50

50



5

5



= 16 1 ⋅ 40(

1

1

var X + var Y − 2 cov( X , Y )) +

⋅10(var X + var Y ) =

25 1600

25 100

16

=

⋅ ,

0 02 ( 2

2

2

5 σ + σ − 2 pσ ) 1

2

2

2

+

⋅ 1

,

0 ⋅ 2 σ = ,

0 04 σ − ,

0 032 pσ

25

25

,

0 04 2

σ − ,

0 032

2

pσ = ,

0 05 2

σ 1

( − p)

0,04-0,032p=0,05-0,05p

0,018p=0,01

1 1000

10

5

p =

=

=

100 18

18

9

Zadanie 2

P(min( X , Y ) < t, max( X , Y ) < z) = P( U < t, V < z X < Y ) P( X < Y ) + P( U < t, V < z X > Y ) P( X > Y ) 1

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

3

1

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

3

I

II

I.

II.

I dla z>t

t z

2



2 

1

(2

)

I = ∫ ∫

3

+ z t



z 

(2 − x − y) dydx =

t −

+ 2 z −  t

2

2

2

0 x





dla z<t

z y

1

I = ∫ ∫ (2 − x − y) dxdy = z 2 − z 3

2

0 0

II dla z>t

t z

2



2 

1

II = ∫ ∫

3

t



z 

(2 − x − y) dxdy =

t − (2 + z)

+ 2 z −  t

2

2

2

0 y





dla z<t

2

1 3

II = z −

z

2

F ( t, z)

3

= t − (2 + z) 2

t + (4

2

z − z ) t d

l

a t < z

∂

f ( t, z) =

F ( t, z) = 4 − 2 t − 2 z d la z

> t

∂ z∂ t

czyli odpowiedź B jest prawidłowa

Zadanie 3

stan(i+1) – i kul białych w I urnie

p - prawdopodobieństwo przejścia

ij

1 1

1

p

=

=

21

p

= 0

3 3

9

11

1 2

2 1

4

p

= 1

p

=

+

=

12

22

3 3

3 3

9

p

= 0

13

2 2

4

p

= 0

p

=

=

23

14

3 3

9

p

= 0

24

p

= 0

31

2 2

4

p

=

p

=

=

0

41

32

3 3

9

p

= 0

42

2 1

1 2

4

p

=

+

=

p

= 1

33

43

3 3

3 3

9

p

= 0

1

44

p

=

34

9

 0

1

0

0 

 1 4 4





0 

(

 9

9

9

p , p , p , p

 = p , p , p , p 1

2

3

4 )

( 1 2 3 4)



4

4

1 

0



9

9

9 





 0

0

1

0 

1 p = p



2

1

 p = 9

9

p

2

1







4

4

4

p +

p +

p = p

 p + 4 p + p = 9 p 1

2

3

2

1

1

3

1



9

9



9

1



→ 

→ ⋅ 9 p = p , p = p 1

4

4

1

4

4

4

9

 p + p + p = p

 p = 4 p

2

3

4

3

3

1

9

9

9





1

 p = 9 p

3

1

 p = p

3

4

9

1

9

1

p + p + p + p = 1 → p + 9 p + 9 p + p = 1 → p =

, p = p =

, p =

1

2

3

4

1

1

1

1

1

2

3

4

20

20

20

ODP = p P )

1

( + p P(2) + p P )

3

(

+ p P(4)

1

2

3

4

P )

1

(

= 0

1 2

2 1

4

P(2) =

+

=

3 3

3 3

9

2 1

1 2

4

P )

3

(

=

+

=

3 3

3 3

9

P(4) = 0

9 4

9 4

2

ODP =

+

=

20 9

20 9

5

Zadanie 4

f ( x, y) = n( n − ) 1 ( y − x n

) −2 d

l

a x < y, gdzie

X = min( J ,..., J

Y =

J

J

J ≅ J

1

n ),

max( ,...,

1

n ),

(

)

1

,

0

i

u nas:

X = b

( − a) J + a

i

i

ODP = corr(mi {

n b

( − a) J

, max (

)

(

) min

, (

) max

i +

}

a

{ b − a Ji + }

a ) = corr( b − a J i + a b − a

J i + a) =

= corr(min J ,max J

i

i )

n 1

f

≅ n 1

(

x) −

−

min

1

−

f

≅

n

nx

max

1

1



n+1 1

n

n

n

nx

n

E min = ∫ nx 1

( −

−1

x)

= ∫ n 1(−

−1

x) x

=

1

 x −

 = 1 −

=

n 1

n 1

n 1

0

0



+ 

+

+

0

1



n+1 1

n

nx

n

E max = ∫ nx = 

 =

n 1

n 1

0

 + 

+

0

1

1

 n

n+1

n+2 1

2

n

n

x

x

x

E min = ∫ 2

nx 1

( −

−1

x)

= ∫ n(1− x + 2

x ) −1

x

=

2

2

n

−

+

 =

n

n 1

n

2

0

0



+

+ 0

 1

2

1

2



n + 3 n + 2 − 2 2

n − 4

2

n + n + n

2

= n −

+

 = n

=

 n

n + 1

n + 2 

n( n + )

1 ( n + 2)

( n + )

1 ( n + 2)

1



n+2 1

2

n

nx

n

E max = ∫

+1

nx

= 

 =

n

2

n

2

0

 + 

+

0

2

1

2 n + 2 − n − 2

n

var(min) =

−

=

=

2

2

2

( n + )

1 ( n + 2)

( n + )

1

( n + )

1 ( n + 2)

( n + 2)( n + )

1

2

n

n

n( 2

n + 2 n + )

2

1 − n ( n + 2)

n

var(max) =

−

=

=

2

2

2

n + 2

( n + )

1

( n + 2)( n + )

1

( n + 2)( n + )

1

y

y

E(

1

1

min⋅ max) = ∫ ∫ n( n − )

1 ( y −

n−2

x)

xydxdy = y − x = t = ∫ ∫ n( n − ) 1 ( y −

n−2

t) yt

dtdy =

0 0

0 0

1



n−

y

1

n 

1



n

n 

= ∫

yt

t

y

y

n( n − )

1 y

−  dy = ∫





n( n − )

1 y

−

=





n 1

n

n 1

n

0

 −

0

0

 −





1

n+2

n+2



y

y



1

1



= n( n − )

1 

−

 = n( n − )

1 

−

 =

( n + 2)( n − )

1

( n + 2) n 

( n + 2)( n − )

1

( n + 2) n 

0

n − n + 1

1

= n( n − )

1

=

( n + 2)( n − )

1 n

n + 2

1

1

2

n

n + 2 n + 1

2

− n − 2 n

1

cov(min, max) =

−

=

=

n + 2

n + 1 n + 1

( n + )

1 2 ( n + 2)

( n + )

1 2 ( n + 2)

1

( n + )

1 2 ( n + 2)

1

ODP =

=

n

n

( n + 2)( n + )

1 2

Zadanie 5

f (

f X , X , X , X θ f ( θ) θ X , X , X , X

=

1

2

3

4 )

( 1 2 3 4 )

f ( X , X , X , X

1

2

3

4 )

f ( X , X , X , X θ =

θ ∈

1

2

3

4

) 1 1 d l a

;

1

( 2)

4

θ

5

,

1

2

f (

1 1

1

1

2 1

1

2 8 1

7

X , X , X , X

1

2

3

4 )

2

= ∫









−

=

−

=

−

=

=

4



3 





θ

5

,

1

5

,

1  3 θ 

3 3

24 

3 24

36

1

1

f ( θ X , X , X , X

=

=

θ ∈

1

2

3

4 )

1 2 36

24

,

1

( 2)

4

θ

3 7

7 4

θ

x

∫ 24

1

dθ =

7 θ 4

2

1



x

24 

24

24

1

24

48 − 21

9

L = −

=

−

= →

=

=





 21 3

θ 

21

1

21 3

x

2

21 3

x

42

14

9 ⋅ 21 3

x = 14 ⋅ 24

⋅

3

14 8

16

x =

=

9 ⋅ 7

9

16

3

x =

≈ ,

1 211

9

Zadanie 6



1





− x

1





e 2



P 

4

0

> t  = α

x



2

−



1



e 8



 2 2Π





1

2

x





1

2

x



− x +

− x +



2



 2





2 t 

x

t

2

8

2

8

 1

2 

P

e

t

P e

P

x

0

> = 0

>

=









0  −

+

> ln



2

2

 2

8

2 











2



1

x

2 t

 2

2 t



dla x>0





P

x

P x

x

0

−

+

> ln

= 

0

− 4 − 8ln

> 0





 2

8

2 



2



2

2

x −

t

4 x − 8ln

> 0

2

2

∆ =

t

16 + 32 ln

> 0

2



2



1

x

2 t

 2

2 t



dla x<0





P

x

P x

x

0

+

> ln

= 

0

+ 4 − 8ln

> 0





 2

8

2 



2



z tego i z założeń wynika, że:

2

4 +

t

16 + 32 ln 2 = 8,3

2

2

16 +

t

32 ln

= ,

3 6

2

2

16 +

t

32 ln

= 12 9

, 6

2

2 t

ln

= − ,

0 095

2

2 t

−0,095

= e

2

2 −0,095

t =

e

2

I dla x>0 P x − x +

>

0 ( 2

4

7

,

0 6

0)

II dla x<0 P x + x +

>

0 ( 2

4

7

,

0 6

0)

∆ = 16 − 4 ⋅ ,

0 76 = 12 9

, 6

∆ = ,

3 6

dla I

4 − ,

3 6

x =

= ,

0 2

1

2

4 + ,

3 6

x =

= 8

,

3

2

2

dla II

− 4 − ,

3 6

x =

= − 8

,

3

1

2

−

4 + ,

3 6

x =

= − ,

0 2

2

2

K = (− ∞;− 8

,

3 ) ∪ (− ,

0

,

0

;

2

2) ∪ (

;

8

,

3

∞)

− ,

3 8

1

0

1

0,2

1

∞

x

x

− x

−1

ODP = ∫ 1

1

1

1

x

2

e

+ ∫

2

e

+ ∫

2

e

+ ∫

2

e

=

−∞ 4

−

4

4

4

0,2

0

,

3 8



1  − ,

3 8



1  0



1  0,2



1  ∞

x

x

− x

−

=

x

1

1

1

1

2

e



+ 

2

e



+ −

2

e



+ −

2

e



=

 2



 2



 2



 2



















−∞

−0,2

0

,

3 8

1 − ,19

1

1 −0 1,

1

1 −0 1,

1 − ,19

− ,

1 9

−0 1

,

= e

+ − e

+ − e

+ e

= e

− e

+1 ≈ ,

0 2447

2

2

2

2

2

2

Zadanie 7



n

−∑ln3( X − θ



i

)

 (ln )

3 e



P

0

> t = P

ln 3



p

rzy m

in

−∑ln ⋅3



0 ( e θ

n

> t

( X >

i )

θ )

X

n

 (ln )

3 e

i





f

e θ

n ln 3 g

dy m

in

1

( Xi ) > θ

czyli

= 

f 0

 g

0 dy m

in( X i ) < θ

P(min( X

i ) > θ ) γ =

,

0 01

( e−ln3⋅ ) n

θ

− θn

n

θ

= 3 γ = ,

0 01 → γ = ,

0 01⋅ 3

czyli TEST: jeżeli min( X > to z prawdopodobieństwem n

θ

γ = ,

0 01⋅ 3 odrzucamy

i )

θ

0

,

0 1⋅ 3 nθ P

X

i

> θ >

1 (min(

) ) 8,

0 1

θ

n

81

3

≥

100 = 81

100

nθ ln 3 ≥ ln 81

ln 81

ln 34

4 ln 3

4

n ≥

=

=

=

θ ln 3

θ ln 3

θ ln 3

θ

Zadanie 8

∞

P( S ≤ s = P( N = 0) + ∑ P S ≤ s N = k P( N = k) n

)

( n

)

1

k =1

4

4

4

4

4

2

4

4

4

4

4

3

X

d

ODP =

X

ds

suma wykładniczych ma rozkład gamma więc:

∞ s

X = ∑ ∫

1

k −1 − w

1 −1

w

e

dw

e

k

k

k =

(

)

1 !

!

1

−

0

∞

∞

n−1

d X = ∑ 1 −1 1

k −1 − s

− −

e

s

e

= 1 s ∑ s

e

ds

k

k

n n

k =

!

(

)

1 !

!(

)

1 !

1

−

n=1

−

Zadanie 9

To nie jest rozkład geometryczny tylko ujemny.dwumianowy(2,1-p)

∑ X

i ≅ uj. dwum(2 n 1

, − p)

∞

∑ a 2 n + k − 

1

2 n

k



 p

1

( − p) = p

TAK CHCEMY

a

k k

k =0

+ 



∞

∑ a (2 n + k − )1! 2 n−1

p

1

( − p) k = 1

a

k k

n

k =

!(2

)

1 !

0

+

−

∞

∑ a (2 n + k − 2)! 2 n−1

k 2 n + k −

p

1

( −

1

p)

= 1 tu r=2n-1

a

k k

n

n

k =

!(2

2)!

2

1

0

+

−

−

a

2 n + k −1

jeżeli

= 1 to będzie OK.

a + k

2 n − 1

a(2n+k-1)=(a+k)(2n-1)

a(2n+k-1-2n+1)=k(2n-1)

a=2n-1

Zadanie 10

1

6

4

L = 4

X i

θ

X

e

6 (∏

i )

−

3

∑

θ

ln L = 6 ln 4 − 6 ln θ + ∑

3

X

X

i − 1

ln

∑ 4 i

θ

4

4

4

d

6

∑ X

θ

X

X

i

− 6 + ∑ i

∑

= − +

=

=

i

0 → θ =

2

2

dθ

θ

θ

θ

6

6

4

∑ Xi

czyli ˆ

1

=

θ = i

6

1

P(

4

4

1

t

x

4

t

s

t

x

s

4

X

< t)





−

4

=

−

−





= P X < t

= ∫

3

1

4

θ

x e

dx =

= ∫

θ

e

ds = 1 −

θ





e





3

θ

θ

0

4 x dx = ds

0



4

1 

czyli X

≅ wykl 

 θ 

∑



4

1 

X

;

6

i

≅ Γ



 θ 









P( ˆ θ − θ < 1

,

0 θ )

1

1

2

= P

X − θ < 1

,

0 θ , gdzi

e X





≅ Γ ;

6

,

 EX = 6 θ; var X = 6 θ

 6



 θ 

ODP = P( X − θ

6

<

θ

6

,

0

)= P( ,5 θ 4 < X < θ 6

,

6

) =

 1 6

 

1

6,6 θ

1

x = t

−

6,6

= ∫  θ 

x

5

1

θ

x e

= θ

dx

= ∫

5 − t

t e dt =

!

5

1

120

5,4 θ

dx = dt

5,4

θ

u = 5

t v′ = −

e t

u = 4

t v′ = − t

∫

e

5 −

t e t =

= − 5 −

t e t + 5∫ 4 −

t e t =

=

u′ =

4

5 t v = − −

e t

u′ =

3

4 t v =

-t

-e

3

− t

= − 5 −

u

t v

e

t

t e

+ 5(− 4 − t

t e

+

3 −

4∫

t

t e )

=

′ =

=

=

u′ = t

3 2 v

= − − t

e

2

− t

= − 5 −

u

t v

e

t

t e

− 4 − t

t

5 e

+ 20(− 3 − t

t e

+

2 −

3∫

t

t e )

=

′ =

=

=

u′ = t

2 v

= − − t

e

− t

= − 5 −

u

t v

e

t

t e

− 4 − t

t

5 e

−

3 − t

2 t

0 e

+ 60(− 2 − t

t e

+

−

2∫

t

te )

=

′ =

=

=

u′ =

1 v

= − − t

e

= − 5 − t

t e

− 4 − t

t

5 e

−

3 − t

2 t

0 e

−

2 − t

6 t

0 e

+120(− − t

te

− − t

e ) =

5 − t

4 − t

3 − t

2 − t

− t

− t

= − t e − t

5 e

− 2 t

0 e

− 6 t

0 e

−12 t

0 e

−12 e

0

ODP = 1 [ −5,4

e

( ,545 +5⋅ ,544 +20⋅ ,543 +60⋅ ,542 +120⋅ ,54+120)−

120

6,6

− −

e

( ,665 +5⋅ ,664 +20⋅ ,663 +60⋅ ,662 +120⋅ ,66+120)]≈ 1, 0 915